高三数学试卷

高三数学试卷 文 满分 150 分 考试时间 120 分钟 本试卷分第 I 卷 选择题 和第 II 卷 非选择题 两部分 第 卷 一 选择题 本大题共 12 小题 每小题 5 分 共 60 分 在每小题给出的四个选项 中 只有一项是符合题目要求的 1 已知集合 集合 则等于 1 0 1A 124 x Bx AB A B C D 1 0 1 1 1 1 0 1 2 设 是虚数单位 若复数 则的值为 i 2 0 1 aai z i a A 或 B 或 C D 101 011 3 已知命题 命题 则下列结论正确的是 00 R sin2pxx 2 R 10qxxx A 命题是假命题 B 命题是真命题 pq pq C 命题是真命题 D 命题是真命题 pq pq 4 的内角的对边分别为 已知 则ABC A B C a b c2a 2 3b 6 A 的面积为 ABC A 或 B C 或 D 2 332 32 34 33 5 对于下列表格所示的五个散点 已知求得的线性回归方程为 0 7671yx x9899100101102 y 235m8 则实数的值为 m A B C D 6 877 27 4 6 在区域内任意取一点 则的概率是 10 10 y x yxP1 22 yx A B C D 24 4 2 4 4 4 4 7 已知某几何体的三视图如图所示 则该几何体的外接球的表面积为 A B C D 2 3 4 8 执行如图的程序框图 如果输入的 那么输出的值是 352 log 2 log 2 log 3abc m A B C D 都有可能 5 log 2 3 log 2 2 log 3 9 已知函数 则下列结论正确的是 sincosyxx 2 2sin cosyxx A 两个函数的图象均关于点成中心对称 0 4 B 两个函数的图象均关于直线对称 4 x C 两个函数在区间上都是单调递增函数 4 4 D 可以将函数 的图像向左平移个单位得到函数 的图像 4 10 已知直角中 斜边 为线段的中点 为线段上任意一点 ABC 6 ABDABPCD 则的最小值为 PAPBPC A 9 2 9 2 22 11 中心在原点 焦点在轴上的双曲线的离心率为 直线 与双曲线交于两点 xC2lC A B 线段中点在第一象限 并且在抛物线上 且到抛物线焦点的距离ABM 2 2 0 ypx p M 1 1 2 主视图 侧视图 俯视图 7 题图 开始 输入 a b c ma mb mc mb mc 输出m 结束 是 是 否 否 8 题图 为 则直线 的斜率为 pl A 2 3 2 1 1 2 12 设函数 记 若函数至少存在一个零点 32 2lnf xxexmxx f x g x x g x 则实数的取值范围是 m A B C D 2 1 e e 2 1 0 e e 2 1 e e 22 11 ee ee 第 II 卷 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 5 分 共 20 分 13 曲线在点处的切线方程为 2ln1 yxx 1 1 14 已知过双曲线右焦点且倾斜角为的直线与双曲线右支有两个交点 则双 22 22 1 xy ab 45 曲线的离心率的取值范围是 e 15 设直线的倾斜角为 则的值为 210 xy 2 cossin2 16 已知函数为 R 上的增函数 函数图像关于点对称 若实数满足 f x 3 0 x y 则的取值范围是 22 2 39 2 0f xxf yy y x 三 解答题 本大题共 5 小题 共 60 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步 骤 17 本小题满分 12 分 已知为等差数列 数列满足对于任意 点 n a n bNn 在直线上 且 1 nn b b 2yx 11 2ab 22 ab 1 求数列与数列的通项公式 n a n b 2 若 求数列的前项的和 n n n an c bn 为奇数 为偶数 n c2n 2n S 18 本小题满分 12 分 两会结束后 房价问题仍是国民关注的热点问题 某高校金融学一 班的学生对某城市居民对房价的承受能力 如能买每平方米 6 千元的房子即承受能力为 6 千 元 的调查作为社会实践 进行调查统计 将承受能力 数按区间 千 2 5 3 5 3 5 4 5 4 5 5 5 5 5 6 5 6 5 7 5 元 进行分组 得到如下统计图 1 求的值 并估计该城市居民的平均承受能力是多a 少元 2 若用分层抽样的方法 从承受能力在与 3 5 4 5 的居民中抽取人 在抽取的人中随机取 5 5 6 5 55 人 求人的承受能力不同的概率 22 19 本小题满分 12 分 如图 为的中1ABC 4ABAC 2 3 BAC DBC 点 沿将折DEAC DECDE 起至 如图 2 且在面 C DE C 上的投影恰好是 连接ABDEE 是上的点 且 C BM C B 1 2 C MMB 1 求证 面 AM C DE 2 求三棱锥的体积 CAMD 20 本小题满分 12 分 设椭圆的右焦点为 直线 22 2 1 2 xy M a 2a 1 F 与轴交于点 若 其中为坐标原点 2 2 2 a a xlxA 11 20OFAF O 1 求椭圆的方程 M 2 设是椭圆上的任意一点 为圆的任意一条直径 为PMEF 12 2 2 yxNEF A B C D E图 1 图 2A B C E D M 0 1 0 14 0 45 3 52 54 5 5 56 5 7 5 a 千元 频率 组距 直径的两个端点 求的最大值 PFPE 21 本小题满分 12 分 设函数 ax x x xf ln 1 若函数在上为减函数 求实数的最小值 xf 1 a 2 若存在 使成立 求正实数的取值范围 2 12 x xe e axfxf 21 a 请考生从第 22 23 24 三题中任选一题作答 注意 只能做所选定的题目 如果多做 则按所做的第一个题目计分 作答时请用铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 B2 22 本小题满分 10 分 选修 4 1 几何证明选讲 如图 在中 以为直径的圆ABC 90 ABCAB 交于点 点是边的中点 连接交圆OACEDBCOD 于点 OM 1 求证 是圆的切线 DEO 2 求证 ABDMACDMBCDE 23 本小题满分 10 分 选修 4 4 坐标系与参数方程 在直角坐标系中 直线 的参数方程为 在极坐标系 与直角xoyl 2 2 6 2 2 2 t ty tx 坐标系取相同的长度单位 且以原点为极点 以轴正半轴为极轴 中 圆的方程xoyOxC 为 cos10 1 求圆的直角坐标方程 C 2 设圆与直线 交于点 若点的坐标为 求 ClBA P 6 2 PBPA 24 本小题满分 10 分 选修 4 5 不等式选讲 已知函数 且的解集为 2 f xm x Rm 2 0f x 1 1 1 求的值 m A B C D E M O 2 若 且 求 的最小值 Ra b c 111 23 m abc 23zabc 数数 学学 文科文科 答答 案案 题号123456789101112 答案DCCABDDACBDA 13 14 15 16 20 xy 12e 8 5 0 3 17 本小题满分 12 分 解 1 由点在直线上 有 所以数列 1 nn b b 2yx 1 2 n n b b 是以为首项 为公比的等比数列 即数列的通项公式为 3 分 n b22 n b2n n b 又 则 所以数列是以为首项 为 11 2ab 22 4ab 21 422daa n a22 公差的等差数列 即数列的通项公式为 6 分 n a2 n an 2 n n n an c bn 为奇数 为偶数 所以 24212312nnn bbbaaaS 41 41 4 2 242 n nn 12 分 14 3 4 2 2 n n 18 本小题满分 12 分 解 1 由 所以 20 1 0 1 0 140 451a 0 21a 分 平均承受能力 3 0 14 0 145 0 456 0 21 7 0 15 07x 即城市居民的平均承受能力大约为 5070 元 5 分 2 用分层抽样的方法在这两组中抽 5 人 即组中抽人与抽人 3 5 4 5 2 5 5 6 5 3 设组中两人为 组中三人为 从这人中随机取人 有 3 5 4 5 12 A A 5 5 6 5 122 B B B52 共 10 中 符合两人承受能力不同 12 A A 11 AB 12 AB 13 AB 21 A B 22 A B 23 A B 12 B B 13 B B 23 B B 的有 共 6 中 所以所求概率为 12 分 11 AB 12 AB 13 AB 21 A B 22 A B 23 A B 63 105 P 19 本小题满分 12 分 1 证明 过 作 交于 连接MMN C DBDN AN 于是 又 1 2 DNNB 4ABAC 为的中点 所以 2 3 BAC DBC 由 4 3 3 NB 30B 得到 所以 得 222 2cos30ANABNBAB NB 4 3 3 AN 120ANB AN 所以面 面 即 面 注 可以在翻折前的图形中证明EDAMN C DEAM C DE 6 分ANED 2 又面 所以到平 1 2 C MMB 11 22 CAMDB AMDMABD VVV C E ABDM 面的距离 所以 即得三棱锥ABD2h 2 3 ABD S 14 3 2 2 3 33 MABD V 的体积为 12 分 CAMD 2 3 3 20 本小题满分 12 分 解 1 由题设知 2 2 0 2 a A a 2 1 2 0 Fa 由 得解得 11 20OFAF 2 22 2 22 2 2 a aa a 6 2 a 所以椭圆的方程为 4 分M 22 1 62 xy 2 设圆的圆心为 12 2 2 yxNN 则 PE PFNENPNFNP NFNPNFNP 222 1NPNFNP 从而求的最大值转化为求的最大值 PFPE 2 NP A B C D E 图 1 图 2A B C E D M N 因为是椭圆上的任意一点 设所以 即 PM 00 P xy1 26 2 0 2 0 yx 2 0 2 0 36yx 因为点 所以 2 0N 12122 2 0 2 0 2 0 2 yyxNP 因为 所以当时 取得最大值 12 0 2 2 y 1 0 y 2 NP 所以的最大值为 11 12 分PFPE 21 本小题满分 12 分 解 1 由已知得 0 1xx 因在上为减函数 故在上恒成立 f x 1 2 ln1 0 ln x fxa x 1 所以当时 x 1 max0fx 又 2 分 22 2 ln111111 ln lnlnln24 x fxaaa xxxx 当 即时 11 ln2x 2 xe max 1 4 fxa 所以于是 故 a 的最小值为 4 分 1 0 4 a 1 4 a 1 4 2 命题 若存在 使成立 等价于 当时 2 12 x xe e 12 f xfxa 2 21 eexx 有 axfxf max2min1 由 1 当时 2 xe e max 1 4 fxa max 1 4 fxa 问题等价于 当时 有 6 分 2 xe e min 1 4 f x 当时 由 1 在上为减函数 1 4 a f x 2 e e 则 故 8 分 2 22 min 1 24 e f xf eae 2 11 24 a e 当 时 由于在上的值域为a 1 4 2 111 ln24 fxa x 2 e e 1 4 aa 即 在恒成立 故在上为增函数 0a 0a 0fx 2 e e f x 2 e e 于是 矛盾 10 分 min 1 4 f xf eeaee 即 由的单调性和值域知 0a 1 0 4 a fx 存在唯一 使 且满足 2 0 xe e 0 0 x f 当时 为减函数 当时 为增函 0 xe x 0fx f x 2 0 xx e 0fx f x 数 所以 0 min00 0 1 ln4 x fxf xax x 2 0 xe e 所以 与矛盾 2 00 1111111 ln4ln4244 a xxee 1 0 4 a 综上 得 12 分 2 11 24 a e 22 本小题满分 10 分 解 1 连结 点是的中点 点是的中点 OEDBCOAB ACOD 2 1 ABO D AEOEO D 在OEOA AEOA EODBOD 和中 EOD BOD OBOE EO DBO D 即 是圆上一 90 OBDOEDEDOE EO 点 是圆的切线 5 分DEO 2 延长交圆于点 点是的中点 DOOFEOD BOD DBDE DBC DBBC2 是圆的切线 DBDE ODBDE 2 22DEDBDEBCDE OFABODAC2 2 是DFDMOFODDMABACDMABDMACDM 2 22 DE 圆的切线 O 是圆的割线 10 分 DFODFDMDE 2 ABDMACDMBCDE 23 本小题满分 10 分 A B C D E M O 解 1 由得 即 5 分 cos10 010 22 xyx25 5 22 yx 2 将 的参数方程代入圆的直角坐标方程 得 lC25 2 2 6 2 2 3 22 tt 即 由于 可设是上述方