高考解析几何压轴题精选(含答案)

1 设抛物线 2 2 0 ypx p 的焦点为F 点 0 2 A 若线段FA的中点B在抛物线上 则 B到该抛物线准线的距离为 3 分 2 已知 m 1 直线 2 0 2 m l xmy 椭圆 2 2 2 1 x Cy m 1 2 F F分别为椭圆C的左 右 焦点 当直线l过右焦点 2 F时 求直线l的方程 设直线 l与椭圆C交于 A B两点 12 AFFV 12 BFFV的重心分别为 G H 若原点O在以线段 GH为直径的圆内 求实数m的取值范围 6 分 3 已知以原点 O 为中心 5 0F为右焦点的双曲线 C 的离心率 5 2 e I 求双曲线 C 的标准方程及其渐近 线方程 II 如题 20 图 已知过点 11 M x y的直线 111 44lx xy y 与过点 22 N xy 其中 2 xx 的直线 222 44lx xy y 的交点 E 在双 曲线 C 上 直线 MN 与两条渐近线分别交与 G H 两点 求OGH 的面积 8 分 4 如图 已知椭圆 22 22 1 0 xy ab ab 的离心率为 2 2 以该椭圆上的点和椭圆的左 右焦 点 12 F F为顶点的三角形的周长为4 21 一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点 设P为 该双曲线上异于顶点的任一点 直线 1 PF和 2 PF与椭圆的交点分别为BA 和CD 求椭圆和双曲线的标准方程 设直线 1 PF 2 PF的斜率分别为 1 k 2 k 证明 12 1k k 是否存在常数 使得 ABCDAB CD 恒成立 若存在 求 的值 若不存在 请说明理由 7 分 5 在平面直角坐标系xoy中 如图 已知椭圆1 59 22 yx 的左 右顶点为 A B 右焦点为 F 设过点 T mt 的直线 TA TB 与椭圆分别交于点 M 11 yx 22 yxN 其中 m 0 0 0 21 yy 1 设动点 P 满足4 22 PBPF 求点 P 的轨迹 2 设 3 1 2 21 xx 求点 T 的坐标 3 设9 t 求证 直线 MN 必过 x 轴上的一定点 其坐标与 m 无关 6 分 6 如图 设抛物线的焦点为 F 动点 P 在直线上运动 过 P 2 xyC 02 yxl 作抛物线 C 的两条切线 PA PB 且与抛物线 C 分别相切于 A B 两点 1 求 APB 的重心 G 的轨迹方程 2 证明 PFA PFB 6 分 7 设 A B 是椭圆上的两点 点 N 1 3 是线段 AB 的中点 线段 AB 的垂直 22 3yx 平分线与椭圆相交于 C D 两点 确定的取值范围 并求直线 AB 的方程 试判断是否存在这样的 使得 A B C D 四点在同一个圆上 并说明理由 此题不要求在答题卡上画图 6 分 8 如图 已知椭圆的中心在坐标原点 焦点 F1 F2在 x 轴上 长轴 A1A2的长为 4 左准线 l 与 x 轴的交点为 M MA1 A1F1 2 1 求椭圆的方程 若点 P 为 l 上的动点 求 F1PF2最大值 6 分 9 设 F1 F2是椭圆1 49 22 yx 的两个焦点 P 是椭圆上的点 且 PF1 PF2 2 1 则三角 形 PF1F2的面积等于 3 分 10 在平面直角坐标系 XOY 中 给定两点 M 1 2 和 N 1 4 点 P 在 X 轴上移动 当 MPN 取最大值时 点 P 的横坐标为 3 分 11 若正方形 ABCD 的一条边在直线172 xy上 另外两个顶点在抛物线 2 xy 上 则 该正方形面积的最小值为 3 分 12 已知 0 C 1 22 yx和 1 C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 试问 当且仅当 a b 满足什么条 件时 对 1 C任意一点 P 均存在以 P 为顶点 与 0 C外切 与 1 C内接的平行四边形 并证明 你的结论 4 分 13 设曲线 C1 1 2 2 2 y a x a 为正常数 与 C2 y2 2 x m 在 x 轴上方公有一个公共点 P 1 实数 m 的取值范围 用 a 表示 2 O 为原点 若 C1与 x 轴的负半轴交于点 A 当 0 a12 使得 A B C D 四点共圆 则 CD 必为圆的直径 点 M 为圆心 点 M 到直线 AB 的距离为 2 23 2 4 2 3 2 1 2 4 00 yx d 于是 由 式和勾股定理可得 2 2 3 2 12 2 9 2 22222 CDAB dMBMA 故当 12 时 A B C D 四点匀在以 M 为圆心 为半径的圆上 2 CD 注 上述解法中最后一步可按如下解法获得 A B C D 共圆 ACD 为直角三角形 A 为直角 AN 2 CN DN 即 2 2 2 2 d CD d CDAB 由 式知 式左边 2 12 由 和 知 式右边 2 12 2 9 2 3 2 23 2 3 2 2 23 2 3 2 式成立 即 A B C D 四点共圆 解法 2 由 解法 1 及 12 CD 垂直平分 AB 直线 CD 方程为 代入椭圆方程 整理得13 xy 0 444 2 xx 将直线 AB 的方程 x y 4 0 代入椭圆方程 整理得 01684 2 xx 解 和 式可得 2 31 2 122 4 32 1 xx 不妨设 2 33 2 31 2 33 2 31 12 2 1 3 12 2 1 1 DCA 2 1233 2 3123 CA 2 1233 2 3123 DA 计算可得 A 在以 CD 为直径的圆上 0 DACA 又 B 为 A 关于 CD 的对称点 A B C D 四点共圆 注 也可用勾股定理证明 AC AD 8 解 设椭圆方程为 半焦距为 则 22 22 10 xy ab ab c 2 111 2 222 22 2 24 2 3 1 1 43 a MAa AFac c a aac c a abc abc xy 由题意 得 故椭圆方程为 00 4 0Pyy 设 00 1122 121 1 00 21 12 2 120 0 001212 12 35 0 2 22 15 tan 115152 15 1515tan 15 arctan 15 yy PFkPFk FPFPFM FPF yykk FPF k kyy yyFPFFPF FPF 设直线的斜率 直线的斜率 为锐角 当 即 时 取到最大值 此时最大 故的最大值为 8 90 9 3 32 10 设椭圆的长轴 短轴的长及焦矩分别为 2a 2b 2c 则由其方程知 a 3 b 2 c 5 故 PF1 PF2 2a 6 又已知 PF1 PF2 2 1 故可得 PFl 4 PF2 2 在 PFlF2中 三边 之长分别为 2 4 25 而 22 42 25 2 可见 PFlF2是直角三角形 且两直角边的长为 2 和 4 故 PFlF2的面积 4 11 解 经过 M N 两点的圆的圆心在线段 MN 的垂直平分线 y 3 x 上 设圆心为 S a 3 a 则圆 S 的方程为 222 3 2 1 xayaa 对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大 所以 当 MPN 取最大值时 经过 M N P 三点的圆 S 必与 X 轴相切于点 P 即圆 S 的方程中的 a 值必须满足 22 2 1 3 aa 解得 a 1 或 a 7 即对应的切点分别为 1 0 7 0 PP 和 而过点 M N p的圆的半径大于过点 M N P 的圆的半径 所以 MPNMP N 故点 P 1 0 为所求 所以点 P 的横坐标为 1 12 解 设正方形的边 AB 在直线172 xy上 而位于抛物线上的两个顶点坐标为 11 yxC 22 yxD 则 CD 所在直线l的方程 2bxy 将直线l的方程与抛物线方程 联立 得 112 2 1 2 bxbxx 令正方形边长为 a则 1 20 5 2 21 2 21 2 21 2 bxxyyxxa 在172 xy上任取一点 6 5 它到直线bxy 2的距离为 5 17 b aa 联立解得 80 63 3 2 21 abb或 80 1280 2 min 2 aa 13 利用极坐标解决 以坐标原点为极点 x 轴为极轴建立极坐标系 则椭圆的极坐标方程为 2 2 2 2 2 sincos1 ba 1 显知此平行四边形 ABCD 必为菱形 设 A 1 则 B 90 2 代入 1 式相加 222 2 2 1 1111 ba 由于该菱形必与单位圆相切 故原点到 AB 的距离为 1 2 2 2 111 1 从而1 11 2 2 2 1 1 11 22 ba 14 解 1 由 2 1 2 2 2 2 mxy y a x 消去 y 得 022 2222 amaxax 设 2222 22 amaxaxxf 问题 1 化为方程 在 x a a 上有唯一解或等根 只需讨论以下三种情况 1 0 得 2 1 2 a m 此时 xp a2 当且仅当 a a2 a 即 0 a 1 时适合 2 f a f a 0 当且仅当 a m a 3 f a 0 得 m a 此时 xp a 2a2 当且仅当 a a 2a2 a 即 0 a 1 时适合 f a 0 得 m a 此时 xp a 2a2 由于 a 2a2 a 从而 m a 综上可知 当 0 a 1 时 2 1 2 a m或 a m a 当 a 1 时 a m a 2 OAP 的面积 p ayS 2 1 0 a 2 1 故 a m a 时 0 maaa21 22 a 由唯一性得 maaaxp21 22 显然当 m a 时 xp取值最小 由于 xp 0 从而 yp 2 2 1 a xp 取值最大 此时 2 2aayp 2 aaaS 当 2 1 2 a m时 xp a2 yp 2 1a 此时 2 1 2 1 aaS 下面比较 2 aaa 与 2 1 2 1 aa 的大小 令 22 1 2 1 aaaaa 得 3 1 a 故当 0 a 3 1 时 2 aaa 2 1 2 1 aa 此时 2 1 2 1 aaSmax 当 2 1 3 1 a时 22 1 2 1 aaaaa 此时 2 aaaSmax 15 解 设B点坐标为 4 1 2 1 yy C点坐标为 4 2 yy 显然04 2 1 y 故 2 1 4 2 1 2 1 1 yy y kAB 由于BCAB 所以 2 1 ykBC 从而 4 4 2 2 2 111 xy yxyyy 消去x 注意到 1 yy 得 01 2 11 yyy 0 12 2 2 1 2 1 yyyy 由0 解得 0 y或4 y 当0 y时 点B的坐标为 1 3 当4 y时 点B的坐标为 3 5 均满足是题 意 故点C的纵坐标的取值范围是0 y或4 y 16 解 如图 以 O 为原点 OA 所在直线为 x 轴建立直角坐标系 则有 A a 0 设折叠时 O 上点 A sin cosRR 与点 A 重合 而折痕为直线 MN 则 MN 为线段 AA 的中垂 线 设 P x y 为 MN 上任一点 则 PA PA 5 分 2222 sin cos yaxRyRx 即axaRyxR2 sincos 2 22 10 分 22 22 22 2 2sincos yxR axaR yx yx 可得 cos sin 2 2 sin 222222 22 yx y yx x yxR axaR 22 22 2 2 yxR axaR 1 此不等式也可直接由柯西不等式得到 15 分 平方后可化为 22 2 2 2 2 2 2 2 aR y R a x 1 即所求点的集合为椭圆圆 22 2 2 2 2 2 2 2 aR y R a x 1 外 含边界 的部分 20 分 17 解 直线 AB AC BC 的方程依次为 44 1 1 0 33 yxyxy 点 P x y到 AB AC BC 的距离依次为 123 11 434 434 55 dxydxydy 依设 2222 123 16 34 25d ddxyy 得 即 222222 16 34 250 16 34 250 xyyxyy 或 化简得点 P 的轨迹方程为 圆 S 222 22320171280 xyyyy 2 与双曲线T 8x 由前知 点 P 的轨迹包含两部分 圆 S 22 22320 xyy 与双曲线 T 2 171280yy 2 8x 因为 B 1 0 和 C 1 0 是适合题设条件的点 所以点 B 和点 C 在点 P 的轨迹上 且点 P 的轨迹曲线 S 与 T 的公共点只有 B C 两点 ABC 的内心 D 也是适合题设条件的点 由 123 ddd 解得 1 0 2 D 且知它在圆 S 上 直线 L 经过 D 且与点 P 的轨迹有 3 个公共点 所以 L 的斜率存在 设 L 的方程为 1 2 ykx i 当 k 0 时 L 与圆 S 相切 有唯一的公共点 D 此时 直线 1 2 y 平行于 x 轴 表明 L 与双 曲线有不同于 D 的两个公共点 所以 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点 10 分 ii 当0k 时 L 与圆 S 有两个不同的交点 这时 L 与点 P 的轨迹恰有 3 个公共点只能有 两种情况 情况 1 直线 L 经过点 B 或点 C 此时 L 的斜率 1 2 k 直线 L 的方程为 21 xy 代入方程 得 34 0yy 解得 5 4 3 3 E 5 4 或F 3 3 表明直线 BD 与 曲线 T 有 2 个交点 B E 直线 CD 与曲线 T 有 2 个交点 C F 故当 1 2 k 时 L 恰好与点 P 的轨迹有 3 个公共点 情况 2 直线 L 不经过点 B 和 C 即 1 2 k 因为 L 与 S 有两个不同的交点 所以 L 与双曲线 T 有且只有一个公共点 即方程组 22 8171280 1 2 xyy ykx 有且只有一组实数解 消去 y 并化简得 22 25 8 17 50 4 kxkx 该方程有唯一实数解的充要条件是 2 8 170k 或 22 25 5 4 8 17 0 4 kk 解方程 得 2 34 17 k 解方程 得 2 2 k 综合得直线 L 的斜率 k 的取值范围是有限集 12 342 0 2172 18 解一 过抛物线上点 A 的切线斜率为 2 2 1x xy切线 AB 的方程为 DBxy 1 2的坐标为DDB 0 2 1 1 0 是线段 AB 的中点 设 yxP 2 00 xxC 11 yxE 22 yxF 则由 1 EC AE 知 1 1 1 1 1 2 01 1 1 01 1 x y x x 2 FC BE 得 1 1 1 2 2 02 2 2 02 2 x y x x EF 所在直线方程为 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 01 2 02 1 01 1 2 01 2 2 02 1 2 01 xx x x xx x y 化简得 1 3 1 2 020 2 0122012 xxxxyx 当 2 1 0 x时 直线 CD 的方程为 12 2 0 2 0 2 0 x xxx y 联立 解得 0 2 0 1 3 3 x x x y 消去 0 x 得 P 点轨迹方程为 13 3 1 2 xy 当 2 1 0 x时 EF 方程为 CDxy 4 1 2 3 3 4 1 4 1 2