2014中考总复习数学基础讲练第14讲三角形与全等三角形（含答案点拨）AVIP

1 第第 1414 讲讲 三角形与全等三角形三角形与全等三角形 考纲要求命题趋势 1 了解三角形和全等三角形有关的概念 知道三 角形的稳定性 掌握三角形的三边关系 2 理解三角形内角和定理及推论 3 理解三角形的角平分线 中线 高的概念及画 法和性质 4 掌握三角形全等的性质与判定 熟练掌握三角 形全等的证明 中考中多以填空题 选择题的形式 考查三角形的边角关系 通过解答题来 考查全等三角形的性质及判定 全等三 角形在中考中常与平行四边形 二次函 数 圆等知识相结合 考查学生综合运 用知识的能力 知识梳理知识梳理 考点一 全等三角形及其性质 1 全等三角形及有关性质全等三角形及有关性质 1 能够 能够 的两个三角形叫做全等三角形 的两个三角形叫做全等三角形 2 把两个全等三角形重合到一起 重合的顶点叫做对应 把两个全等三角形重合到一起 重合的顶点叫做对应 重合的边叫做对应 重合的边叫做对应 重合的角叫做对应 重合的角叫做对应 3 全等全等 用用 表示 读作表示 读作 全等于全等于 重点提示 记两个三角形全等时 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置 重点提示 记两个三角形全等时 通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置 2 全等三角形的性质 全等三角形的性质 全等三角形的对应全等三角形的对应 相等 对应相等 对应 相等 相等 考点二 三角形全等的判定考点二 三角形全等的判定 1 一般三角形全等的判定方法有一般三角形全等的判定方法有 2 直角三角形全等的判定方法除了利用一般三角形全等的判定方法外还有 直角三角形全等的判定方法除了利用一般三角形全等的判定方法外还有 重点提示 两边一角 重点提示 两边一角 SSA 和三角 和三角 AAA 对应相等的两个三角形不一定全等 对应相等的两个三角形不一定全等 适时总结 适时总结 1 证明角相等的常用方法 证明角相等的常用方法 1 对顶角相等 对顶角相等 2 同角 或等到角 的余角 或补角 相等 同角 或等到角 的余角 或补角 相等 3 两直线平行 同位角相等 内错角相等 两直线平行 同位角相等 内错角相等 4 角平分线的定义 角平分线的定义 5 全等三角形的对应角相等 全等三角形的对应角相等 2 证明线段相等的方法 证明线段相等的方法 1 中点的定义 中点的定义 2 等到式的性质 等到式的性质 3 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应边相等 考点三 角平分线的性质考点三 角平分线的性质 1 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角的两边的距离相等 角平分线的性质定理 角平分线上的点到角的两边的距离相等 2 角平分线的判定定理 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 角平分线的判定定理 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上 3 三角形三条角平分线交于三角形内部一点 其交点到三边的距离相等 三角形三条角平分线交于三角形内部一点 其交点到三边的距离相等 考点四 全等三角形的性质与判定 例 2 如图 在 Rt ABC 中 BAC 90 AC 2AB 点 D 是 AC 的中点 将一块 锐角为 45 的直角三角板 AED 如图放置 使三角板斜边的两个端点分别与 A D 重合 连 接 BE EC 试猜想线段 BE 和 EC 的数量及位置关系 并证明你的猜想 2 解 解 BE EC BE EC 证明如下 AC 2AB 点 D 是 AC 的中点 AB AD CD EAD EDA 45 EAB EDC 135 又 EA ED EAB EDC AEB DEC EB EC BEC AED 90 BE EC BE EC 方法总结方法总结 1 判定两个三角形全等时 常用下面的思路 有两角对应相等时找夹边或 任一边对应相等 有两边对应相等时找夹角或另一边对应相等 在具体的证明中 要根据 已知条件灵活选择证明方法 2 全等三角形的性质主要是指全等三角形的对应边 对应角 对应中线 对应高 对 应角平分线 周长 面积等之间的等量关系 触类旁通触类旁通 2 如图 在 ABC 中 ACB 90 AC BC BE CE 于点 E AD CE 于点 D 求证 BEC CDA 考点四 证明的方法 例 4 如图 已知在梯形 ABCD 中 AD BC BC DC CF 平分 BCD DF AB BF 的延长线交 DC 于点 E 求证 1 BFC DFC 2 AD DE 证明 1 CF 平分 BCD BCF DCF 在 BFC 和 DFC 中 Error BFC DFC 2 如图 连接 BD BFC DFC BF DF FBD FDB 3 DF AB ABD FDB ABD FBD AD BC BDA DBC BC DC DBC BDC BDA BDC 又 BD 是公共边 BAD BED AD DE 方法总结方法总结 1 证明问题时 首先要理清证明的思路 做到证明过程的每一步都有理有 据 推理严密 要证明线段 角相等时 证全等是常用的方法 2 证明的基本方法 1 综合法 从已知条件入手 探索解题途径的方法 2 分析法 从结论出发 用倒推来寻求证题思路的方法 3 两头 凑 的方法 综合应用以上两种方法找证明思路的方法 触类旁通触类旁通 4 如图 在 ABC 中 AD 是中线 分别过点 B C 作 AD 及其延长线的垂 线 BE CF 垂足分别为点 E F 求证 BE CF 1 2012 浙江嘉兴 已知 ABC 中 B 是 A 的 2 倍 C 比 A 大 20 则 A 等 于 A 40 B 60 C 80 D 90 2 2012 贵阳 如图 已知点 A D C F 在同一条直线上 AB DE BC EF 要 使 ABC DEF 还需要添加一个条件是 A BCA F B B E C BC EF D A EDF 3 2012 四川雅安 在 ADB 和 ADC 中 下列条件 BD DC AB AC B C BAD CAD B C BD DC ADB ADC BD DC 能得出 ADB ADC 的序号是 4 2012 广东广州 如图 点 D 在 AB 上 点 E 在 AC 上 AB AC B C 求证 BE CD 5 2012 江苏苏州 如图 在梯形 ABCD 中 已知 AD BC AB CD 延长线段 CB 到 E 使 BE AD 连接 AE AC 4 1 求证 ABE CDA 2 若 DAC 40 求 EAC 的度数 1 如图 为估计池塘两岸 A B 间的距离 杨阳在池塘一侧选取了一点 P 测得 PA 16 m PB 12 m 那么 AB 间的距离不可能是 A 5 m B 15 m C 20 m D 28 m 2 如图 已知 ABC 中 ABC 45 F 是高 AD 和 BE 的交点 CD 4 则线段 DF 的长度为 A 2 B 4 2 C 3 D 4 22 3 如图 在 ABC 中 A 80 点 D 是 BC 延长线上一点 ACD 150 则 B 4 如图 在 ABC 中 BC 边不动 点 A 竖直向上运动 A 越来越小 B C 越来越大 若 A 减少 度 B 增加 度 C 增加 度 则 三者之间的等量关 系是 5 如图所示 三角形纸片 ABC 中 A 65 B 75 将纸片的一角折叠 使点 C 落在 ABC 内 若 1 20 则 2 的度数为 5 6 如图 点 B C F E 在同一直线上 1 2 BC FE 1 填 是 或 不是 2 的对顶角 要使 ABC DEF 还需添加一个条件 这个条件可 以是 只需写出一个 7 如图 已知在 ABC 中 ACB 90 CD AB 于点 D 点 E 在 AC 上 CE BC 过点 E 作 AC 的垂线 交 CD 的延长线于点 F 求证 AB FC 8 如图 点 A B D E 在同一直线上 AD EB BC DF C F 求证 AC EF 参考答案参考答案 导学必备知识 自主测试自主测试 1 A 2 A 3 B 4 D 5 证明 在 ABE 和 ACD 中 AB AC A A AE AD ABE ACD B C 探究考点方法探究考点方法 触类旁通触类旁通 1 B 由三角形三边的关系可得 13 2 x 13 2 即 11 x 15 x 为正 整数 x 为 12 13 14 故选 B 触类旁通触类旁通 2 证明 BE CF 于点 E AD CE 于点 D 6 BEC CDA 90 在 Rt BEC 中 BCE CBE 90 在 Rt BCA 中 BCE ACD 90 CBE ACD 在 BEC 和 CDA 中 Error BEC CDA 触类旁通触类旁通 3 触类旁通触类旁通 4 证明 在 ABC 中 AD 是中线 BD CD CF AD BE AE CFD BED 90 在 BED 与 CFD 中 BED CFD BDE CDF BD CD BED CFD BE CF 品鉴经典考题品鉴经典考题 1 A 设 A x 则 B 2x C x 20 则 x 2x x 20 180 解得 x 40 即 A 40 2 B 由已知可得两个三角形已有两组边对应相等 还需要另一组边对应相等或夹角 对应相等 只有 B 能满足条件 3 由题意知 AD AD 条件 可组成三边对应相等 条件 可组成两角和其 中一角的对边对应相等 条件 可组成两边及其夹角对应相等 这三个条件都可得出 ADB ADC 条件 组成的是两边及其一边的对角对应相等 不能得出 ADB ADC 4 证明 在 ABE 和 ACD 中 B C AB AC A A ABE ACD ASA BE CD 5 1 证明 在梯形 ABCD 中 AD BC AB CD ABE BAD BAD CDA ABE CDA 在 ABE 和 CDA 中 Error ABE CDA 2 解 解 由 1 得 AEB CAD AE AC AEB ACE DAC 40 AEB ACE 40 EAC 180 40 40 100 研习预测试题研习预测试题 1 D 由三角形三边关系知 16 12 AB 16 12 故选 D 2 B 因为由已知可证明 BDF ADC 所以 DF CD 3 70 4 5 60 A B C 180 CDE CED C 180 A B CDE CED A B CDE CED 2 A B 280 1 2 CDE CED A B 3