第二章 参数估计

第二章 参数估计 一 填空题 1 总体的分布函数为 其中为未知参数 则对常用的点估计方法X xF 有 2 设总体的概率密度为X 0 x ex f x x 而是来自总体的简单随机样本 则未知参数的矩估计量为 12 n XXX X 3 设是来自总体的简单随机样本 且 记 321 XXXX XE 3211 3 1 3 1 3 1 XXX 3212 2 1 4 1 4 1 XXX 213 2 1 2 1 XX 3214 4 1 4 1 4 1 XXX 则哪个是的有偏估计 哪个是的较有效估计 4 随机变量的分布函数中未知参数的有效估计量和极大似然估计X xF 量的关系为 5 随机变量的分布函数中未知参数的有效估计量和最优无偏估计X xF 量的关系为 6 称统计量为可估函数的 弱 一致估计量是指 21n XXXTT g 7 判断对错 设总体 且与都未知 设是来自 2 NX 2 n XXX 21 该总体的一个样本 设用矩法求得的估计量为 用极大似然法求得的 1 估计量为 则 2 1 2 8 是总体未知参数的相合估计量的一个充分条件是 n 解 解 lim limVar 0 nn nn E 9 已知是来自总体的简单随机样本 令 1021 xxx X EX 则当 时 为总体均值的无偏估计 10 7 6 1 8 1 i i i i xAx A 10 设总体 现从该总体中抽取容量为 10 的样本 样本值为 0 UX 0 51 30 61 72 21 20 81 52 01 6 则参数的矩估计为 11 设与都是总体未知参数的估计 且比有效 则与的期望 1 2 1 2 1 2 与方差满足 解 解 1212 EEDD 12 设和均是未知参数的无偏估计量 且 则其中的统计 1 2 2 2 2 1 EE 量 更有效 13 在参数的区间估计中 当样本容量固定时 精度提高时 21 n 12 置信度 1 14 设是来自总体的样本 则的置信度为 0 95 的置 n XXX 21 1 NX 信区间为 15 设是来自总体的样本 其中未知 则的置 n XXX 21 2 NX 2 信度为 0 95 的置信区间为 16 设是来自总体的样本 其中未知 则的置 n XXX 21 2 NX 2 信度为 0 95 的置信区间为 17 设服从参数为的指数分布 是来自总体的样本 X 2 21 nXXX n X 为其样本均值 则服从 分布 XXn 2 18 设总体服从正态分布 且 未知 设为来自该总体的 1 N n XXX 21 一个样本 记 则 的置信水平为1 的置信区间公式是 n i i X n X 1 1 若已知 则要使上面这个95 0 1 置信区间长度小于等于 0 2 则样本容量至少要取多大 n 18 为估计大学生近视眼所占的百分比 用重复抽样方式抽取 200 名同学进行 调查 结果发现有 68 个同学是近视眼 则大学生近视眼所占的百分比的 95 的 置信区间为 19 设总体未知参数为 为样本均值 若近似服从 X X X n X 1 X N 0 1 则的一个双侧近似 1 置信区间为 20 设总体为样本 则 的矩估计量为 12 1 n XUXXX 极大似然估计量为 21 设总体为样本 未知 则的置信度 2 12 n XNXXX 2 2 为 1 的置信区间为 22 设总体 X 在区间上服从均匀分布 则的矩估计 1 D 23 设总体 若和均未知 为样本容量 总体均值的置 2 NX 2 n 信水平为的置信区间为 则的值为 1 XX 24 在实际问题中求某参数的置信区间时 总是希望置信水平愈 愈好 而 置信区间的长度愈 愈好 但当增大置信水平时 则相应的置信区间长度总 是 二 简述题 1 描述矩估计法的原理 2 描述极大似然估计法的原理 3 极大似然估计法的一般步骤是什么 4 评价估计量好坏的标准有哪几个 5 什么是无偏估计 6 什么是较有效 7 什么叫有效估计量 8 判断可估函数是有效估计量的充要条件是什么 g 9 什么是最优无偏估计量 10 什么是一致最小方差无偏估计量 11 有效估计量和最优无偏估计量的关系是什么 12 什么叫均方误差最小估计量 13 叙述一致估计量的概念 14 试述评价一个置信区间好坏的标准 15 描述区间估计中样本容量 精度 置信度的关系 三 单选题 1 设总体未知参数的估计量满足 则一定是的 E A 极大似然估计 B 矩估计 C 无偏估计 D 有效估计 2 设总体未知参数的估计量满足 则一定是的 E A 极大似然估计 B 矩估计 C 有偏估计 D 有效估计 3 设为来自均值为的总体的简单随机样本 则 n XXX 21 2 1 niXi A 是的有效估计量 B 是的一致估计量 C 是的无偏估计量 D 不是的估计量 4 估计量的有效性是指 A 估计量的抽样方差比较小B 估计量的抽样方差比较大 C 估计量的置信区间比较宽D 估计量的置信区间比较窄 5 若置信水平保持不变 当增大样本容量时 置信区间 A 将变宽 B 将变窄 C 保持不变 D 宽窄无法确定 6 一个 95 的置信区间是指 A 总体参数有 95 的概率落在这一区间内 B 总体参数有 5 的概率未落在这一区间内 C 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中 有 95 的区间包含该总体参 数 D 在用同样方法构造的总体参数的多个区间中 有 95 的区间不包含该总体 参数 7 置信度表示区间估计的 1 A 精确性B 显著性 C 可靠性D 准确性 8 抽取一个容量为 100 的随机样本 其均值为 81 标准差 s 12 总体均值x 的 99 的置信区间为 其中 58 2 995 0 U A 81 1 97 B 81 2 35 C 81 3 09 D 81 3 52 四 计算题 1 设是来自总体 X 的样本 X 的密度函数为 1 n XX 0 0 0 0 x ex f x x 试求的极大似然估计量 2 设总体 X 服从参数为的泊松分布 求未知参数的矩估计量 3 设总体 X 服从参数为的泊松分布 求未知参数的有效估计量 4 设总体的概率密度为X 0 其其 xe xf x 是未知参数 是来自的样本 求的矩估计量 n XXX 21 X 1 5 设是取自总体 X 的一个样本 X 的密度函数为 n XXX 21 其中 未知 0 else x x xf 0 0 2 2 试求 的矩估计和极大似然估计 6 设 是取自总体 X 的一个样本 X 的密度函数为 n XXX 21 其中 未知 else xx x xf 0 0 6 3 0 试求的矩估计 7 设总体的概率密度为X 0 其其 xe xf x 是未知参数 是来自的样本 n XXX 21 X 1 求的矩估计量 2 求的最大似然估计量 3 和是不是 1 2 1 2 的无偏估计量 说明原因 8 设总体 且与都未知 设为来自总体的一 2 NX 2 n XXX 21 个样本 设 求与的极大似然估计量 n i i X n X 1 1 n i i XX n S 1 22 1 2 9 设总体的概率分布为X X012 p 2 1 3 其中是未知参数 利用总体的如下样本值 3 1 0 X 0 1 1 0 2 0 2 1 1 2 1 求的矩估计值 2 求的最大似然估计值 10 设随机变量的分布函数为X 其其 其 x x x xF 0 1 其中参数 设为来自总体的简单随机样本 1 0 n XXX 21 X 1 当时 求未知参数的矩估计量 1 2 当时 求未知参数的最大似然估计量 1 3 当时 求未知参数的最大似然估计量 2 11 设为来自总体 N 0 的简单随机样本 为样本均 2 21 nXXX n 2 X 值 记 2 1 niXXY ii 求 1 的方差 i Y 1 2 i D Yin 2 与的协方差 1 Y n Y 1n YYCov 3 若是的无偏估计量 求常数 c 2 1 n YYc 2 12 设总体的概率密度为X 01 1 12 0 x f xx 其他 其中是未知参数 为来自总体的简单随机样本 记 01 12n XXXX 为样本值中小于 1 的个数 N 12 n x xx 1 求的矩估计 2 求的最大似然估计 13 设总体的概率密度为X 1 0 2 1 1 2 1 0 x f xx 其他 为来自总体的简单随机样本 是样本均值 n XXX 21 XX 1 求参数的矩估计量 2 判断是否为的无偏估计量 2 4X 2 并说明理由 解 1 1 0 1 22 1 42 xx E Xxf xdxdxdx 令 代入上式得到的矩估计量为 XE X 1 2 2 X 2 2222 11141 4 44 4 424 EXEXDXEXDXDX nn 因为 所以 故不是的无偏估计量 00D X 22 4 EX 2 4X 2 14 设总体服从上的均匀分布 是来自总体的一 X 0 0 n XXX 21 X 个样本 试求参数的极大似然估计 解 的密度函数为 X 1 0 0 x f x 其他 似然函数为 1 0 1 2 0 n i xin L 其它 显然时 是单调减函数 而 所以 0 L 12 max n x xx 是的极大似然估计 12 max n X XX 15 设总体的概率密度为 X 其它 0 10 1 xx xf 1 是来自的样本 则未知参数的极大似然估计量为 n XXX 21 X 解 似然函数为 11 1 1 1 n n nin i L xxxxx 1 lnln 1 ln n i i Lnx 1 ln ln0 1 n i i dLn x d 解似然方程得的极大似然估计为 1 1 1 1 ln n i i x n 16 设总体的概率密度为 1 01 0 xx f x 其它 0 试用来自总体的样本 求未知参数的矩估计和极大似然估计 n XXX 21 解 先求矩估计 1 1 0 1 EXx dx 故的矩估计为 1 1 1 1 X X 再求极大似然估计 11 11 1 n n nin i L xxxxx 1 lnln 1 ln n i i Lnx 1 ln ln0 n i i dLn x d 所以的极大似然估计为 1 1 1 ln n i i x n 17 已知分子运动的速度具有概率密度 X 22 3 4 0 0 0 0 x x ex f x x 为的简单随机样本 n XXX 21 X 1 求未知参数的矩估计和极大似然估计 2 验证所求得的矩估计 是否为的无偏估计 解 1 先求矩估计 23 1 3 0 4 x x EXedx 222 0 0 24 xx x exedx 2 2 X 再求极大似然估计 22 1 3 1 4 i x n i n i x L XXe 32 2 1 4 n nn n xx 2 2 1 1 n i i x e 22 2 1 2 1 1 ln3 lnln 4 ln n n n ni i Lnxxx 2 3 1 ln32 0 n i i Ln x d 得的极大似然估计 2 1 2 3 n i i x n 2 对矩估计 2 22 EEX 所以矩估计 是的无偏估计 2 X 18 假设 是来自总体的简单随机样本值 已知0 501 250 802 00X 服从正态分布lnYX 1 N 1 求的数学期望值 记为 X E X E Xb 2 求的置信度为的置信区间 0 95 3 利用上述结果求的置信度为的置信区间 b0 95 19 设是来自正态总体的样本 方差未知 总体均值 n XXX 21 2 N 2 的置信度为的置信区间的长度记为 求 1L 4 E L 20 某出租车公司欲了解从财大南校到火车站乘租车的时间 随机地抽查了 9 辆出租车 记录其从财大南校到火车站的时间 算得 分钟 修正样本20 x 方差的标准差 若假设此样本来自正态总体 其中与均 2 s3 s 2 N 2 未知 试求 的置信水平为 0 95 的置信下限 21 已知两个总体与独立 未XY 2 11 NX 2 22 NY 2 2 2 121 知 和分别是来自与的样本 求的置信度 1 21n XXX 2 21n YYYXY 2 2 2 1 为的置信区间 1 解 设 布定理知的样本方差 由抽样分 分别表示总体YXSS 2 2 2 1 2121 212 1 1 1 1 1P FnnFFnn 则 22222 12112 2 1 2122 212 1 1 1 1 1 SSSS P FnnFnn 所求的置信度为的置信区间为 2 2 2 1 1 2222 1212 1 212 212 1 1 1 1 SSSS FnnFnn 22 一批糖袋的重量 单位 千克 服从正态分布 现在从该批糖袋中随机抽 取 12 袋 测得这 12 糖袋的平均重量为 方差为 0 1291 057 3 求这批糖袋的平均重量的置信度为 95 的置信区间 并计算估计的精度 求这批糖袋的重量方差的置信度为 95 的置信区间 2 23 设总体 方差已知 问需抽取容量多大时 才能使得总体 2 NXn 均值的置信度为的置信区间的长度不大于 L 1 五 证明题 1 设是从总体抽取的一个样本 的密度函数为 n XXX 21 XX 1 0 0 0 0 x ex fx x 证明样本均值