直线与椭圆的综合运用(教案)

个性化教案个性化教案 直线和椭圆的综合运用 适用学科数学数学适用年级高二高二 适用区域江苏江苏课时时长 分钟 60 分钟分钟 知识点 椭圆的综合问题 教学目标 1 理解直线与椭圆的各种位置关系 能利用方程根的判别式来研究直线 与椭圆的各种位置关系 掌握和运用直线被椭圆所截得的弦长公式 2 初步掌握与椭圆有关的弦长 中点 垂直等问题的一些重要解题技巧 进一步树立数形结合 函数方程 等价转化 分类讨论等重要数学思想 教学重点 利用 数 与 形 的结合 利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦 长等综合问题 教学难点 利用 数 与 形 的结合 利用方程解决直线与椭圆的位置关系和有关弦 长等综合问题 教学过程 一 知识讲解 考点 易错点 1 直线与椭圆的位置关系 提问学生 回忆点与圆的位置关系 直线与圆的位置关系 引出点与椭圆的位置关系 1 点与椭圆的位置关系 设点 椭圆标准方程为 00 yxP 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 若点椭圆上 则 00 yxP1 2 2 0 2 2 0 b y a x 个性化教案个性化教案 若点在椭圆内 则 00 yxP1 2 2 0 2 2 0 b y a x 若点在椭圆外 则 00 yxP1 2 2 0 2 2 0 b y a x 2 直线与椭圆的位置关系 1 通过直线运动与椭圆形成的交点个数说明直线与椭圆的三种位置关系 相离 直线与椭圆没有交点 相切 直线与椭圆有唯一交点 相交 直线与椭圆两个交点 2 判断直线与椭圆的位置关系 设直线椭圆 联立直线与椭圆方程消去得 l ykxm 22 22 1 0 xy Mab ab y 22222222 2 0a kbxa kmxamb 记该一元二次方程的判别式为 则 当时 直线与椭圆相交 有两个交点 0 当时 直线与椭圆相切 此时有一个交点 0 当时 直线与椭圆相离 没有交点 0 3 弦长公式的推导 设为椭圆上的两点 叫做椭圆的弦长 1122 A x yB xyAB 回忆两点间的距离公式 通过距离公式化简整理 得出弦长公式 其中为直线的斜率 2 1212 2 1 11ABxxkyy k kAB 个性化教案个性化教案 二 例题精析 例题 1 题干 已知椭圆的离心率为 右顶点到左焦点的距离为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x M 2 3 32 1 求椭圆的方程 M 2 若直线与椭圆 相交 相切 相离 求实数的取值范围 20 xym Mm 3 设直线与椭圆相交于不同的两点 令 求 txyl MBA tfAB tf 答案 1 2 2 1 4 x y 2 相交 相切 相离 55 22 m 5 2 m 55 22 mm 或 3 2 4 5 5 5 5 f ttt 解析 1 依据题意 则解方程组得 3 2 23 c a ac 2 3ac 所以椭圆方程为 2 2 1 4 x y 2 联立消掉得 2 2 20 1 4 xym x y y 22 5161640 xmxm 222 16 4 5 164 16 54 mmm 个性化教案个性化教案 若直线与椭圆相交 则 解得 2 16 54 0m 55 22 m 若直线与椭圆相切 则 解得 2 16 54 0m 5 2 m 若直线与椭圆相离 则 解得 2 16 54 0m 55 22 mm 或 3 联立消掉得 2 2 1 4 yxt x y y 22 58440 xtxm 因为直线与椭圆有两个交点 则 解得 22 6420 44 0tt 55t 设 由韦达定理 则 1122 A x y B xy 12 8 5 t xx 2 12 4 1 5 t x x 由弦长公式 则 22 1212 1 4ABkxxx x 2 2 84 1 2 4 55 tt 2 4 5 5 t 所以 2 4 5 5 5 5 f ttt 例题 2 题干 已知椭圆 2 2 1 2 x My 1 求斜率为的平行弦中点的轨迹方程 2 个性化教案个性化教案 2 过的直线与椭圆相交于两点 且关于点对称 求直线 2 1 22 QM A B A BQ 的方程 AB 3 过点的直线 与椭圆相交 求直线 被椭圆截得的弦中点的轨迹方程 2 1 lMl 答案 1 2 3 40 xy 2220 xy 22 2220 xyxy 解析 1 设平行弦中点坐标为 弦与椭圆对应的两个交点为 00 xy 11 x y 22 xy 两式相减得 2 2 1 1 2 2 2 2 1 2 1 2 x y x y 1212 1212 0 2 xxxx yyyy 化简整理得 1212 1212 2 2 yyxx xxyy 又因为 代入上式 得 120120 2 2xxxyyy 00 40 xy 所以平行弦中点的轨迹方程为 在椭圆内的部分 40 xy 2 2 1 2 x My 2 设 则 33 A xy 44 B xy 两式相减得曲线的范围 2 2 3 3 2 2 4 4 1 2 1 2 x y x y 3434 3434 0 2 xxxx yyyy 化简整理得 1212 1212 2 yyxx xxyy 又因为关于点对称 则 A B 2 1 22 Q 3412 2 1xxyy 个性化教案个性化教案 所以 1212 1212 2 2 2 AB yyxx k xxyy 故直线的方程为 AB2220 xy 3 由点的位置结合椭圆方程可知直线 的斜率必然存在 2 1 l 设弦中点坐标为 则 x y 1 2 l y k x i 设直线与椭圆的两交点分别为 则 5566 xyxy 5656 2 2xxx yyy 又两式相减得 2 2 5 5 2 2 6 6 1 2 1 2 x y x y 5656 5656 0 2 xxxx yyyy 化简整理得 5656 5656 2 2 l yyxxx k xxyyy ii 由联立化简得 i ii 22 2220 xyxy 所以弦中点的轨迹为 22 2220 xyxy 三 课堂运用 基础 1 椭圆上有一动点 为椭圆的右焦点 若 22 22 1 0 xy ab ab PF 则椭圆的方程为 maxmin 35 35PFPF A B 或 22 1 94 xy 22 1 54 xy 22 1 95 xy 个性化教案个性化教案 或 22 1 95 xy 22 1 54 xy 22 1 94 xy 答案 解析 依据题意易得 解得35 35acac 3 5ac 所以椭圆方程为 22 1 95 xy 2 已知直线过椭圆的左焦点且与椭圆相交于两点 椭圆的右焦 1 l1 4 2 2 y x C 1 FBA C 点为 则的周长为 2 F 2 ABF 6789 答案 解析 如图 因为在椭圆上 由椭圆的定义 则BA aAFAFaBFBF2 2 2121 所以的周长 2 ABF 8422 22 aaaAFBFABC 所以选 C 3 椭圆的焦点分别为 点在椭圆上 若 则 1 649 4 22 yx 21 F FM3 1 PF 2 PF 21PF F 答案 4 2 解析 由椭圆的定义 则 72 21 aPFPF4377 12 PFPF 又因为 故为直角三角形 所以 522 22 21 bacFF 21PF F 2 21 PFF 个性化教案个性化教案 4 已知 动点满足 则点的轨迹方程为 0 2 0 2 BA yxP6 PBPA yxP 答案 1 59 22 yx 解析 因为 所以点的轨迹为椭圆 则 64 AB yxP62 a3 a2 c 故椭圆方程为 5 22 cab1 59 22 yx 5 若直线与椭圆有且只有一个交点 求实数的值 2ymx 22 1 42 xy m 答案 2 2 m 解析 联立消得 22 2 24 ymx xy y 22 21 840mxmx 因为直线与椭圆只有一个交点 则 22 644 21 40mm 解得 2 2 m 巩固 1 已知两定点 动点满足 则点的轨迹是 1 1 1 1 BAP 2 2 x PBPA P 圆 椭圆 双曲线 抛物线 答案 解析 设 则 yxP 1 1 1 1 yxPByxPA 个性化教案个性化教案 整理得 所以是椭圆 选 2 2 2 22 x yxPBPA 1 24 22 yx B 2 直线与椭圆相交于两点 若 求的值 yxa 2 2 1 2 x y A B 4 2 3 AB a 答案 1 解析 联立消去得 22 22 yxa xy y 22 34220 xaxa 恒成立 则 2 164 3 22 0aa aR 设 由韦达定理 则 1122 A x yB xy 12 4 3 a xx 2 12 22 3 a x x 由弦长公式 2 1212 2 4ABxxx x 2 2 48 1 4 2 2 333 aa 解得 1a 拔高 1 过原点的直线 与曲线 C 相交 若直线 被曲线 C 所截得的线段长不大于 l1 3 2 2 y x l6 则直线 的倾斜角的取值范围是 l A 6 5 6 B 3 2 6 C 3 2 3 D 4 3 4 答案 解析 因为截得的线段长不大于 故直线不可能与轴重合 可设直线方程为6x xmy 个性化教案个性化教案 联立消去得 设直线与椭圆相交于两点 则 33 22 yx myx x03 3 22 ymBA 整理得 解得6 3 3 12 1 2 2 2 m m mAB6 3 1 12 2 2 m m 11 m 所以 又 解得 选 1 1 1 tan m k 0 4 3 4 D 2 已知椭圆 是过点且相互垂直的两条直线 问实数为何值 22 1 169 xy 12 l l 0 Pmm 时 与椭圆都有公共点 12 l l 答案 5 5 m 解析 由题知点在轴上运动 分两种情形讨论 0 Pmy 1 当中有一条与轴平行时 则必有一条是轴 此时 12 l lxy 3 3 m 2 当中都不与轴平行时 设 则 12 l lx 1 lykxm 2 1 lyxm k 与椭圆有公共点 即有实数根 整理得 1 l 22 1 169 xkxm 222 169 32161440kxkmxm 解得 222 32 4 169 16144 0kmkm 2 2 9 16 m k 与椭圆有公共点 同理可得 2 l 2 2 19 16 m k 当时 又时 3m 2 2 9 15 16 m m 5m 2 2 9259 1 1616 m 个性化教案个性化教案 而必有一个小于等于 1 此时与椭圆不可能都有公共点 2 2 1 k k 12 l l 综上所述时 与椭圆都有公共点 即 5m 12 l l 5 5 m 课程小结 本讲主要学习了下面的内容 直线与椭圆的位置关系 课后作业 基础 1 椭圆的中心在原点 焦距为4 一条准线为4x 则该椭圆的方程为 22 1 1612 xy 22 1 128 xy 22 1 84 xy 22 1 124 xy A B C D 答案 C 解析 依题可设椭圆方程为 则 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 2 42 cc 所以 椭圆方程为 故选8 4 2 2 a c a x4 222 cab 22 1 84 xy C 2 已知直线与椭圆相交 则实数的取值范围为 mxy 1 4 2 2 y x m A 5 5 B 5 0 C 0 5 5 5 D 答案 个性化教案个性化教案 解析 把直线方程代入椭圆得 因为相mxy 1 4 2 2 y x 04485 22 mmxx 交 所以 解得 故选0 44 2064 22 mm 5 5 m D 3 直线与椭圆相交于两点 则弦 12 xy1 59 22 yx MN MN A 41 1060 B 41 106 C 36 1041 D 41 102 答案 解析 联立方程消去得 设 1 59 12 22 yx xy y0363641 2 xx 则 2211 yxNyxM 选 a acb kyyxxMN 4 1 2 22 21 2 21 41 1060 41 3641436 5 2 A 4 直线 方程 椭圆 则直线 与椭圆的位置关系为 l 1 xmy1 34 22 yx MlM 相交 相离 相切 无法判断 A B C D 答案 A 解析 已知直线过定点 定点代入椭圆则 过直线过椭圆 1 xmy 0 1 1 3 0 4 1 22 内部的点 所以直线 与椭圆相交 选 lM A 巩固 个性化教案个性化教案 1 已知直线 椭圆 试问 当取何值时 直线 与椭圆 2l yxm 22 1 42 xy M ml 相交 相切 相离 答案 2323 m23 m2323 mm或 解析 将代入椭圆消去得 mxy 2y04289 22 mmxx 2 8144m 当 即时 直线与椭圆相切 08144 2 m2323 m 当 即时 直线与椭圆相切 08144 2 m23 m 当 即时 直线与椭圆相离 08144 2 m2323 mm或 2 是椭圆 C 的短轴端点 点是椭圆上异于的任意一BA 0 1 2 2 2 2 ba b y a x MBA 点 直线 与轴交点的横坐标分别为 求证 是定值 MAMBx 21 x x 21 xx 答案 答案答案见解析解析 解析 证明 如图 设 则 5 C 0 0 bBbA 00 yxM 直线的方程为 MA 0 0 ybyb xx 直线的方程为 MB 0 0 ybyb xx 由 解得由 解得 则 0 0 1 by bx x by bx x 0 0 2 个性化教案个性化教案 2222 00 12 22 000 b xb x xx yb ybby 又因为在椭圆上 则 00 yxM 22 00 22 1 xy ab 由 解得代入 式 得 2 0 222 0 2 ybaxb 2 2 0 2 2 0 22 2 0 2 2 0 2 21 a yb yba yb xb xx 所以是定值 21 xx 3 过椭圆内一点引一条弦 使弦被点平分 求这条弦所在的直线方1 416 22 yx 1 2 MM 程 答案 042 yx 解析 法一 设直线与椭圆的交点为 A B 则 11 y x 22 y x2 4 2121 yyxx 1 416 2 1 2 1 yx 1 416 2 2 2 2 yx 得 整理得0 4 16 21212121 yyyyxxxx 2 1 4 21 21 21 21 yy xx xx yy 所以 故直线方程为 2 1 AB k042 yx 法二 设所求直线方程为 代入椭圆方程并整理得 2 1 xky 016 12 4 2 8 14 2222 kxkkxk 又设直线与椭圆的交点为 A B 则是方程的两个根 于是 11 y x 22 y x 21 x x 个性化教案个性化教案 14 2 8 2 2 21 k kk xx 又为 AB 的中点 所以 M2 14 2 4 2 2 2 21 k kkxx 解得 2 1 k 故所求直线方程为 042 yx 拔高 1 已知椭圆的离心率为 右顶点到左焦点的距离为 0 1 2 2 2 2 ba b y a x M 2 3 32 1 求椭圆的方程 M 2 设直线与椭圆相交于两点 令 求 txyl MBA tfAB tf 答案 1 4 2 2 y x 5 2104 2 t tf 55 t 解析 1 右顶点到左焦点的距离为 则 2 3 1 2 2 a b a c e32 联立 解得 椭圆方程为 23 ca1 3 2 bca1 4 2 2 y x 2 联立消去得 因为直线与椭圆有两个交点 44 22 yx txy y04485 22 ttxx 所以解得0 44 2064 22 tt55 t 设 则 2211 yxByxA a acb kyyxxAB 4 1 2 22 21 2 21 个性化教案个性化教案 代入数据得 5 2104 5 1680 2 22 tt AB 55 t 所以 5 2104 2 t tf 55 t 2 已知直线 点为椭圆上的一动点 则到直线 的距离的3 yxlP1 2 2 2 y x MPl 最大值和最小值分别为 A 0 2 33 B 2 33 2 33 C13 13 D0 13 答案 解析 设点 则 sin cos2 P 2 3 sin 3 2 3sincos2 d 当时 当时 选1 sin 2 33 max d1 sin 2 33 min d B 3 是椭圆不在坐标轴上的点 是它的两个焦点 是的内心 M 22 1 94 xy 12 F FI 12 MFF 的延长线交于 则 MI 12 FFN MI NI 答案 3 5 解析 法一 如图 过作轴的垂线 垂足为 过作MxGI 轴的垂线 垂足为 在中xH 21F MF 则 IFFIMFIMFFMF SSSS 212121 个性化教案个性化教案 代入数据得 22 1 212121 FFMFMF IH MGFF IHcaMGc 所以 又 则 1 1 MG IHe MNGINH 1 11 MGMNMIINMI IHINININe 所以 13 5 MI NIe 法二 解法二 因为是的内心 所以I 12 MFF 2 IF 平分 平分 由角平分线定理 则NMF2 MN 21MF F 又由等比定理 则 IN MI NF MF 2 2 NF MF NF MF 1 1 2 2 5 31 2 2 21 21 ec a NFNF MFMF IN MI 4 为椭圆上一点 为椭圆的上顶点 为坐标原点 若 则P 22 22 1 xy ba BO0OP BP uu u r uur 椭圆离心率的取值范围为 答案 2 1 2 e 解析 依据题意 则 如图0OP BP uu u r uur 90OPB 则点的轨迹是以为直径 为圆心的圆POBa 0 2 a 1 222 22 aa xy 又因为点在椭圆上 则P 2 22 22 1 xy ba 联立 1 2 消掉得x 2 22 2 0 c yayb a 个性化教案个性化教案 且 解得 2 22 2 40 c ab a 0 1 e 2 1 2 e 5 已知是椭圆上的一点 非顶点 过点作圆的两条切线 切P1 94 22 yx P1 22 yx 点分别为 直线分别与轴 轴交于两点 BA ABxyNM 1 证明 四点共圆 其中为坐标原点 BAOP O 2 求的最小值 MN 答案 答案答案见解析解析 5 6 解析 如图 1 证明 因为都与圆相切 是切点 则 6 CPBPA 1 22 yxBA 即 所以四点共圆 OBPBOAPA 90PBOPAOBAOP 2 四点共圆 直径为 设 则圆心为 圆的方程为