湖南省株洲市2015届中考数学模拟试卷（二）及答案解析

第 1 页（共 26 页） 2015 年湖南省株洲市中考数学模拟试卷（二） 一、选择题 1 的平方根是（ ） A B C D 2计算 ） A 5 4 4 4在一次 “爱心互助 ”捐 款活动中，某班第一小组 8 名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示： 金额 /元 5 6 7 10 人数 2 3 2 1 这 8 名同学捐款的平均金额为（ ） A B 6 元 C D 7 元 4当实数 x 的取值使得 有意义时，函数 y=4x+1 中 y 的取值范围是（ ） A y 7 B y9 C y 9 D y9 5下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ） A B C D 6如图，直线 1=40， 2=75，则 3 等于（ ） A 55 B 60 C 65 D 70 第 2 页（共 26 页） 7如图， 顶点都是正方形网格中的格点，则 于（ ） A B C D 8如图，矩形 对角线 过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点 C 在反比例函数 的图象上若点 A 的坐标为（ 2， 2），则 k 的值为（ ） A 1 B 3 C 4 D 1 或 3 二、填空题（本题共 8小题，每小题 3分，共 24分） 9比较大小： 3（填写 “ ”或 “ ”） 10分解因式： 9= 11大量事实证明，环境污染治理刻不容缓，全球每秒钟约有 142000 吨污水排入江河湖海，把 142000吨用科学记数法表示为 吨 12一次函数 y=2x 3 的图象不经过第 象限 第 3 页（共 26 页） 13某数学活动小组的 20 名同学站成一列做报数游戏，规则是：从前面第一位开始，每位同学一次报自己的顺序数的倒数加 1，第一同学报（ +1），第二位同学报（ +1），第三位同学报（ +1）， 这样得到的 20 个数的积为 14一个边长为 4等边三角形 O 等高，如图放置， O 与 切于点 C， O 与交于点 E，则 长为 15二次函数 y=图象如图，若一元二次方程 bx+m=0 有实数根，则 m 的最大值为 16以边长为 2 的正方形的中心 O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于 A、 线段 最小值 三、解答题（本大题共 8小题，共 52分，应写出必要的解答说明、证明过程或演算步骤） 17计算： | 2|（ 3） 0+（ 1） 2015 第 4 页（共 26 页） 18先化简，再求值：（ 1 ） ，其中 a=2， b= 1 19如图，一居民楼底部 B 与山脚 P 位于同一水平线上，小李在 P 处测得居民楼顶 A 的仰角为 60，然后他从 P 处沿坡角为 45的山坡向上走到 C 处，这时， 0m，点 C 与点 A 在同一水平线上， A、B、 P、 C 在同一平面内 （ 1）求居民楼 高度； （ 2）求 C、 A 之间的距离 （精确到 考数据： 20在学校大课间活动中，小英、小丽和小敏在操场上画出 A、 B 两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在 A 区域所得分值与落在 B 区域所得分值不同，当每个各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示 （ 1）请求出 A 区域和 B 区域每个沙包落点的分值分别是多少？ （ 2）求小敏的得分 21我市某中学艺术节期间，向学校学生征集书画作品九年级美术李老师从全年级 14 个班中随机抽取了 A、 B、 C、 D 4 个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图 （ 1）李老师采取的调查方式是 （填 “普查 ”或 “抽样调查 ”），李老师所调查的 4 个班征集到作品共 件，其中 B 班征集到作品 ，请把图 2 补充完整 第 5 页（共 26 页） （ 2）如果全年级参展作品中 有 4 件获得一等奖，其中有 2 名作者是男生， 2 名作者是女生现在要抽两人去参加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程） 22如图，点 A、 B、 C 分别是 O 上的点， B=60， O 的直径， P 是 长线上的点，且 C （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ，求 长 23在矩形 ， 米， 米，动点 P 以 2 米 /秒的速度从点 A 出发，沿 点 C 移动，同时动点 Q 以 1 米 /秒的速度从点 C 出发，沿 点 B 移动，设 P、 Q 两点同时移动的时间为t 秒（ 0 t （ 1）当 t 为何值时， （ 2）设四边形 面积为 y，当 t 为何值时， y 的值最小？并求出这个最小值 第 6 页（共 26 页） 24如图，在平面直角坐标系中， 直角三角形， 0， C， ， ，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A， B 两点，抛物线的顶点为 D （ 1）求 b， c 的 值； （ 2）点 E 是直角三角形 边 一动点（点 A、 B 除外），过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 长度最大时，求点 E 的坐标； （ 3）在（ 2）的条件下： 求以点 E、 B、 F、 D 为顶点的四边形的面积； 在抛物线上是否存在一点 P，使 以 直角边的直角三角形？若存在，求出所有点 不存在，说明理由 第 7 页（共 26 页） 2015年湖南省株洲市中考数学模拟试卷（二） 参考答案与试题解析 一、选择题 1 的平方根是（ ） A B C D 【考点】 平方根 【分析】 根据平方根的定义求出即可 【解答】 解： 的平方根为 = ， 故选 C 【点评】 本题考查了对平方根定义的应用，主要考查学生的理解能力和计算能力，注意： a（ a0）的平方根为 2计算 ） A 5 4 4 4考点】 单项式乘单项式 【分析】 根据单项式与单项式相乘，把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式计算即可 【解答】 解： 故选： D 【点评】 本题 考查了单项式与单项式相乘，熟练掌握运算法则：把他们的系数分别相乘，相同字母的幂分别相加，其余字母连同他的指数不变，作为积的因式是解题的关键 3在一次 “爱心互助 ”捐款活动中，某班第一小组 8 名同学捐款的金额（单位：元）如下表所示： 金额 /元 5 6 7 10 人数 2 3 2 1 这 8 名同学捐款的平均金额为（ ） 第 8 页（共 26 页） A B 6 元 C D 7 元 【考点】 加权平均数 【专题】 压轴题 【分析】 根据加权平均数的计算公式用捐款的总钱数除以 8 即可得出答案 【解答】 解：根据题意得： （ 52+63+72+101） 8=）； 故选 C 【点评】 此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，属于基础题 4当实数 x 的取值使得 有意义时，函数 y=4x+1 中 y 的取值范围是（ ） A y 7 B y9 C y 9 D y9 【考点】 函数值；二次根式有意义的条件 【专题】 计算题 【分析】 易得 x 的取值范围，代入所给函数可得 y 的取值范围 【解答】 解：由题意得 x 20， 解得 x2， 4x+19， 即 y9 故选 B 【点评】 考查函数值的取值的求法；根据二次根式被开方数为非负数得到 x 的取值是解决本题的关键 5下列四个几何体中，主视图是三角形的是（ ） A B C D 【考点】 简单几何体的三视图 【分析】 主视图是从几何体的正面看，主视图是三角形的一定是一个锥体， 是长方形的一定是柱体，由此分析可得答案 【解答】 解：主视图是三角形的一定是一个锥体，只有 B 是锥体 第 9 页（共 26 页） 故选： B 【点评】 此题主要考查了几何体的三视图，主要考查同学们的空间想象能力 6如图，直线 1=40， 2=75，则 3 等于（ ） A 55 B 60 C 65 D 70 【考点】 三角形内角和定理；对顶角、邻补角；平行线的性质 【分析】 设 2 的对顶角为 5， 1 在 的同位角为 4，结合已知条件可推出 1= 4=40， 2= 5=75，即可得出 3 的度数 【解答】 解： 直线 1=40， 2=75， 1= 4=40， 2= 5=75， 3=65 故选： C 【点评】 本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质和对顶角的性质，关键在于根据已知条件找到有关相等的角 7如图， 顶点都是正方形网格中的格点，则 于（ ） A B C D 【考点】 锐角三角函数的定义 【专题】 网格型 【分析】 先过点 A 向 垂线，构造出直角三角形，再利用三角函数的定义解答即可 【解答】 解：过点 A 向 垂线，与 延长线交于点 D 第 10 页（共 26 页） 在 ， ， ， =2 ， = 故选 C 【点评】 此题比较简单，解答此题的关键是先构造出直角三角形，再根据三角函数的定义解答 8如图，矩形 对角线 过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点 C 在反比例函数 的图 象上若点 A 的坐标为（ 2， 2），则 k 的值为（ ） A 1 B 3 C 4 D 1 或 3 【考点】 待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质 【专题】 压轴题；函数思想 【分析】 设 C（ x， y）根据矩形的性质、点 A 的坐标分别求出 B（ 2， y）、 D（ x， 2）；根据 “矩形 对角线 过坐标原点 ”及直线 几何意义求得 ，又点 C 在反比例函数 的图象上，所以将点 C 的坐标代入其中 求得 xy=k+1；联立 解关于 【解答】 解：设 C（ x， y） 四边形 矩形，点 A 的坐标为（ 2， 2）， B（ 2， y）、 D（ x， 2）； 矩形 对角线 过坐标原点， 设直线 函数关系式为： y= 第 11 页（共 26 页） B（ 2， y）、 D（ x， 2）， k= ， k= ， = ，即 ； 又 点 C 在反比例函数 的图象上， xy=k+1， 由 ，得 k 3=0，即（ k 1）（ k+3） =0， k=1 或 k= 3， 故选 D 【点评】 本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式、矩形的性质解答此题的难点是根据 C（ x， y）求得 B、 D 两点的坐标，然后根据三角形相似列出方程 = ，即 二、填空题（本题共 8小题，每小题 3分，共 24分） 9比较大小： 3（填写 “ ”或 “ ”） 【考点】 实数大小比较 【分析】 首先把两个数分别平方，然后比较平方的结果即可比较大小 【解答】 解： 7 9， 3 故答案为： 【点评】 此题主要考查了实数的大小的比较，比较两个实数的大小，可以采用作差法、 取近似值法等 实数大小比较法则： （ 1）正数大于 0， 0 大于负数，正数大于负数； （ 2）两个负数，绝对值大的反而小 第 12 页（共 26 页） 10分解因式： 9= （ +3）（ 3） 【考点】 因式分解 【专题】 计算题 【分析】 原式利用平方差公式分解即可 【解答】 解：原式 =（ +3）（ 3）， 故答案为：（ +3）（ 3） 【点评】 此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键 11大量事实证明，环境污染治理刻不容缓，全球每秒钟约有 142000 吨污水排入江河湖海，把 142000吨用科学记数法表示为 05 吨 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a10，其中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】 解； 142000=05， 故答案为： 05 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 12一次函数 y=2x 3 的图象不经过第 二 象限 【考点】 一次函数的性质 【专题】 探究型 【分析】 先根据一次函数的性质判断出此函数图象所经过的象限，再进行解答即可 【解答】 解： 一次函数 y=2x 3 中， k=2 0， 此函数图象经过一、三象限， b= 3 0， 此函数图象与 y 轴负半轴相交， 此一次函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限 第 13 页（共 26 页） 故答案为：二 【点评】 本题考查的是一次函数的性质，即一次函数 y=kx+b（ k0）中，当 k 0 时，函数图象经过一、三象限，当 b 0 时，（ 0， b）在 y 轴的负半轴，直线与 y 轴交于负半轴 13某数学活动小组的 20 名同学站成一列做报数游戏，规 则是：从前面第一位开始，每位同学一次报自己的顺序数的倒数加 1，第一同学报（ +1），第二位同学报（ +1），第三位同学报（ +1）， 这样得到的 20 个数的积为 21 【考点】 规律型：数字的变化类 【分析】 根据已知得出数字变化规律，即可得出这样 20 个数据，进而得出这样 20 个数的积分子与分母正好能约分，最后剩下 21，即可得出答案 【解答】 解： 第一同学报（ +1），第二位同学报（ +1），第三位同学报（ +1）， 这样 20 个数据分别为：（ +1） =2，（ +1） = ，（ +1） = （ +1） = ，（ +1）= ， 故这样得到的 20 个数的积为： 2 =21， 故答案为： 21 【点评】 此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出 20 个数据，进而得出 20 个数的积是解题关键 14一个边长为 4等边三角形 O 等高，如图放置， O 与 切于点 C， O 与交于点 E，则 长为 3 【考点】 切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理 【专题】 几何图形问题 第 14 页（共 26 页） 【分析】 连接 过点 O 作 F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边的 倍已知边长为 4等边三角形 O 等高，说明 O 的半径为 ，即 ，又 0，故有 0，在 ，可得出 长，利用垂径定理即可得出 长 【解答】 解：连接 过点 O 作 F， 且 等边三角形，边长为 4， 故高为 2 ，即 ， 又 0，故有 0， 在 ，可得 C ， 圆心，且 据垂径定理易知 故答案为： 3 【点评】 本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识题目不是太难，属于基础性题目 15二次函数 y=图象如图，若一元二次方程 bx+m=0 有实数根，则 m 的最大值为 3 【考点】 抛物线与 x 轴的交点 【分析】 先根据抛物线的开口向上可知 a 0，由顶点纵坐标为 3 得出 b 与 a 关系，再根据一元二次方程 bx+m=0 有实数根可得到关于 m 的不等式，求出 m 的取值范围即可 【解答】 解： 抛物线的开口向上，顶点纵坐标为 3， a 0 = 3，即 2a， 一元二次方程 bx+m=0 有实数根， 第 15 页（共 26 页） =4，即 12a 4，即 12 4m0，解得 m3， m 的最大值为 3， 故答案为 3 【点评】 本题考查的是抛物线与 x 轴的交点，根据题意判断出 a 的符号及 a、 b 的关系是解答此题的关键 16以边长为 2 的正方形的中心 O 为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于 A、 线段 最小值 【考点】 正方形的性质；垂线段最短；全等三角 形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 【专题】 证明题；压轴题 【分析】 证 出等腰直角三角形 出 出要使 小，只要 最小值即可，当 ， 小，求出 值即可 【解答】 解： 四边形 正方形， 5， 0， D， 0， 0， 0， 在 第 16 页（共 26 页） ， B， 0， 等腰直角三角形， 由勾股定理得： = 要使 小，只要 最小值即可， 根据垂线段最短， ， 小， 正方形 F， A， ， 即 ， 故答案为： 【点评】 本题考查了勾股定理，全等三角形的性质和判定，正方形的性质，垂线段最短等知识点的应用，关键是求出 得出 小，题目具有一定的代表性，有一定的难度 三、解答题（本大题共 8小题，共 52分，应写出必 要的解答说明、证明过程或演算步骤） 17计算： | 2|（ 3） 0+（ 1） 2015 【考点】 实数的运算；零指数幂 【专题】 计算题 【分析】 原式第一项利用绝对值的代数意义化简，第二项利用零指数幂法则计算，最后一项利用乘方的意义计算即可得到结果 【解答】 解：原式 =2 1 1=0 【点评】 此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 18先化简，再求值：（ 1 ） ，其中 a=2， b= 1 第 17 页（共 26 页） 【考点】 分式的化简求值 【分析】 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把 a=2， b= 1 代入进行计算即可 【解答】 解：原式 = =a b， 当 a=2， b= 1 时，原式 =a b=2+1=3 【点评】 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键 19如图，一居民楼底部 B 与山脚 P 位于同一水平线 上，小李在 P 处测得居民楼顶 A 的仰角为 60，然后他从 P 处沿坡角为 45的山坡向上走到 C 处，这时， 0m，点 C 与点 A 在同一水平线上， A、B、 P、 C 在同一平面内 （ 1）求居民楼 高度； （ 2）求 C、 A 之间的距离 （精确到 考数据： 【考点】 解直角三角形的应用 直角三角形的应用 【分析】 （ 1）首先分析图形：根据题意构造直角三角形，利用在 ，由 ，得出长度，进而可求出答案 （ 2）在 ， ，得出 长，进而得出 长，即可得出答案 【解答】 解：（ 1）过点 C 作 点 E， 在 0m， 5， ， C30 =15 m， 点 C 与点 A 在同一水平线上， E=15 第 18 页（共 26 页） 答：居民楼 高度约为 （ 2）在 0， ， = m， E=15 m， E=15 +5 答： C、 A 之间的距离约为 【点评】 此题主要考查了仰角、坡角问题的应用，要求学生借助仰角 、坡角关系构造直角三角形，并结合图形利用三角函数求解 20在学校大课间活动中，小英、小丽和小敏在操场上画出 A、 B 两个区域，一起玩投沙包游戏，沙包落在 A 区域所得分值与落在 B 区域所得分值不同，当每个各投沙包四次时，其落点和四次总分如图所示 （ 1）请求出 A 区域和 B 区域每个沙包落点的分值分别是多少？ （ 2）求小敏的得分 【考点】 二元一次方程组的应用 【分析】 （ 1）设沙包落在 A 区域得 x 分，落在 B 区域得（ 34 3x）分，根据 “小英的总分 34 分 ”“小丽的总分是 32 分 ”作为相等关系列方程组求得 A 区， B 区的得分； （ 2）小敏的总分 =沙包落在 A 区域得分 1+沙包落在 B 区域得分 3，依此计算即可求解 【解答】 解：（ 1）设 A 区域和 B 区域每个落点的分值是 x 分， y 分，依题意得 第 19 页（共 26 页） ， 解得 ， 答： A 区域和 B 区域每个落点的分值是 9 分， 7 分； （ 2） x+3y=30，所以小敏的得分是 30 分 【点评】 此题主要考查了二元一次方程组的应用，解题关键是要读懂题目的意思， 根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解 21我市某中学艺术节期间，向学校学生征集书画作品九年级美术李老师从全年级 14 个班中随机抽取了 A、 B、 C、 D 4 个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了如下两幅不完整的统计图 （ 1）李老师采取的调查方式是 抽样调查 （填 “普查 ”或 “抽样调查 ”），李老师所调查的 4 个班征集到作品共 12 件，其中 B 班征集到作品 3 ，请把图 2 补充完整 （ 2）如果全年级参展作品中有 4 件获得一等奖，其中有 2 名作者是男生， 2 名作者是女生现在要抽两人去参 加学校总结表彰座谈会，求恰好抽中一男一女的概率（要求用树状图或列表法写出分析过程） 【考点】 列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图 【分析】 （ 1）由题意可求得李老师所调查的 4 个班征集到作品共： 5 =12（件）， B 班征集到作品： 12 2 5 2=3（件）；继而可补全条形统计图； （ 2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽中一男一女的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】 解：（ 1） 李老师所调查的 4 个班征集到作品共： 5 =12（件）， B 班征集到作品： 12 2 5 2=3（件）； 第 20 页（共 26 页） 李老师采取的调查方式是抽样调查，李老师所调查的 4 个班征集到作品共 12 件，其中 B 班征集到作品 3 件， 故答案为：抽样调查； 12； 3； 补全图 2，如图所示： （ 2）画树状图如下： 所有等可能的情况有 12 种，其中一男 一女有 8 种， 恰好抽中一男一女的概率为： = 【点评】 此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 22如图，点 A、 B、 C 分别是 O 上的点， B=60， O 的直径， P 是 长线上的点，且 C （ 1）求证： O 的切线； （ 2）若 ，求 长 第 21 页（共 26 页） 【考点】 切线的判定 【分析】 （ 1）连接 出 出 出 P，求出 出 0，根据切线判定推出即可； （ 2）根据 0， 求出 出半径，在 根据勾股定理求出即可 【解答】 解：（ 1）证明：连接 B=60， B=120， C， 0， 0， 又 C， P= 0， 0， 即 点 A 在 O 上， O 的切线 （ 2）解：连接 O 的直径， 0， C ， ， O= ， 在 ，由勾股定理得： 32+（ ） 2=（ ） 2， 值为正数， 第 22 页（共 26 页） 【点评】 本题考查了切线的性质和判定，圆周角定理，等腰三角形的性质和判定的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理的能力 23在矩形 ， 米， 米，动点 P 以 2 米 /秒的速度从点 A 出发，沿 点 C 移动，同时动点 Q 以 1 米 /秒的速度从点 C 出发，沿 点 B 移动，设 P、 Q 两点同时移动的时间为t 秒（ 0 t （ 1）当 t 为何值时， （ 2）设四边形 面积为 y，当 t 为何值时， y 的值最小？并求出这个最小值 【考点】 四边形综合题 【分析】 （ 1）首先由勾股定理求得 ，然后根据 得到 ，从而得到关于 t 的方程，从而可解得 t 的值； （ 2）过点 P 作 得到 ，从而可求得 ，然后根据 y= 面积列出 t 与 y 的函数关系式，最后利用配方法求得最小值即可 【解答】 解：（ 1）如图 1 所示： 第 23 页（共 26 页） 在 ， 设运动时间为 t，则 C 2t， QC=t， ， 解得； t= ； （ 2）如图 2 所示：过点 P 作 设运动时间为 t，则 C 2t， QC=t， ，即 面积 = = y= 面积 面积 = = ， 配方得： y= 当 t= 时， y 有最小值，最小值为 y= 【点评】 本题主要考查的是二次函数和相似三角形的性质和判定的综合应用，利用相似三角形的性质求得 长，从而得到 y 与 t 的函数关系式是解题的关键 第 24 页（共 26 页） 24如图，在平面直角坐标系中， 直角三角形， 0， C， ， ，抛物线 y=x2+bx+c 经过 A， B 两点，抛物线的顶点为 D （ 1）求 b， c 的值； （ 2）点 E 是直角三角形 边 一动点（点 A、 B 除外），过 点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点 F，当线段 长度最大时，求点 E 的坐标； （ 3）