实际问题与二元一次方程组经典例题(学生版)

1 实际问题与二元一次方程组实际问题与二元一次方程组经典例题经典例题 列方程组解应用题中常用的基本等量关系列方程组解应用题中常用的基本等量关系 1 行程问题 行程问题 1 追击问题 追击问题是行程问题中很重要的一种 它的特点是同向而行 这类问题比较直观 画线 段 用图便于理解与分析 其等量关系式是 两者的行程差 开始时两者相距的路程 2 相遇问题 相遇问题也是行程问题中很重要的一种 它的特点是相向而行 这类问题也比较直观 因而也画线段图帮助理解与分析 这类问题的等量关系是 双方所走的路程之和 总路程 相向而遇 和 同向追及 是行程问题中最常见的两种题型 在这两种题型中都存在着一个相等关系 这个关系涉及到两者的速度 原来的距离以及行走的时间 具体表现在 相向而遇相向而遇 时 两者所走的路程之和等于它们原来的距离 时 两者所走的路程之和等于它们原来的距离 同向追及同向追及 时 快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离 时 快者所走的路程减去慢者所走的路程等于它们原来的距离 3 航行问题 船在静水中的速度 水速 船的顺水速度 船在静水中的速度 水速 船的逆水速度 船的顺水速度 船的逆水速度 2 水速 注意 注意 飞机航行问题同样会出现顺风航行和逆风航行 解题方法与船顺水航行 逆水航行问题类似 2 工程问题 工程问题 工作效率 工作时间 工作量 3 商品销售利润问题 商品销售利润问题 1 利润 售价 成本 进价 2 3 利润 成本 进价 利润率 4 标价 成本 进价 1 利润率 5 实际售价 标价 打折率 注意 注意 商品利润 售价 成本 中的右边为正时 是盈利 为负时 就是亏损 打几折就是按标 价的十分之几或百分之几十销售 例如八折就是按标价的十分之八即五分之四或者百分之八十 4 储蓄问题 储蓄问题 1 基本概念 本金 顾客存入银行的钱叫做本金 利息 银行付给顾客的酬金叫做利息 本息和 本金与利息的和叫做本息和 期数 存入银行的时间叫做期数 利率 每个期数内的利息与本金的比叫做利率 利息税 利息的税款叫做利息税 2 基本关系式 利息 本金 利率 期数 本息和 本金 利息 本金 本金 利率 期数 本金 1 利率 期数 利息税 利息 利息税率 本金 利率 期数 利息税率 税后利息 利息 1 利息税率 年利率 月利率 12 注意 注意 免税利息 利息 5 配套问题 配套问题 2 解这类问题的基本等量关系是 总量各部分之间的比例 每一套各部分之间的比例 6 增长率问题 增长率问题 解这类问题的基本等量关系式是 原量 1 增长率 增长后的量 原量 1 减少率 减少后的量 7 和差倍分问题 和差倍分问题 解这类问题的基本等量关系是 较大量 较小量 多余量 总量 倍数 倍量 8 数字问题 数字问题 解决这类问题 首先要正确掌握自然数 奇数 偶数等有关概念 特征及其表示 如当 n 为整数时 奇数可表示为 2n 1 或 2n 1 偶数可表示为 2n 等 有关两位数的基本等量关系式为 两位数 十位数字 10 个位数字 9 浓度问题 浓度问题 溶液质量 浓度 溶质质量 10 几何问题 几何问题 解决这类问题的基本关系式有关几何图形的性质 周长 面积等计算公式 11 年龄问题 年龄问题 解决这类问题的关键是抓住两人年龄的增长数是相等 两人的年龄差是永远不会变 的 12 优化方案问题 优化方案问题 在解决问题时 常常需合理安排 需要从几种方案中 选择最佳方案 如网络的使用 到不同旅行 社购票等 一般都要运用方程解答 得出最佳方案 注意 注意 方案选择题的题目较长 有时方案不止一种 阅读时应抓住重点 比较几种方案得出最佳方案 知识点三 列二元一次方程组解应用题的一般步骤知识点三 列二元一次方程组解应用题的一般步骤 列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为 审 设 找 列 解 检 答 七步 即 1 审 通过审题 把实际问题抽象成数学问题 分析已知数和未知数 2 设 根据题意设元 3 找 找出能够表示题意两个相等关系 4 列 根据这两个相等关系列出必需的代数式 从而列出方程组 5 解 解这个方程组 求出两个未知数的值 6 检 检查所求的解是否符合实际问题 7 答 在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上 写出答案 要点诠释 要点诠释 1 解实际应用问题必须写 答 而且在写答案前要根据应用题的实际意义 检查求得的结果是否 合理 不符合题意的解应该舍去 2 设 答 两步 都要写清单位名称 3 一般来说 设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组 解答步骤简记为 问题方程 3 组解答 4 列方程组解应用题应注意的问题 弄清各种题型中基本量之间的关系 审题时 注意从文字 图表中获得有关信息 注意用 方程组解应用题的过程中单位的书写 设未知数和写答案都要带单位 列 方程组与解方程组时 不要带 单位 正确书写速度单位 避免与路程单位混淆 在寻找等量关系时 应注意挖掘隐含的条件 列方程组解应用题一定要注意检验 经典例题透析经典例题透析 类型一 列二元一次方程组解决类型一 列二元一次方程组解决 行程问题行程问题 1 甲 乙两地相距 160 千米 一辆汽车和一辆拖拉机同时由甲 乙两地相向而行 1 小时 20 分相遇 相遇后 拖拉机继续前进 汽车在相遇处停留 1 小时后调转车头原速返回 在汽车再次出发半 小时后追上了拖拉机 这时 汽车 拖拉机各自行驶了多少千米 2 在某条高速公路上依次排列着 A B C 三个加油站 A 到 B 的距离为 120 千米 B 到 C 的距离 也是 120 千米 分别在 A C 两个加油站实施抢劫的两个犯罪团伙作案后同时以相同的速度驾车沿高速 公路逃离现场 正在 B 站待命的两辆巡逻车接到指挥中心的命令后立即以相同的速度分别往 A C 两个 加油站驶去 结果往 B 站驶来的团伙在 1 小时后就被其中一辆迎面而上的巡逻车堵截住 而另一团伙经 过 3 小时后才被另一辆巡逻车追赶上 问巡逻车和犯罪团伙的车的速度各是多少 变式变式 1 1 甲 乙两人相距 36 千米 相向而行 如果甲比乙先走 2 小时 那么他们在乙出发 2 5 小 时后相遇 如果乙比甲先走 2 小时 那么他们在甲出发 3 小时后相遇 甲 乙两人每小时各走多少千米 变式变式 2 2 两地相距 280 千米 一艘船在其间航行 顺流用 14 小时 逆流用 20 小时 求船在静水 中的速度和水流速度 4 跟踪训练跟踪训练 1 甲 乙两人在东西方向的公路上行走 甲在乙的西边 300 米 若甲 乙两人同时向东走 30 分钟后 甲正好追上乙 若甲 乙两人同时相向而行 2 分钟后相遇 问甲 乙两人的速度是多少 甲乙两人以不变的速度在环形路上跑步 相向而行每隔两分钟相遇一次 同向而行 每隔 6 分相遇一 次 已知甲比乙跑的快 求甲乙每分钟跑多少圈 类型二 列二元一次方程组解决类型二 列二元一次方程组解决 工程问题工程问题 1 一批机器零件共 840 个 如果甲先做 4 天 乙加入合做 那么再做 8 天才能完成 如果乙先 做 4 天 甲加入合做 那么再做 9 天才能完成 问两人每天各做多少个机器零件 2 某服装厂接到生产一种工作服的订货任务 要求在规定期限内完成 按照这个服装厂原来的生产 能力 每天可生产这种服装 150 套 按这样的生产进度在客户要求的期限内只能完成订货的 现在工 5 4 厂改进了人员组织结构和生产流程 每天可生产这种工作服 200 套 这样不仅比规定时间少用 1 天 而 且比订货量多生产 25 套 求订做的工作服是几套 要求的期限是几天 举一反三 举一反三 变式变式 小明家准备装修一套新住房 若甲 乙两个装饰公司合作 6 周完成需工钱 5 2 万元 若甲 公司单独做 4 周后 剩下的由乙公司来做 还需 9 周完成 需工钱 4 8 万元 若只选一个公司单独完成 从节约开支的角度考虑 小明家应选甲公司还是乙公司 请你说明理由 跟踪训练跟踪训练 1 一千零一夜 中有这样一段文字 有一群鸽子 其中一部分在树上欢歌 另一部分在地上觅食 树上的一只鸽子对地上觅食的鸽子说 若从你们中飞上来一只 则树下的鸽子就是整个鸽群的 1 3 若从树上飞下去一只 则树上 树下的鸽子就一样多了 你知道树上 树下各有多少只鸽子吗 类型三 列二元一次方程组解决类型三 列二元一次方程组解决 商品销售利润问题商品销售利润问题 5 1 一件商品如果按定价打九折出售可以盈利 20 如果打八折出售可以盈利 10 元 问此商品的 定价是多少 2 有甲 乙两件商品 甲商品的利润率为 5 乙商品的利润率为 4 共可获利 46 元 价格调整 后 甲商品的利润率为 4 乙商品的利润率为 5 共可获利 44 元 则两件商品的进价分别是多少元 思路点拨思路点拨 做此题的关键要知道 利润 进价 利润率 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 2011 湖南衡阳 李大叔去年承包了 10 亩地种植甲 乙两种蔬菜 共获利 18000 元 其 中甲种蔬菜每亩获利 2000 元 乙种蔬菜每亩获利 1500 元 李大叔去年甲 乙两种蔬菜各种植了多少亩 变式变式 2 2 某商场用 36 万元购进 A B 两种商品 销售完后共获利 6 万元 其进价和售价如下表 AB 进价 元 件 12001000 售价 元 件 13801200 注 获利 售价 进价 求该商场购进 A B 两种商品各多少件 跟踪训练跟踪训练 1 打折前 买 60 件 A 商品和 30 件 B 商品用了 1080 元 买 50 件 A 商品和 10 件 B 商品用了 840 元 打 折后 买 50 件 A 商品和 50 件 B 商品用了 960 元 比不打折少花多少钱 2 有甲 乙两种债券 年利率分别是 10 与 12 现有 400 元债券 一年后获利 45 元 问两种债券各 有多少 6 类型四 列二元一次方程组解决类型四 列二元一次方程组解决 银行储蓄问题银行储蓄问题 4 小明的妈妈为了准备小明一年后上高中的费用 现在以两种方式在银行共存了 2000 元钱 一种是年利率为 2 25 的教育储蓄 另一种是年利率为 2 25 的一年定期存款 一年后可取出 2042 75 元 问这两种储蓄各存了多少钱 利息所得税 利息金额 20 教育储蓄没有利息所得税 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 李明以两种形式分别储蓄了 2000 元和 1000 元 一年后全部取出 扣除利息所得税可得 利息 43 92 元 已知两种储蓄年利率的和为 3 24 问这两种储蓄的年利率各是百分之几 注 公民应 缴利息所得税 利息金额 20 思路点拨 思路点拨 扣税的情况 本金 年利率 1 20 年数 利息 其中 利息所得税 利息 金额 20 不扣税时 利息 本金 年利率 年数 变式变式 2 2 小敏的爸爸为了给她筹备上高中的费用 在银行同时用两种方式共存了 4000 元钱 第一 种 一年期整存整取 共反复存了 3 次 每次存款数都相同 这种存款银行利率为年息 2 25 第二种 三年期整存整取 这种存款银行年利率为 2 70 三年后同时取出共得利息 303 75 元 不计利息税 问 小敏的爸爸两种存款各存入了多少元 类型五 列二元一次方程组解决类型五 列二元一次方程组解决 生产中的配套问题生产中的配套问题 1 某服装厂生产一批某种款式的秋装 已知每 2 米的某种布料可做上衣的衣身 3 个或衣袖 5 只 现计划用 132 米这种布料生产这批秋装 不考虑布料的损耗 应分别用多少布料才能使做的衣身和 衣袖恰好配套 2 某厂共有 120 名生产工人 每个工人每天可生产螺栓 25 个或螺母 20 个 如果一个螺栓与两个螺 母配成一套 那么每天安排多名工人生产螺栓 多少名工人生产螺母 才能使每天生产出来的产品配成 最多套 7 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 现有 190 张铁皮做盒子 每张铁皮做 8 个盒身或 22 个盒底 一个盒身与两个盒底配成一 个完整盒子 问用多少张铁皮制盒身 多少张铁皮制盒底 可以正好制成一批完整的盒子 变式变式 2 2 某工厂有工人 60 人 生产某种由一个螺栓套两个螺母的配套产品 每人每天生产螺 栓 14 个或螺母 20 个 应分配多少人生产螺栓 多少人生产螺母 才能使生产出的螺栓和螺母刚好配套 变式变式 3 3 一张方桌由 1 个桌面 4 条桌腿组成 如果 1 立方米木料可以做桌面 50 个 或做桌腿 300 条 现有 5 立方米的木料 那么用多少立方米木料做桌面 用多少立方米木料做桌腿 做出的桌面 和桌腿 恰好配成方桌 能配多少张方桌 类型六 列二元一次方程组解决类型六 列二元一次方程组解决 数字问题数字问题 8 两个两位数的和是 68 在较大的两位数的右边接着写较小的两位数 得到一个四位数 在 较大的两位数的左边写上较小的两位数 也得到一个四位数 已知前一个四位数比后一个四位数大 2178 求这两个两位数 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 一个两位数 减去它的各位数字之和的 3 倍 结果是 23 这个两位数除以它的各位数字 之和 商是 5 余数是 1 这个两位数是多少 8 变式变式 2 2 一个两位数 十位上的数字比个位上的数字大 5 如果把十位上的数字与个位上的数 字交换位置 那么得到的新两位数比原来的两位数的一半还少 9 求这个两位数 变式变式 3 3 某三位数 中间数字为 0 其余两个数位上数字之和是 9 如果百位数字减 1 个位 数字加 1 则所得新三位数正好是原三位数各位数字的倒序排列 求原三位数 跟踪训练跟踪训练 1 一个两位数字 个位数字比十位数字大 5 如果把这两数字的位置对换 那么所得的新数与原数的 和是 143 求这个两位数 3 甲乙两盒中各有一些小球 如果从甲盒中拿出 10 个放入乙盒 则乙盒球就是甲盒球数的 6 倍 若从 乙盒中拿出 10 个放入甲盒 乙盒球数就是甲盒球数的 3 倍多 10 个 求甲乙两盒原来的球数各是多少 类型七 列二元一次方程组解决类型七 列二元一次方程组解决 增长率问题增长率问题 6 某工厂去年的利润 总产值 总支出 为 200 万元 今年总产值比去年增加了 20 总支 出比去年减少了 10 今年的利润为 780 万元 去年的总产值 总支出各是多少万元 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 若条件不变 求今年的总产值 总支出各是多少万元 变式变式 2 2 某城市现有人口 42 万 估计一年后城镇人口增加 0 8 农村人口增加 1 1 这样全市 人口增加 1 求这个城市的城镇人口与农村人口 9 类型八 列二元一次方程组解决类型八 列二元一次方程组解决 年龄问题年龄问题 1 今年父亲的年龄是儿子的 5 倍 6 年后父亲的年龄是儿子的 3 倍 求现在父亲和儿子的年 龄各是多少 总结升华 总结升华 解决年龄问题 要注意一点 一个人的年龄变化 增大 减小 了 其他人也一样增大 或减小 并且增大 或减小 的岁数是相同的 相同的时间内 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 今年 小李的年龄是他爷爷的五分之一 小李发现 12 年之后 他的年龄变成爷爷的三分 之一 试求出今年小李的年龄 类型九 列二元一次方程组解决类型九 列二元一次方程组解决 和差倍分问题和差倍分问题 1 2011 年北京丰台区中考一摸试题 爱心 帐篷厂和 温暖 帐篷厂原计划每周生产帐 篷共 9 千顶 现某地震灾区急需帐篷 14 千顶 两厂决定在一周内赶制出这批帐篷 为此 全体职工加班 加点 爱心 帐篷厂和 温暖 帐篷厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的 1 6 倍 1 5 倍 恰好 按时完成了这项任务 求在赶制帐篷的一周内 爱心 帐篷厂和 温暖 帐篷厂各生产帐篷多少千顶 举一反三 举一反三 变式变式 1 1 2011 年北京门头沟区中考一模试题 地球一小时 是世界自然基金会在 2007 年提出 的一项倡议 号召个人 社区 企业和政府在每年 3 月最后一个星期六 20 时 30 分 21 时 30 分熄灯一 小时 旨在通过一个人人可为的活动 让全球民众共同携手关注气候变化 倡导低碳生活 中国内地去 年和今年共有 119 个城市参加了此项活动 且今年参加活动的城市个数比去年的 3 倍少 13 个 问中国内 地去年 今年分别有多少个城市参加了此项活动 变式变式 2 2 游泳池中有一群小朋友 男孩戴蓝色游泳帽 女孩戴红色游泳帽 如果每位男孩看到蓝 色与红色的游泳帽一样多 而每位女孩看到蓝色的游泳帽比红色的多 1 倍 你知道男孩与女孩各有多少 人吗 10 类型十 列二元一次方程组解决类型十 列二元一次方程组解决 几何问题几何问题 10 如图 用