江苏省2012年专转本高数真题及答案

江苏省 2012 年普通高校 专转本 选拔考试 高等数学 试题卷 二年级 注意事项 出卷人 江苏建筑大学 张源教授 1 考生务必将密封线内的各项目及第 2 页右下角的座位号填写清楚 2 考生须用钢笔或圆珠笔将答案直接答在试卷上 答在草稿纸上无效 3 本试卷共 8 页 五大题 24 小题 满分 150 分 考试时间 120 分钟 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 1 极限 3sin1 sin2 lim x x x x x A B C D 0235 2 设 则函数的第一类间断点的个数为 4 sin 2 2 xx xx xf xf A B C D 0123 3 设 则函数 2 3 2 1 52 xxxf xf A 只有一个最大值 B 只有一个极小值 C 既有极大值又有极小值 D 没有极值 4 设在点处的全微分为 y xz 3 2ln 1 1 A B C D dydx3 dydx3 dydx3 2 1 dydx3 2 1 5 二次积分在极坐标系下可化为 dxyxfdy y 1 0 1 A B dfd sin cos 4 0 sec 0 dfd sin cos 4 0 sec 0 C D dfd sin cos 2 4 sec 0 dfd sin cos 2 4 sec 0 6 下列级数中条件收敛的是 A B C D 12 1 1 n n n n 1 2 3 1 n nn 1 2 1 n n n 1 1 n n n 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 4 分 共 24 分 7 要使函数在点处连续 则需补充定义 x xxf 1 21 0 x 0 f 8 设函数 则 x exxxy 222 12 0 7 y 9 设 则函数的微分 0 xxy x y dy 10 设向量互相垂直 且 则 ba 23 ba ba2 11 设反常积分 则常数 2 1 dxe a x a 12 幂级数的收敛域为 n n n n x n 3 3 1 1 三 计算题 本大题共 8 小题 每小题 8 分 共 64 分 13 求极限 1ln 2cos2 lim 3 2 0 xx xx x 14 设函数由参数方程所确定 求 xyy tty t tx ln2 1 2 2 2 dx yd dx dy 15 求不定积分 dx x x 2 cos 12 16 计算定积分 dx xx 2 1 12 1 17 已知平面通过与轴 求通过且与平面平行 又与轴垂直的 3 2 1 Mx 1 1 1 N x 直线方程 18 设函数 其中函数具有二阶连续偏导数 函数具有二 22 yxxyxfz f 阶连续导数 求 yx z 2 19 已知函数的一个原函数为 求微分方程的通解 xf x xe 44xfyyy 20 计算二重积分 其中 D 是由曲线 直线及轴所围成的 D ydxdy1 xy xy 2 1 x 平面闭区域 四 综合题 本大题共 2 小题 每小题 10 分 共 20 分 21 在抛物线上求一点 使该抛物线与其在点处的切线及轴所围成 0 2 xxyPPx 的平面图形的面积为 并求该平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积 3 2 x 22 已知定义在上的可导函数满足方程 试求 xf3 4 3 1 xdttfxxf x 1 函数的表达式 xf 2 函数的单调区间与极值 xf 3 曲线的凹凸区间与拐点 xfy 五 证明题 本大题共 2 小题 每小题 9 分 共 18 分 23 证明 当时 10 x 3 6 1 arcsinxxx 24 设 其中函数在上连续 且 0 0 0 2 0 xg x x dttg xf x xg 证明 函数在处可导 且 3 cos1 lim 0 x xg x xf0 x 2 1 0 f 一 选择题 1 5 B C C A B D 二 填空题 7 12 2 e128dxxxn ln1 52ln 6 0 三 计算题 13 求极限 1ln 2cos2 lim 3 2 0 xx xx x 原式 3 0 3 0 4 2 0 2 sin lim 4 sin22 lim 2cos2 lim x xx x xx x xx xxx 12 1 6 2 1 lim 6 cos1 lim 2 2 0 2 0 x x x x xx 14 设函数由参数方程所确定 求 xyy tty t tx ln2 1 2 2 2 dx yd dx dy 原式 t t t t dt dx dt dy dx dy 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 2 2 2 2 2 2 t t tdt dx dt dx dy d dx dx dy d dx yd 15 求不定积分 dx x x 2 cos 12 原式 12 tantan 12 tan 12 cos 12 2 xxdxxxdxdx x x Cxxxxdxxx cosln2tan 12 tan2tan 12 16 计算定积分 dx xx 2 1 12 1 原式 令 则原式 tx 12 61 3 arctan2 1 1 2 2 1 3 1 2 3 1 2 tdt t dt t t t 17 已知平面通过与轴 求通过且与平面平行 又与轴垂直的 3 2 1 Mx 1 1 1 N x 直线方程 解 平面的法向量 直线方向向量为 2 3 0 iOMn 3 2 0 inS 直线方程 3 1 2 1 0 1 zyx 18 设函数 其中函数具有二阶连续偏导数 函数具有二 22 yxxyxfz f 阶连续导数 求 yx z 2 解 xyff x z 2 21 yxfxyfxf yx z 22 22212 2 19 已知函数的一个原函数为 求微分方程的通解 xf x xe 44xfyyy 解 先求的通解 特征方程 xx exxexf 1 044 yyy 044 2 rr 齐次方程的通解为 令特解为 2 21 r x exCCY 2 21 x eBAxy 代入原方程得 有待定系数法得 1969 xBAAx 解得 所以通解为 196 19 BA A 27 1 9 1 B A xx exexCCY 27 1 9 1 2 21 20 计算二重积分 其中 D 是由曲线 直线及轴所围成的 D ydxdy1 xy xy 2 1 x 平面闭区域 原式 1 2 1 0 2 12 1 y y dxydy 四 综合题 21 在抛物线上求一点 使该抛物线与其在点处的切线及轴所围成 0 2 xxyPPx 的平面图形的面积为 并求该平面图形绕轴旋转一周所形成的旋转体的体积 3 2 x 解 设点 则 切线 P 0 0 2 00 xxx 0 2xk 切 2 00 2 0 xxxxy 即 由题意 得 xxxy 0 2 0 2 3 2 2 2 0 0 0 2 0 x dyy x xy 2 0 x 4 2 P 15 16 44 2 1 2 2 0 4 xdxxdxVx 22 已知定义在上的可导函数满足方程 试求 xf3 4 3 1 xdttfxxf x 1 函数的表达式 xf 2 函数的单调区间与极值 xf 3 曲线的凹凸区间与拐点 xfy 解 1 已知两边同时对求导得 3 4 3 1 xdttfxxf x x 2 3 4 xxfxf xxf 即 则 由题意得 则xy x y3 3 32 3cxxy 2 1 f1 c 32 3 xxxf 2 列表讨论得在单调递增 在2 0 063 21 2 xxxxxf 2 0 单调递减 极大值 极小值 2 0 0 0 f4 2 f 3 1 066 xxxf 列表讨论得在凹 在凸 拐点 1 1 2 1 五 证明题 23 证明 当时 10 x 3 6 1 arcsinxxx 解 令 0 0 6 1 arcsin 3 fxxxxf0 0 2 1 1 1 1 2 2 fx x xf 在 单调递增 0 1 1 1 1 3232 x xx x x xf10 x x f 所以在 单调递增 则有 得证 0 0 fxf10 x xf0 0 fxf 24 设 其中函数在上连续 且 0 0 0 2 0 xg x x dttg xf x xg 证明 函数在处可导 且 3 cos1 lim 0 x xg x xf0 x 2 1 0 f 解