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第五讲期权的价值决定 第一节 期权与期权产品简介第二节 期权的定价原则第三节 二叉树模型第四节 Black Scholes定价公式 主要内容 第三节 二叉树模型3 1二叉树模型简介单期二叉树模型两期二叉树模型多期二叉树模型3 2 更符合实际的二叉树模型3 3二叉树的其他应用 1979年 J C Cox S A Ross M Rubin stein将二叉树模型用于期权定价中 迄今为止 这种模型已经成为金融界最基本的期权定价方法之一 B0 C2 C1 C0 D0 D1 D2 D3 E4 二叉树模型的基本假设 资本市场完全竞争的市场无摩檫的 无交易费用和税收 市场交易可以连续进行不存在无风险套利机会股票和期权是无限可分下一期的股票价格只取两种可能的值 例 假设一种不支付红利股票目前的市价为20元 我们知道在3个月后 该股票价格要么是22元 要么是18元 假设现在的无风险年利率等于10 连续复利 现在我们要找出一份3个月期协议价格为21元的该股票欧式看涨期权的价值 一 单期二叉树 无套利定价思想1 复制待定价的产品 我们构造这样一个投资组合 以便使它与看涨期权的价值特征完全相同 以无风险利率r借入一部分资金B 相当于做空无风险债券 同时在股票市场上购入N股标的股票 该组合的成本是20N B 到了期末 该组合的价值V是NS1 B 对应于S1的两种可能 V有两个取值 如果S1 22 则V 1 22N B 如果S1 18 则V 0 18N B 一 单期二叉树 利用两式联立的方程组 可解得N和B 即 一 单期二叉树 无套利定价思想2 复制无风险组合 建立一个包含衍生品头寸和基础资产头寸的无风险的资产组合 若数量适当 基础资产多头的赢利就会与衍生品的空头亏损相抵 瞬间无风险 无风险组合的收益率必须等于无风险利率 为了找出该期权的价值 可构建一个由一单位看涨期权空头和 单位的标的股票多头组成的组合 为了使该组合在期权到期时无风险 必须满足下式 22 1 18 0 25 分析 一 单期二叉树 该无风险组合的现值应为 由于该组合中有一单位看涨期权空头和0 25单位股票多头 而目前股票市场为20元 因此 分析 一 单期二叉树 2 风险中性定价思想 一 单期二叉树 在风险中性世界中 我们假定该股票上升的概率为P 下跌的概率为1 P 则得 P 0 6266这样 根据风险中性定价原理 我们就可以给出该期权的价值 一般的例子 假设一个无红利支付的股票 当前时刻t股票价格为S 基于该股票的某个期权的价值是f 期权的有效期是T 在这个有效期内 股票价格或者上升到Su 或者下降到Sd d exp rT u 当股票价格上升到Su时 我们假设期权的收益为fu 如果股票的价格下降到Sd时 期权的收益为fd 一 单期二叉树 首先 构造一个由 股股票多头和一个期权空头组成的证券组合 使得该组合为无风险组合 即 由此计算出该组合为无风险时的 值 一 单期二叉树 无套利定价法的思路 一 单期二叉树 如果无风险利率用r表示 则该无风险组合的现值一定是 Su fu e rT 而构造该组合的成本是S f 在没有套利机会的条件下 两者必须相等 即S f Su fu e rT 所以 其中 风险中性定价的思路 假定风险中性世界中股票的上升概率为P 由于股票未来期望值按无风险利率贴现的现值必须等于该股票目前的价格 因此该概率可通过下式求得 所以 一 单期二叉树 小结 在二叉树模型计算欧式看涨期权价值中 不难发现 1 风险中性概率只依赖股票价格S变动范围 即u d的值 u d衡量的是股票价格的波动率 以后会在BS模型中看到波动率的重要性 2 计算公式中没有出现股票实际上涨或下跌的概率 也没有描述投资者对于风险偏好程度的变量 进一步解读 所以对于所有投资者来说 无论他对未来股票价格涨跌的概率有什么预期 或他对风险厌恶程度如何 都能对看涨期权的 公平 或 正确 价格达成一致 3 p称为股票价格上涨的风险中性概率risknerutralprobability不要与股票价格上涨的实际概率相混肴 实际概率并不影响期权价格 P也称为等价鞅测度概率 资产定价的基本定理 无套利假设等价于存在对未来不确定状态的某一等价概率测度 使得每一种金融资产对该等价概率测度的期望收益都等于无风险证券的收益率 表明了无套利定价与风险中性定价的关系 4 无风险对冲组合与套期保值比率 无风险对冲组合复制为无风险债券 所以其收益率等于无风险利率 无风险套利策略 在本节例题中如果期权报价 1 套利策略是什么 如果期权报价 0 5 套利策略是什么 启示 组合保险策略 引入无风险债券 与股票适当搭配头寸形成资产组合 能否复制出与衍生产品相同的现金流 组合保险策略如果可以 那么表现出衍生产品的冗余性质 为什么还需要衍生产品 注意 对于单步二叉树 美式期权和欧式期权的价格是相同的 因为只有一个执行机会 练习 求看跌期权的价值 X 21T 3个月 r 0 1 一 单期二叉树 其实u d就反映了股票的波动率 总结 期权的单期定价 股价的变化如图 每个步长为3个月 u 1 1 d 0 9 r 12 二 两期二叉树模型与delta动态保值 欧式看涨期权定价 X 21B结点处的价值 e 0 12 0 25 0 6523 3 2 0 3477 0 2 0257A结点处的价值 e 0 12 0 25 0 6523 2 0257 0 3477 0 1 2823 二 两期二叉树模型与delta动态保值 欧式看跌期权的定价 X 21 二 两期二叉树模型与delta动态保值 美式看跌期权的定价 X 21 练习 试计算美式看涨期权的价格 并比较美式看涨期权与欧式看涨期权间的关系 二 两期二叉树模型与delta动态保值 Delta D 由单步二叉树的套利定价法知 Delta D 为期权价值变化与股票价值变化的比值 对于单步二叉树 思考 当二叉树步数增加时 delta是否会变化 表示了看涨期权获得完全保值时 所需要的股票的数量 二 两期二叉树模型与delta动态保值 B点处的delta值 考虑两期二叉树 A点处的delta值 结论 不同时期不同股价获得完全保值需要的股票数量是不同的 因此 现实的套期保值策略是一个动态调整的过程 二 两期二叉树模型与delta动态保值 总结 欧式期权的二期定价 二 两期二叉树模型与delta动态保值 总结 美式期权的二期定价 股票价格的多期二叉树模型 类似地可以通过倒推方式计算期权的价值 例3 假设标的资产为不付红利股票 其当前市场价为100元 无风险连续复利为5 u 1 1 d 0 9 二叉树步长为1年 试计算该股票3年期的 协议价格为105元的欧式看涨期权的价值 三步二叉树模型下期权的定价 34 110 90 121 99 81 100 133 1 108 9 89 1 72 9 Pu 0 76 Pd 0 24 35 15 85 2 02 21 12 2 81 0 11 87 28 1 3 9 0 0 欧式看涨期权价值为11 87 总结 欧式期权的多期定价 美式期权的多期定价 主要内容 第二节 二叉树模型5 2 1 二叉树模型简介5 2 2 更符合实际的二叉树模型5 2 3 奇异期权的二叉树定价 5 更实际的二叉树 若到期时只有两种状态 可用单步二叉树模拟 若到期时只有三种状态 可用两步二叉树模拟 40 Girsanov sTheorem Volatilityisthesameintherealworldandtherisk neutralworldWecanthereforemeasurevolatilityintherealworldanduseittobuildatreefortheanassetintherisk neutralworld 若到期时有n 1种状态 可用n步二叉树模拟 42 AssetsOtherthanNon DividendPayingStocks Foroptionsonstockindices currenciesandfuturesthebasicprocedureforconstructingthetreeisthesameexceptforthecalculationofp 43 TheProbabilityofanUpMove 附 二叉树的应用 二叉树可以用于 1 期权定价 欧式 美式期权 路径依赖期权 2 含权债券定价 可转债 3 信用风险度量 如公司债定价 CDS定价等 主要内容 第三节 二叉树模型5 2 1 二叉树模型简介5 2 2 更符合实际的二叉树模型5 2 3 奇异期权的二叉树定价 一 障碍期权的二叉树模型 障碍期权是路径依赖期权 它们的回报 以及它们的价值要受到资产到期前遵循的路径的影响 但是障碍期权的路径依赖的性质是较弱的 因为我们只需要知道这个障碍是否被触发 而并不需要关于路径的其他任何信息 1 障碍期权的性质 敲出障碍当标的资产价格达到敲出障碍水平时 期权合约作废 因此边界条件为当时如果合约中有部分折扣规定的话 边界条件可以修改为 敲入障碍敲入期权在没有到达障碍水平时 有对于敲入期权来说 其价值在于到达障碍的可能性 如果是一个向上敲入期权 那么在资产价格到达上限的时候 合约的价值就等于一个相应的常规期权价值 敲入和敲出障碍期权的关系在不考虑折扣R的情况下 具有相同的执行价格 到期时间和障碍水平的敲入期权和敲出期权具有如下的关系 敲入期权 敲出期权 执行价格和时间相同的常规期权利用这个关系 只需要知道一种障碍期权的价值 就可以得到另外一种障碍期权的价值 敲出期权的二叉树定价步骤 1 生成股价的二叉树2 确定期末节点的价值 常规期权的价值3 倒推定价 根据障碍值确定在节点处是否敲出 如果敲出 价值为0 否则为持有价值 4 倒推至0时刻 即可得到初始时刻的价值 这里只有初始时刻的价值有参考价值 例3 假设标的资产为不付红利股票 其当前市场价为100元 无风险连续复利为5 u 1 1 d 0 9 二叉树步长为1年 试计算该股票3年期的 协议价格为105元 障碍水平为95元的向下敲出欧式看涨期权的价值 二叉树模型下敲出期权的定价 53 110 90 121 99 81 100 133 1 108 9 89 1 72 9 Pu 0 76 Pd 0 24 54 15 85 0 21 12 2 81 0 11 40 28 1 3 9 0 0 普通看涨期权价值为11 87 障碍期权比较便宜 障碍水平的影响 二 回望期权的二叉树模型 二 回望期权的二叉树模型 回望期权的收益依附于标的资产在某个确定的时段 称为回望时段 中达到的最大或最小价格 又称为回望价 根据是资产价还是执行价采用这个回望价格 回望期权可以分为 固定执行价期权浮动执行价期权 58 二叉树模型下回望期权的定价 S 100 d 0 9 u 1 1 执行价格X 105 无风险连续利率r 5 利用3步二叉树计算到期日为3年的固定执行价的欧式回望看涨期权的价格 59 股价二叉树 110 90 121 99 81 100 133 1 108 9 89 1 72 9 Pu 0 76 Pd 0 24 回望期权的二叉树 18 41 0 23 97 0 0 13 31 28 1 16 5 0 执行价为105的回望看涨期权价值为13 31 5 0 0 0 4 75 回望期权的数值定价方法回望期权的定价也经常使用到二叉树模型 但是 在使用二叉树模型的时候 在每个结点需要考虑到当前为止不同路径所导致的不同的最大值或最小值 路径越多 这些值的个数越多 降低了二叉树模型的实用意义解决方法1 在每个结点 仅对路径函数中具有代表性意义的值进行计算 其他值则用内插法从已知的值中计算得到解决方法2 回望价和现价S之比来建立标的资产价格树图并进一步为期权定价 二 回望期权的二叉树模型 3 多资产的二叉树模型 对以多资产为标的的衍生产品进行定价 如果随机因素不同 需要合并多个二叉树模型进行 以两个资产为标的的期权为例 假设有两支股票 波动率为常数 两支股票的价格分别有两个布朗运动控制 两个布朗运动的相关系数为 设股票i i 1 2 在单个步长上升的倍数为ui 下降的倍数为di 在每个时间区间上 两只股票的收益有四种情形 1 都处于上升状态 puu2 股票1出于上升状态 股票2处于下降状态 pud3 股票1出于下降状态 股票2处于上升状态 pdu4 都处于下降状态 pdd 共8个参数 N t T N ui di和三个概率 给定 t 为和连续时间模型一致 需要选择合适的上升和下降参数及概率值来匹配 或近似匹配 收益 lnSi 的均值 方差和协方差 共5个约束条件和7个未知参数 在确定了需要的7个参数后 定价基于多资产的期权与定价单资产的期权是类似的 可使用倒推定价法进行定价 差别在于资产个数不同 因此需要考虑资产价格的各种组合 3 多资产的二叉树模型 在一个N期的二叉树模型中 两个股票中的每一个在到期日都有N 1个节点 因此两个资产的合并二叉树到期日有 N 1 2个可能的节点组合而在每个时期n n 0 1 N 都需要考虑 n 1 2个节点组合 因此计算时间是单资产期权计算时间的平方 类似地 当有3个标的资产时 计算时间是单资产期权的立方 因此计算时间随标的资产个数的增加呈指数增长 这种增长方式同样适用于多个随机因素模型的二叉树图 这将产生严重问题 例如 对于5个资产 N 99的情况 需要考虑1005 1百亿 个节点组合 这就是所谓的 维数灾难 3 多资产的二叉树模型 4 可转换债券定价 可转换公司债券是一种附有股票期权的公司债券 它赋予债券持有人可以在规定的时间内 转换期 按照规定的价格 转换价格 将债券转换成公司股票的权利 并且在转股前一直享有债权人的权益 设计要素 标的股票票面利率转换期转股价格及其调整赎回条款回售条款 决定可转债价格的因素 标的股票的价格过程S转股价格X 相当于期权的执行价 无风险利率r 风险中性测度下定价 债券的到期期限T违约风险D票面利率C赎回条款c回售条款p 4 可转换债券定价 一般的可转债条款中规定了转换期 在转换期内 投资者可以将债券转换成股票 因此可转债中包含的期权并非一般的欧式期权 而是与美式期权类似 称为百慕达期权 由于美式期权没有明确的价格解析式 一般用二叉数模型或风险中性定价原理来定价 因此我们可以通过二叉树模型或蒙特卡罗模拟来实现可转债的定价 4 可转换债券定价 计算原理 到期日 可转债价格 Cbond T max 债券面值 转股价值 收益率 到期日之前 Cbond i j max min 持有价值 赎回价值 转股价值 持有价值 pcbond i 1 j 1 1 p cbond i 1 j e r I j t计算持有价值折现率r i j pr i 1 j 1 1 p r i 1 j 4 可转换债券定价 某公司发行期限