高中数学《排列组合》教案

排列与组合排列与组合 一 教学目标 1 1 知识传授目标 知识传授目标 正确理解和掌握加法原理和乘法原理 2 2 能力培养目标 能力培养目标 能准确地应用它们分析和解决一些简单的问题 3 3 思想教育目标 思想教育目标 发展学生的思维能力 培养学生分析问题和解决问题的 能力 二 教材分析 1 重点重点 加法原理 乘法原理 解决方法 利用简单的举例得到一般的结 论 2 难点难点 加法原理 乘法原理的区分 解决方法 运用对比的方法比较它 们的异同 三 活动设计 1 活动活动 思考 讨论 对比 练习 2 教具教具 多媒体课件 四 教学过程正 1 1 新课导入 新课导入 随着社会发展 先进技术 使得各种问题解决方法多样化 高标准严要求 使得商品生产工序复杂化 解决一件事常常有多种方法完成 或几个过程才能 完成 排列组合这一章都是讨论简单的计数问题 而排列 组合的基础就是基 本原理 用好基本原理是排列组合的关键 2 2 新课 新课 我们先看下面两个问题 l 从甲地到乙地 可以乘火车 也可以乘汽车 还可以乘轮船 一天中 火车有 4 班 汽车有 2 班 轮船有 3 班 问一天中乘坐这些交通工具从甲地到 乙地共有多少种不同的走法 因为一天中乘火车有 4 种走法 乘汽车有 2 种走法 乘轮船有 3 种走法 每一种走法都可以从甲地到达乙地 因此 一天中乘坐这些交通工具从甲地到 乙地共有 4 十 2 十 3 9 种不同的走法 一般地 有如下原理 加法原理 做一件事 完成它可以有加法原理 做一件事 完成它可以有 n 类办法 在第一类办法中有类办法 在第一类办法中有 m m1 1种种 不同的方法 在第二类办法中有不同的方法 在第二类办法中有 m m2 2种不同的方法 种不同的方法 在第 在第 n 类办法中有类办法中有 m mn n种不同的方法 那么完成这件事共有种不同的方法 那么完成这件事共有 N N m1十十 m2十十 十十 mn种不同的方法 种不同的方法 2 我们再看下面的问题 由 A 村去 B 村的道路有 3 条 由 B 村去 C 村的道路有 2 条 从 A 村经 B 村 去 C 村 共有多少种不同的走法 这里 从 A 村到 B 村有 3 种不同的走法 按这 3 种走法中的每一种走法到 达 B 村后 再从 B 村到 C 村又有 2 种不同的走法 因此 从 A 村经 B 村去 C 村 共有 3X2 6 种不同的走法 一般地 有如下原理 乘法原理 做一件事 完成它需要分成乘法原理 做一件事 完成它需要分成 n n 个步骤 做第一步有个步骤 做第一步有 m m1 1种不同的种不同的 方法 做第二步有方法 做第二步有 m m2 2种不同的方法 种不同的方法 做第 做第 n n 步有步有 m mn n种不同的方法 那么种不同的方法 那么 完成这件事共有完成这件事共有 N N m m1 1 m m2 2 m mn n种不同的方法 种不同的方法 例 1 书架上层放有 6 本不同的数学书 下层放有 5 本不同的语文书 1 从中任取一本 有多少种不同的取法 2 从中任取数学书与语文书各一本 有多少的取法 解 1 从书架上任取一本书 有两类办法 第一类办法是从上层取数学 书 可以从 6 本书中任取一本 有 6 种方法 第二类办法是从下层取语文书 可以从 5 本书中任取一本 有 5 种方法 根据加法原理 得到不同的取法的种 数是 6 十 5 11 答 从书架 L 任取一本书 有 11 种不同的取法 2 从书架上任取数学书与语文书各一本 可以分成两个步骤完成 第一 步取一本数学书 有 6 种方法 第二步取一本语文书 有 5 种方法 根据乘法 原理 得到不同的取法的种数是 N 6X5 30 答 从书架上取数学书与语文书各一本 有 30 种不同的方法 练习 一同学有 4 枚明朝不同古币和 6 枚清朝不同古币 1 从中任取一枚 有多少种不同取法 2 从中任取明清古币各一枚 有多少种不同取法 例 2 1 由数字 l 2 3 4 5 可以组成多少个数字允许重复三位数 2 由数字 l 2 3 4 5 可以组成多少个数字不允许重复三位数 3 由数字 0 l 2 3 4 5 可以组成多少个数字不允许重复三位数 解 要组成一个三位数可以分成三个步骤完成 第一步确定百位上的 数字 从 5 个数字中任选一个数字 共有 5 种选法 第二步确定十位上的数字 由于数字允许重复 这仍有 5 种选法 第三步确定个位上的数字 同理 它也有 5 种选法 根 据乘法原理 得到可以组成的三位数的个数是 N 5X5X5 125 答 可以组成 125 个三位数 练习 1 从甲地到乙地有 2 条陆路可走 从乙地到丙地有 3 条陆路可走 又从甲 地不经过乙地到丙地有 2 条水路可走 1 从甲地经乙地到丙地有多少种不同的走法 2 从甲地到丙地共有多少种不同的走法 2 一名儿童做加法游戏 在一个红口袋中装着 2O 张分别标有数 1 2 19 20 的红卡片 从中任抽一张 把上面的数作为被加数 在另一 个黄口袋中装着 10 张分别标有数 1 2 9 1O 的黄卡片 从中任抽一张 把上面的数作为加数 这名儿童一共可以列出多少个加法式子 3 题 2 的变形 4 由 0 9 这 10 个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数 小结 要解决某个此类问题 首先要判断是分类 还是分步 分类时用加法 分步时用乘法 其次要注意怎样分类和分步 以后会进一步学习 练习 1 口答 一件工作可以用两种方法完成 有 5 人会用第一种方法完成 另有 4 人会用第二种方法完成 选出一个人来完成这件工作 共有多少种选法 2 在读书活动中 一个学生要从 2 本科技书 2 本政治书 3 本文艺 书里任选一本 共有多少种不同的选法 3 乘积 a1 a2 a3 b1 b2 b3 b4 c1 c2 c3 c4 c5 展开后共有多少 项 4 从甲地到乙地有 2 条路可通 从乙地到丙地有 3 条路可通 从甲地到丁 地有 4 条路可通 从丁地到丙地有 2 条路可通 从甲地到丙地共有多少种不同 的走法 5 一个口袋内装有 5 个小球 另一个口袋内装有 4 个小球 所有这些小球 的颜色互不相同 1 从两个口袋内任取一个小球 有多少种不同的取法 2 从两个口袋内各取一个小球 有多少种不同的取法 作业 排列排列 复习基本原理复习基本原理 1 加法原理 做一件事 完成它可以有 n 类办法 第一类办法中有 m1种 不同的方法 第二办法中有 m2种不同的方法 第 n 办法中有 mn种不同的 方法 那么完成这件事共有 N m1 m2 m3 mn 种不同的方法 2 乘法原理 做一件事 完成它需要分成 n 个步骤 做第一 步有 m1种不 同的方法 做第二步有 m2种不同的方法 做第 n 步有 mn种不同的方法 那么完成这件事共有 N m1 m2 m3 mn 种不同的方法 3 两个原理的区别 练习 1 1 北京 上海 广州三个民航站之间的直达航线 需要准备多少种不同的 机票 2 由数字 1 2 3 可以组成多少个无重复数字的二位数 请一一列出 基本概念 1 什么叫排列 从 n 个不同元素中 任取 m 个元素 这里的被取nm 元素各不相同 按照一定的顺序一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元 素的一个排列一个排列 2 什么叫不同的排列 元素和顺序至少有一个不同 3 什么叫相同的排列 元素和顺序都相同的排列 4 什么叫一个排列 例题与练习 1 由数字 1 2 3 4 可以组成多少个无重复数字的三位数 2 已知 a b c d 四个元素 写出每次取出 3 个元素的所有排列 写 出每次取出 4 个元素的所有排列 排列数 1 定义 从 n 个不同元素中 任取 m 个元素的所有排列的个数叫nm 做从 n 个元素中取出 m 元素的排列数 用符号表示 m n p 用符号表示上述各题中的排列数 2 排列数公式 n n 1 n 2 n m 1 m n p 1 n p 2 n p 3 n p 4 n p 计算 2 5 p 4 5 p 2 15 p 课后检测 1 写出 从五个元素 a b c d e 中任意取出两个 三个元素的所有排列 由 1 2 3 4 组成的无重复数字的所有 3 位数 由 0 1 2 3 组成的无重复数字的所有 3 位数 2 计算 3 100 p 3 6 p 2 8 4 8 p2p 7 12 8 12 p p 排排 列列 课题 课题 排列的简单应用 1 目的 目的 进一步掌握排列 排列数的概念以及排列数的两个计算公式 会用 排列数公式计算和解决简单的实际问题 过程 过程 一 一 复习 引导学生对上节课所学知识进行复习整理 1 排列的定义 理解排列定义需要注意的几点问题 2 排列数的定义 排列数的计算公式 或 其中 m n m n Z 1 2 1 mnnnnAm n mn n Am n 3 全排列 阶乘的意义 规定 0 1 4 分类 分步 思想在排列问题中的应用 二 二 新授 例例 1 7 位同学站成一排 共有多少种不同的排法 解 问题可以看作 7 个元素的全排列 5040 7 7 A 7 位同学站成两排 前 3 后 4 共有多少种不同的排法 解 根据分步计数原理 7 6 5 4 3 2 1 7 5040 7 位同学站成一排 其中甲站在中间的位置 共有多少种不同的排法 解 问题可以看作 余下的 6 个元素的全排列 720 6 6 A 7 位同学站成一排 甲 乙只能站在两端的排法共有多少种 解 根据分步计数原理 第一步 甲 乙站在两端有种 第二步 余下 2 2 A 的 5 名同学进行全排列有种 则共有 240 种排列方法 5 5 A 2 2 A 5 5 A 7 位同学站成一排 甲 乙不能站在排头和排尾的排法共有多少种 解法一 直接法 第一步 从 除去甲 乙 其余的 5 位同学中选 2 位同学站在排头和排尾有种方法 第二步 从余下的 5 位同学中选 5 位进行 2 5 A 排列 全排列 有种方法 所以一共有 2400 种排列方法 5 5 A 2 5 A 5 5 A 解法二 排除法 若甲站在排头有种方法 若乙站在排尾有种 6 6 A 6 6 A 方法 若甲站在排头且乙站在排尾则有种方法 所以甲不能站在排头 乙不 5 5 A 能排在排尾的排法共有 2400 种 7 7 A 6 6 2A 5 5 A 小结一 小结一 对于 在 与 不在 的问题 常常使用 直接法 或 排除法 对某些特殊元素可以优先考虑 例例 2 7 位同学站成一排 甲 乙两同学必须相邻的排法共有多少种 解 先将甲 乙两位同学 捆绑 在一起看成一个元素与其余的 5 个元素 同学 一起进行全排列有种方法 再将甲 乙两个同学 松绑 进行排列 6 6 A 有种方法 所以这样的排法一共有 1440 2 2 A 6 6 A 2 2 A 甲 乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种 解 方法同上 一共有 720 种 5 5 A 3 3 A 甲 乙两同学必须相邻 而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种 解法一 将甲 乙两同学 捆绑 在一起看成一个元素 此时一共有 6 个元素 因为丙不能站在排头和排尾 所以可以从其余的 5 个元素中选取 2 个 元素放在排头和排尾 有种方法 将剩下的 4 个元素进行全排列有种方 2 5 A 4 4 A 法 最后将甲 乙两个同学 松绑 进行排列有种方法 所以这样的排法一 2 2 A 共有 960 种方法 2 5 A 4 4 A 2 2 A 解法二 将甲 乙两同学 捆绑 在一起看成一个元素 此时一共有 6 个 元素 若丙站在排头或排尾有 2种方法 所以丙不能站在排头和排尾的排法 5 5 A 有种方法 960 2 2 2 5 5 6 6 AAA 解法三 将甲 乙两同学 捆绑 在一起看成一个元素 此时一共有 6 个 元素 因为丙不能站在排头和排尾 所以可以从其余的四个位置选择共有种 1 4 A 方法 再将其余的 5 个元素进行全排列共有种方法 最后将甲 乙两同学 5 5 A 松绑 所以这样的排法一共有 960 种方法 1 4 A 5 5 A 2 2 A 小结二 小结二 对于相邻问题 常用 捆绑法 先捆后松 例例 3 7 位同学站成一排 甲 乙两同学不能相邻的排法共有多少种 解法一 排除法 3600 2 2 6 6 7 7 AAA 解法二 插空法 先将其余五个同学排好有种方法 此时他们留下六 5 5 A 个位置 就称为 空 吧 再将甲 乙同学分别插入这六个位置 空 有 种方法 所以一共有种方法 2 6 A3600 2 6 5 5 AA 甲 乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种 解 先将其余四个同学排好有种方法 此时他们留下五个 空 再将甲 4 4 A 乙和丙三个同学分别插入这五个 空 有种方法 所以一共有 1440 3 5 A 4 4 A 3 5 A 种 小结三 小结三 对于不相邻问题 常用 插空法 特殊元素后考虑 三 小结 1 对有约束条件的排列问题 应注意如下类型 某些元素不能在或必须排列在某一位置 某些元素要求连排 即必须相邻 某些元素要求分离 即不能相邻 2 基本的解题方法 有特殊元素或特殊位置的排列问题 通常是先排特殊元素或特殊位置 称为优先处理特殊元素 位置 法 优限法 某些元素要求必须相邻时 可以先将这些元素看作一个元素 与其他元 素排列后 再考虑相邻元素的内部排列 这种方法称为 捆绑法 某些元素不相邻排列时 可以先排其他元素 再将这些不相邻元素插入 空挡 这种方法称为 插空法 在处理排列问题时 一般可采用直接和间接两种思维形式 从而寻求有 效的解题途径 这是学好排列问题的根基 四 作业 课课练 之 排列 课时 1 3 课题 课题 排列的简单应用 2 目的 目的 使学生切实学会用排列数公式计算和解决简单的实际问题 进一步 培养分析问题 解决问题的能力 同时让学生学会一题多解 过程 过程 一 一 复习 1 排列 排列数的定义 排列数的两个计算公式 2 常见的排队的三种题型 某些元素不能在或必须排列在某一位置 优限法 某些元素要求连排 即必须相邻 捆绑法 某些元素要求分离 即不能相邻 插空法 3 分类 分布思想的应用 二 二 新授 示例一 示例一 从 10 个不同的文艺节目中选 6 个编成一个节目单 如果某女演 员的独唱节目一定不能排在第二个节目的位置上 则共有多少种不同的排法 解法一 从特殊位置考虑 136080 5 9 1 9 AA 解法二 从特殊元素考虑 若选 若不选 5 9 5 A 6 9 A 则共有 136080 5 9 5 A 6 9 A 解法三 间接法 136080 5 9 6 10 AA 示例二 示例二 八个人排成前后两排 每排四人 其中甲 乙要排在前排 丙要排在后 排 则共有多少种不同的排法 略解 甲 乙排在前排 丙排在后排 其余进行全排列 2 4 A 1 4 A 5 5 A 所以一共有 5760 种方法 2 4 A 1 4 A 5 5 A 不同的五种商品在货架上排成一排 其中 a b 两种商品必须排在一起 而 c d 两种商品不排在一起 则不同的排法共有多少种 略解 捆绑法 和 插空法 的综合应用 a b 捆在一起与 e 进行排列 有 2 2 A 此时留下三个空 将 c d 两种商品排进去一共有 最后将 a b 松绑 2 3 A 有 所以一共有 24 种方法 2 2 A 2 2 A 2 3 A 2 2 A 6 张同排连号的电影票 分给 3 名教师与 3 名学生 若要求师生相间而 坐 则不同的坐法有多少种 略解 分类 若第一个为老师则有 若第一个为学生则有 3 3 A 3 3 A 3 3 A 3 3 A 所以一共有 2 72 种方法 3 3 A 3 3 A 示例三 示例三 由数字 1 2 3 4 5 可以组成多少个没有重复数字的正整数 略解 325 5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 AAAAA 由数字 1 2 3 4 5 可以组成多少个没有重复数字 并且比 13 000 大的正整数 解法一 分成两类 一类是首位为 1 时 十位必须大于等于 3 有种方 3 3 1 3A A 法 另一类是首位不为 1 有种方法 所以一共有个数 4 4 1 4A A 3 3 1 3A A114 4 4 1 4 AA 比 13 000 大 解法二 排除法 比 13 000 小的正整数有个 所以比 13 000 大的正 3 3 A 整数有 114 个 5 5 A 3 3 A 示例四 示例四 用 1 3 6 7 8 9 组成无重复数字的四位数 由小到大排 列 第 114 个数是多少 3 796 是第几个数 解 因为千位数是 1 的四位数一共有个 所以第 114 个数的千60 3 5 A 位数应该是 3 十位数字是 1 即 31 开头的四位数有个 同理 12 2 4 A 以 36 37 38 开头的数也分别有 12 个 所以第 114 个数的前两位数必 然是 39 而 3 968 排在第 6 个位置上 所以 3 968 是第 114 个数 由上可知 37 开头的数的前面有 60 12 12 84 个 而 3 796 在 37 开头的四位数中排在第 11 个 倒数第二个 故 3 796 是第 95 个数 示例五 示例五 用 0 1 2 3 4 5 组成无重复数字的四位数 其中 能被 25 整除的数有多少个 十位数字比个位数字大的有多少个 解 能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25 50 两种 末尾为 50 的四位数有个 末尾为 25 的有个 所以一共有 21 个 2 4 A 1 3 1 3A A 2 4 A 1 3 1 3A A 注 注 能被 25 整除的四位数的末两位只能为 25 50 75 00 四种情况 用 0 1 2 3 4 5 组成无重复数字的四位数 一共有 个 因为在这 300 个数中 十位数字与个位数字的大小关系是 等等300 3 5 1 5 AA 可能的可能的 所以十位数字比个位数字大的有个 150 2 1 3 5 1 5 AA 三 三 小结 能够根据题意选择适当的排列方法 同时注意考虑问题的全面 性 此外能够借助一题多解检验答案的正确性 四 四 作业 3 X 之 排列 练习 组组 合合 课题 课题 组合 组合数的概念 目的 目的 理解组合的意义 掌握组合数的计算公式 过程 过程 一 一 复习 引入 1 复习排列的有关内容 定 义 特 点 相同 排列 公 式 排 列 以上由学生口答 2 提出问题 示例 1 从甲 乙 丙 3 名同学中选出 2 名去参加某天的一项活动 其中 1 名同学参加上午的活动 1 名同学参加下午的活动 有多少种不同的选法 示例 2 从甲 乙 丙 3 名同学中选出 2 名去参加一项活动 有多少种不 同的选法 引导观察 示例 1 中不但要求选出 2 名同学 而且还要按照一定的顺序 排列 而示例 2 只要求选出 2 名同学 是与顺序无关的 引出课题 组合问题 二 二 新授 1 组合的概念 一般地 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素并成 一组 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合组合 注 注 1 不同元素 2 只取不排 无序性无序性 3 相同组合 元素相同 判断下列问题哪个是排列问题哪个是组合问题 从 A B C D 四个景点选出 2 个进行游览 组合 从甲 乙 丙 丁四个学生中选出 2 个人担任班长和团支部书记 排 列 2 组合数的概念 从 n 个不同元素中取出 m m n 个元素的所有组合 的个数 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数组合数 用符号表示 m n C 例如 示例 2 中从 3 个同学选出 2 名同学的组合可以为 甲乙 甲丙 乙丙 即有种组合 3 2 3 C 又如 从 A B C D 四个景点选出 2 个进行游览的组合 AB AC AD BC BD CD 一共 6 种组合 即 6 2 4 C 在讲解时一定要让学生去分析 要解决的问题是排列问题还是组合问题 关键是看是否与顺序有关关键是看是否与顺序有关 那么又如何计算呢 m n C 3 组合数公式的推导 提问 从 4 个不同元素 a b c d 中取出 3 个元素的组合数是多少 3 4 C 呢 启发 由于排列是先组合再排列排列是先组合再排列 而从 4 个不同元素中取出 3 个元素的排 列数 可以求得 故我们可以考察一下和的关系 如下 3 4 A 3 4 C 3 4 A 组 合 排列 dcbcdbbdcdbccbdbcdbcd dcacdaadcdaccadacdacd dbabdaadbdabbadabdabd cbabcaacbcabbacabcabc 由此可知 每一个组合都对应着 6 个不同的排列 因此 求从 4 个不同元 素中取出 3 个元素的排列数 可以分如下两步 考虑从 4 个不同元素中 3 4 A 取出 3 个元素的组合 共有个 对每一个组合的 3 个不同元素进行全排 3 4 C 列 各有种方法 由分步计数原理得 所以 3 3 A 3 4 A 3 4 C 3 3 A 3 3 3 43 4 A A C 推广 一般地 求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数 可 m n A 以分如下两步 先求从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 求 m n C 每一个组合中 m 个元素全排列数 根据分布计数原理得 m m A m n A m n C m m A 组合数的公式 1 2 1 m mnnnn A A C m m m nm n 或 mnm n C m n nmNmn 且 巩固练习 1 计算 4 7 C 7 10 C 2 求证 1 1 m n m n C mn m C 3 设 求的值 Nx 32 1 1 32 x x x x CC 解 由题意可得 即 2 x 4 321 132 xx xx x 2 或 3 或 4 Nx 当 x 2 时原式值为 7 当 x 3 时原式值为 7 当 x 2 时原式值为 11 所求值为 4 或 7 或 11 4 例题讲评 例 1 6 本不同的书分给甲 乙 丙 3 同学 每人各得 2 本 有多少种不 同的分 法 略解 90 2 2 2 4 2 6 CCC 例 2 4 名男生和 6 名女生组成至少有 1 个男生参加的三人实践活动小组 问组成方法共有多少种 解法一 直接法 小组构成有三种情形 3 男 2 男 1 女 1 男 2 女 分别有 所以一共有 100 种方法 3 4 C 1 6 2 4 CC 2 6 1 4 CC 3 4 C 1 6 2 4 CC 2 6 1 4 CC 解法二 间接法 100 3 6 3 10 CC 5 学生练习 课本 99 练习 三 三 小结 定 义 特 点 相同 组合组合 公 式 排 列 组组 合合 此外 解决实际问题时首先要看是否与顺序有关 从而确定是排列问题 还是组合问题 必要时要利用分类和分步计数原理 四 四 作业 课堂作业 教学与测试 75 课 课外作业 课课练 课时 7 和 8 组组 合合 课题 课题 组合的简单应用及组合数的两个性质 目的 目的 深刻理解排列与组合的区别和联系 熟练掌握组合数的计算公式 掌握组合数的两个性质 并且能够运用它解决一些简单的应用问题 过程 过程 一 一 复习回顾 1 复习排列和组合的有关内容 强调 排列 次序性 组合 无序性 2 练习一 练习 1 求证 本式也可变形为 1 1 m n m n C m n C 1 1 m n m n nCmC 练习 2 计算 和 与 3 10 C 7 10 C 2 6 3 7 CC 3 6 C 5 11 4 11 CC 答案 120 120 20 20 792 此练习的目的为下面学习组合数的两个性质打好基础 3 练习二 平面内有 10 个点 以其中每 2 个点为端点的线段共有多少条 平面内有 10 个点 以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条 答案 组合问题 排列问题 45 2 10 C90 2 10 A 二 二 新授 1 组合数的 性质性质 1 mn n m n CC 理解 一般地 从 n 个不同元素中取出 m 个元素后 剩下 n m 个元 素 因 为从 n 个不同元素中取出 m 个元素的每一个组合 与剩下的 n m 个元素 的每一个组合一一对应一一对应 所以从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 等于 从这 n 个元素中取出 n m 个元素的组合数 即 在这里 我们主 mn n m n CC 要体现 取法 与 剩法 是 一一对应 的思想 证明 mnm n mnnmn n C mn n 又 mnm n C m n mn n m n CC 注 注 1 我们规定 1 0 n C 2 等式特点 等式两边下标同 上标之和等于下标 3 此性质作用 当时 计算可变为计算 能够使运算简 2 n m m n C mn n C 化 例如 2002 2001 2002 C 20012002 2002 C 1 2002 C 4 或 y n x n CC yx nyx 2 示例一 课本 101 例 4 一个口袋内装有大小相同的 7 个白球和 1 个 黑球 从口袋内取出 3 个球 共有多少种取法 从口袋内取出 3 个球 使其中含有 1 个黑球 有多少种取法 从口袋内取出 3 个球 使其中不含黑球 有多少种取法 解 56 3 8 C21 2 7 C35 3 7 C 引导学生发现 为什么呢 3 8 C 2 7 C 3 7 C 我们可以这样解释 从口袋内的 8 个球中所取出的 3 个球 可以分为两类 一类含有 1 个黑球 一类不含有黑球 因此根据分类计数原理 上述等式成 立 一般地 从这 n 1 个不同元素中取出 m 个元素的组合数 121 n aaa 是 这些组合可以分为两类 一类含有元素 一类不含有 含有的 m n C 1 1 a 1 a 1 a 组合是从这 n 个元素中取出 m 1 个元素与组成的 共有 132 n aaa 1 a 个 不含有的组合是从这 n 个元素中取出 m 个元素组成的 1 m n C 1 a 132 n aaa 共有个 根据分类计数原理 可以得到组合数的另一个性质 在这里 我们 m n C 主要体现从特殊到一般的归纳思想 含与不含其元素 的分类思想 3 组合数的 性质性质 2 m n C 1 m n C 1 m n C 证明 1 1 1 mnm n mnm n CC m n m n 1 1 mnm mnmnn 1 1 mnm nmmn 1 1 mnm n m n C 1 m n C 1 m n C 1 m n C 注 1 公式特征 下标相同而上标差 1 的两个组合数之和 等于下标比 原下标多 1 而上标与高的相同的一个组合数 2 此性质的作用 恒等变形 简化运算 在今后学习 二项式定理 时 我们会看到它的主要应用 4 示例二 计算 6 9 5 8 4 7 3 7 CCCC 求证 n m C 2 n m C 1 2 n m C 2 n m C 解方程 32 13 1 13 xx CC 解方程 3 3 3 2 2 2 10 1 x x x x x ACC 计算 和 4 4 3 4 2 4 1 4 0 4 CCCCC 5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 0 5 CCCCCC 推广 推广 nn n n nnnn CCCCC2 1210 5 组合数性质的简单应用 证明下列等式成立 讲解 1 1321 k n k k k k k n k n k n CCCCCC 练习 1 121 k kn k nk k k k k k k CCCCC 2 32 10321n nnn n nnnn CCC n nCCCC 6 处理 教学与测试 76 课例题 三 三 小结 1 组合数的两个性质 2 从特殊到一般的归纳思想 四 四 作业 课堂作业 教学与测试 76 课 课外作业 课本习题 10 3 课课练课时 9 组组 合合 课题 课题 组合 组合数的综合应用 目的 目的 进一步巩固组合 组合数的概念及其性质 能够解决一些较为复杂 的组合应用问题 提高合理选用知识的能力 过程 过程 一 一 知识复习 1 复习排列和组合的有关内容 依然强调 排列 次序性 组合 无序性 2 排列数 组合数的公式及有关性质 性质 1 性质 2 mn n m n CC m n C 1 m n C 1 m n C 常用的等式 1 1 1 0 1 0 k k k kkk CCCC 3 练习 处理 教学与测试 76 课例题 二 二 例题评讲 例 1 100 件产品中有合格品 90 件 次品 10 件 现从中抽取 4 件检查 都不是次品的取法有多少种 至少有 1 件次品的取法有多少种 不都是次品的取法有多少种 解 2555190 4 90 C 1366035 4 10 1 90 3 10 2 90 2 10 3 90 1 10 4 90 4 100 CCCCCCCCC 3921015 4 90 1 10 3 90 2 10 2 90 3 10 1 90 4 10 4 100 CCCCCCCCC 例 2 从编号为 1 2 3 10 11 的共 11 个球中 取出 5 个球 使得 这 5 个球的编号之和为奇数 则一共有多少种不同的取法 解 分为三类 1 奇 4 偶有 3 奇 2 偶有 5 奇 1 偶有 4 5 1 6C C 2 5 3 6C C 5 6 C 所以一共有 4 5 1 6C C 2 5 3 6C C236 5 6 C 例 3 现有 8 名青年 其中有 5 名能胜任英语翻译工作 有 4 名青年能胜 任德语翻 译工作 其中有 1 名青年两项工作都能胜任 现在要从中挑选 5 名青年承 担一项任务 其中 3 名从事英语翻译工作 2 名从事德语翻译工作 则有多少 种不同的选法 解 我们可以分为三类 让两项工作都能担任的青年从事英语翻译工作 有 2 3 2 4C C 让两项工作都能担任的青年从事德语翻译工作 有 1 3 3 4C C 让两项工作都能担任的青年不从事任何工作 有 2 3 3 4C C 所以一共有 42 种方法 2 3 2 4C C 1 3 3 4C C 2 3 3 4C C 例 4 甲 乙 丙三人值周 从周一至周六 每人值两天 但甲不值周一 乙不值周六 问可以排出多少种不同的值周表 解法一 排除法 422 1 3 1 4 2 4 1 5 2 4 2 6 CCCCCC 解法二 分为两类 一类为甲不值周一 也不值周六 有 另一类 2 4 1 4C C 为甲不值周一 但值周六 有 所以一共有 42 种方法 2 3 2 4C C 2 4 1 4C C 2 3 2 4C C 例 5 6 本不同的书全部送给 5 人 每人至少 1 本 有多少种不同的送书方 法 解 第一步从 6 本不同的书中任取 2 本 捆绑 在一起看成一个元素有 种方法 第二步将 5 个 不同元素 书 分给 5 个人有种方法 根据分 2 6 C 5 5 A 步计数原理 一共有 1800 种方法 2 6 C 5 5 A 变题 1 6 本不同的书全部送给 5 人 有多少种不同的送书方法 变题 2 5 本不同的书全部送给 6 人 每人至多 1 本 有多少种不同的送书方 法 变题 3 5 本相同的书全部送给 6 人 每人至多 1 本 有多少种不同的送书方 法 答案 1 2 3 1562556 720 5 6 A6 5 6 C 三 三 小结 1 组合的定义 组合数的公式及其两个性质 2 组合的应用 分清是否要排序 四 四 作业 3 X 组合基础训练 课课练