初中数学三角函数综合练习题

第 1 页 共 26 页 三角函数综合练习题 一 选择题 共一 选择题 共 1010 小题 小题 1 如图 在网格中 小正方形 边长均为 1 点 A B C 都在格点上 则 ABC 正切值 是 A 2B C D 2 如图 点 D 0 3 O 0 0 C 4 0 在 A 上 BD 是 A 一条弦 则 sin OBD A B C D 3 如图 在 Rt ABC 中 斜边 AB 长为 m A 35 则直角边 BC 长是 A msin35 B mcos35 C D 4 如图 ABC 中 AB AC 4 C 72 D 是 AB 中点 点 E 在 AC 上 DE AB 则 cosA 值为 第 2 页 共 26 页 A B C D 5 如图 厂房屋顶人字形 等腰三角形 钢架 跨度 BC 10 米 B 36 则中柱 AD D 为底边中点 长是 A 5sin36 米B 5cos36 米C 5tan36 米D 10tan36 米 6 一座楼梯 示意图如图所示 BC 是铅垂线 CA 是水平线 BA 与 CA 夹角为 现要 在楼梯上铺一条地毯 已知 CA 4 米 楼梯宽度 1 米 则地毯 面积至少需要 A 米 2 B 米 2 C 4 米 2 D 4 4tan 米 2 7 如图 热气球 探测器显示 从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处 仰角为 30 看这栋 楼底部 C 处 俯角为 60 热气球 A 处与楼 水平距离为 120m 则这栋楼 高度为 A 160mB 120mC 300m D 160m 8 如图 为了测量某建筑物 MN 高度 在平地上 A 处测得建筑物顶端 M 仰角为 30 向 N 点方向前进 16m 到达 B 处 在 B 处测得建筑物顶端 M 仰角为 45 则建筑物 MN 高度等于 第 3 页 共 26 页 A 8 m B 8 mC 16 m D 16 m 9 某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度 综合实践活动 如图 在点 A 处测得直立 于地面 大树顶端 C 仰角为 36 然后沿在同一剖面 斜坡 AB 行走 13 米至坡顶 B 处 然后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处 斜面 AB 坡度 或坡比 i 1 2 4 那么 大树 CD 高度约为 参考数据 sin36 0 59 cos36 0 81 tan36 0 73 A 8 1 米B 17 2 米C 19 7 米D 25 5 米 10 如图是一个 3 2 长方形网格 组成网格 小长方形长为宽 2 倍 ABC 顶点都 是网格中 格点 则 cos ABC 值是 A B C D 二 解答题 共二 解答题 共 1313 小题 小题 11 计算 0 1 tan45 第 4 页 共 26 页 12 计算 13 计算 sin45 cos230 2sin60 14 计算 cos245 cot230 15 计算 sin45 sin60 2tan45 16 计算 cos245 tan60 cos30 3cot260 第 5 页 共 26 页 17 如图 某办公楼 AB 后面有一建筑物 CD 当光线与地面 夹角是 22 时 办公楼在 建筑物 墙上留下高 2 米 影子 CE 而当光线与地面夹角是 45 时 办公楼顶 A 在地面上 影子 F 与墙角 C 有 25 米 距离 B F C 在一条直线上 1 求办公楼 AB 高度 2 若要在 A E 之间挂一些彩旗 请你求出 A E 之间 距离 参考数据 sin22 cos22 tan22 18 某国发生 8 1 级强烈地震 我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作 如图 某 探测对在地面 A B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象 已知探测线与地面 夹角分 别是 25 和 60 且 AB 4 米 求该生命迹象所在位置 C 深度 结果精确到 1 米 参考 数据 sin25 0 4 cos25 0 9 tan25 0 5 1 7 第 6 页 共 26 页 19 如图 为测量一座山峰 CF 高度 将此山 某侧山坡划分为 AB 和 BC 两段 每一段山 坡近似是 直 测得坡长 AB 800 米 BC 200 米 坡角 BAF 30 CBE 45 1 求 AB 段山坡 高度 EF 2 求山峰 高度 CF 1 414 CF 结果精确到米 20 如图所示 某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 仰角为 60 沿山坡向上走到 P 处再测得 C 仰角为 45 已知 OA 200 米 山坡坡度为 即 tan PAB 且 O A B 在同一条直线上 求电视塔 OC 高度以及此人所在 位置点 P 垂直高度 侧 倾器 高度忽略不计 结果保留根号 第 7 页 共 26 页 21 如图 为了测量出楼房 AC 高度 从距离楼底 C 处 60米 点 D 点 D 与楼底 C 在 同一水平面上 出发 沿斜面坡度为 i 1 斜坡 DB 前进 30 米到达点 B 在点 B 处测 得楼顶 A 仰角为 53 求楼房 AC 高度 参考数据 sin53 0 8 cos53 0 6 tan53 计算结果用根号表示 不取近似值 22 如图 大楼 AB 右侧有一障碍物 在障碍物 旁边有一幢小楼 DE 在小楼 顶端 D 处 测得障碍物边缘点 C 俯角为 30 测得大楼顶端 A 仰角为 45 点 B C E 在同一水 平直线上 已知 AB 80m DE 10m 求障碍物 B C 两点间 距离 结果精确到 0 1m 参 考数据 1 414 1 732 第 8 页 共 26 页 23 某型号飞机 机翼形状如图 根据图示尺寸计算 AC 和 AB 长度 精确到 0 1 米 1 41 1 73 第 9 页 共 26 页 20162016 年年 1212 月月 2323 日三角函数综合练习题初中数学组卷日三角函数综合练习题初中数学组卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 1010 小题 小题 1 2016 安顺 如图 在网格中 小正方形 边长均为 1 点 A B C 都在格点上 则 ABC 正切值是 A 2B C D 分析 根据勾股定理 可得 AC AB 长 根据正切函数 定义 可得答案 解答 解 如图 由勾股定理 得 AC AB 2 BC ABC 为直角三角形 tan B 故选 D 点评 本题考查了锐角三角函数 定义 先求出 AC AB 长 再求正切函数 2 2016 攀枝花 如图 点 D 0 3 O 0 0 C 4 0 在 A 上 BD 是 A 一条 弦 则 sin OBD 第 10 页 共 26 页 A B C D 分析 连接 CD 可得出 OBD OCD 根据点 D 0 3 C 4 0 得 OD 3 OC 4 由 勾股定理得出 CD 5 再在直角三角形中得出利用三角函数求出 sin OBD 即可 解答 解 D 0 3 C 4 0 OD 3 OC 4 COD 90 CD 5 连接 CD 如图所示 OBD OCD sin OBD sin OCD 故选 D 点评 本题考查了圆周角定理 勾股定理 以及锐角三角函数 定义 熟练掌握圆周角 定理是解决问题 关键 3 2016 三明 如图 在 Rt ABC 中 斜边 AB 长为 m A 35 则直角边 BC 长是 第 11 页 共 26 页 A msin35 B mcos35 C D 分析 根据正弦定义 把锐角 A 对边 a 与斜边 c 比叫做 A 正弦可得答案 解答 解 sin A AB m A 35 BC msin35 故选 A 点评 此题主要考查了锐角三角函数 关键是掌握正弦定义 4 2016 绵阳 如图 ABC 中 AB AC 4 C 72 D 是 AB 中点 点 E 在 AC 上 DE AB 则 cosA 值为 A B C D 分析 先根据等腰三角形 性质与判定以及三角形内角和定理得出 EBC 36 BEC 72 AE BE BC 再证明 BCE ABC 根据相似三角形 性质列出比例式 求出 AE 然后在 ADE 中利用余弦函数定义求出 cosA 值 解答 解 ABC 中 AB AC 4 C 72 ABC C 72 A 36 D 是 AB 中点 DE AB AE BE ABE A 36 EBC ABC ABE 36 BEC 180 EBC C 72 BEC C 72 BE BC AE BE BC 第 12 页 共 26 页 设 AE x 则 BE BC x EC 4 x 在 BCE 与 ABC 中 BCE ABC 即 解得 x 2 2 负值舍去 AE 2 2 在 ADE 中 ADE 90 cosA 故选 C 点评 本题考查了解直角三角形 等腰三角形 性质与判定 三角形内角和定理 线段 垂直平分线 性质 相似三角形 判定与性质 难度适中 证明 BCE ABC 是解题 关 键 5 2016 南宁 如图 厂房屋顶人字形 等腰三角形 钢架 跨度 BC 10 米 B 36 则中柱 AD D 为底边中点 长是 A 5sin36 米B 5cos36 米C 5tan36 米D 10tan36 米 分析 根据等腰三角形 性质得到 DC BD 5 米 在 Rt ABD 中 利用 B 正切进行计 算即可得到 AD 长度 解答 解 AB AC AD BC BC 10 米 DC BD 5 米 在 Rt ADC 中 B 36 tan36 即 AD BD tan36 5tan36 米 故选 C 点评 本题考查了解直角三角形 应用 解决此问题 关键在于正确理解题意 基础上 建立数学模型 把实际问题转化为数学问题 第 13 页 共 26 页 6 2016 金华 一座楼梯 示意图如图所示 BC 是铅垂线 CA 是水平线 BA 与 CA 夹 角为 现要在楼梯上铺一条地毯 已知 CA 4 米 楼梯宽度 1 米 则地毯 面积至少需 要 A 米 2 B 米 2 C 4 米 2 D 4 4tan 米 2 分析 由三角函数表示出 BC 得出 AC BC 长度 由矩形 面积即可得出结果 解答 解 在 Rt ABC 中 BC AC tan 4tan 米 AC BC 4 4tan 米 地毯 面积至少需要 1 4 4tan 4 4tan 米 2 故选 D 点评 本题考查了解直角三角形 应用 矩形面积 计算 由三角函数表示出 BC 是解决 问题 关键 7 2016 长沙 如图 热气球 探测器显示 从热气球 A 处看一栋楼顶部 B 处 仰角为 30 看这栋楼底部 C 处 俯角为 60 热气球 A 处与楼 水平距离为 120m 则这栋楼 高度为 A 160mB 120mC 300m D 160m 分析 首先过点 A 作 AD BC 于点 D 根据题意得 BAD 30 CAD 60 AD 120m 然后利用三角函数求解即可求得答案 解答 解 过点 A 作 AD BC 于点 D 则 BAD 30 CAD 60 AD 120m 第 14 页 共 26 页 在 Rt ABD 中 BD AD tan30 120 40 m 在 Rt ACD 中 CD AD tan60 120 120 m BC BD CD 160 m 故选 A 点评 此题考查了仰角俯角问题 注意准确构造直角三角形是解此题 关键 8 2016 南通 如图 为了测量某建筑物 MN 高度 在平地上 A 处测得建筑物顶端 M 仰角为 30 向 N 点方向前进 16m 到达 B 处 在 B 处测得建筑物顶端 M 仰角为 45 则 建筑物 MN 高度等于 A 8 m B 8 mC 16 m D 16 m 分析 设 MN xm 由题意可知 BMN 是等腰直角三角形 所以 BN MN x 则 AN 16 x 在 Rt AMN 中 利用 30 角 正切列式求出 x 值 解答 解 设 MN xm 在 Rt BMN 中 MBN 45 BN MN x 在 Rt AMN 中 tan MAN tan30 解得 x 8 1 则建筑物 MN 高度等于 8 1 m 故选 A 第 15 页 共 26 页 点评 本题是解直角三角形 应用 考查了仰角和俯角 问题 要明确哪个角是仰角或 俯角 知道仰角是向上看 视线与水平线 夹角 俯角是向下看 视线与水平线 夹角 并与三角函数相结合求边 长 9 2016 重庆 某数学兴趣小组同学进行测量大树 CD 高度 综合实践活动 如图 在点 A 处测得直立于地面 大树顶端 C 仰角为 36 然后沿在同一剖面 斜坡 AB 行走 13 米 至坡顶 B 处 然后再沿水平方向行走 6 米至大树脚底点 D 处 斜面 AB 坡度 或坡比 i 1 2 4 那么大树 CD 高度约为 参考数据 sin36 0 59 cos36 0 81 tan36 0 73 A 8 1 米B 17 2 米C 19 7 米D 25 5 米 分析 作 BF AE 于 F 则 FE BD 6 米 DE BF 设 BF x 米 则 AF 2 4 米 在 Rt ABF 中 由勾股定理得出方程 解方程求出 DE BF 5 米 AF 12 米 得出 AE 长度 在 Rt ACE 中 由三角函数求出 CE 即可得出结果 解答 解 作 BF AE 于 F 如图所示 则 FE BD 6 米 DE BF 斜面 AB 坡度 i 1 2 4 AF 2 4BF 设 BF x 米 则 AF 2 4x 米 在 Rt ABF 中 由勾股定理得 x2 2 4x 2 132 解得 x 5 DE BF 5 米 AF 12 米 AE AF FE 18 米 在 Rt ACE 中 CE AE tan36 18 0 73 13 14 米 CD CE DE 13 14 米 5 米 8 1 米 故选 A 第 16 页 共 26 页 点评 本题考查了解直角三角形 应用 勾股定理 三角函数 由勾股定理得出方程是 解决问题 关键 10 2016 广东模拟 如图是一个 3 2 长方形网格 组成网格 小长方形长为宽 2 倍 ABC 顶点都是网格中 格点 则 cos ABC 值是 A B C D 分析 根据题意可得 D 90 AD 3 1 3 BD 2 2 4 然后由勾股定理求得 AB 长 又由余弦 定义 即可求得答案 解答 解 如图 由 6 块长为 2 宽为 1 长方形 D 90 AD 3 1 3 BD 2 2 4 在 Rt ABD 中 AB 5 cos ABC 故选 D 点评 此题考查了锐角三角函数 定义以及勾股定理 此题比较简单 注意数形结合思 想 应用 二 解答题 共二 解答题 共 1313 小题 小题 11 2016 成都模拟 计算 0 1 tan45 第 17 页 共 26 页 分析 本题涉及零指数幂 负整数指数幂 特殊角 三角函数值 二次根式化简四个考 点 在计算时 需要针对每个考点分别进行计算 然后根据实数 运算法则求得计算结 果 解答 解 原式 1 3 1 1 2 1 点评 本题考查实数 综合运算能力 是各地中考题中常见 计算题型 解决此类题目 关键是熟记特殊角 三角函数值 熟练掌握负整数指数幂 零指数幂 二次根式 绝对 值等考点 运算 12 2016 顺义区二模 计算 分析 要根据负指数 绝对值 性质和三角函数值进行计算 注意 1 3 1 1 cos45 解答 解 原式 2 点评 本题考查实数 运算能力 解决此类题目 关键是熟记特殊角 三角函数值 熟 练掌握负整数指数幂 二次根式 绝对值等考点 运算 注意 负指数为正指数 倒数 任何非 0 数 0 次幂等于 1 二次根式 化简是根号下不能含有分母和能开方 数 13 2016 天门模拟 计算 sin45 cos230 2sin60 分析 先把各特殊角 三角函数值代入 再根据二次根式混合运算 法则进行计算即 可 解答 解 原式 2 2 1 点评 本题考查 是特殊角 三角函数值 熟记各特殊角度 三角函数值是解答此题 关键 第 18 页 共 26 页 14 2016 黄浦区一模 计算 cos245 cot230 分析 根据特殊角三角函数值 可得实数 运算 根据实数 运算 可得答案 解答 解 原式 2 2 3 点评 本题考查了特殊角三角函数值 熟记特殊角三角函数值是解题关键 15 2016 深圳校级模拟 计算 sin45 sin60 2tan45 分析 根据特殊角 三角函数值进行计算 解答 解 原式 2 2 1 3 2 点评 本题考查了特殊角 三角函数值 特指 30 45 60 角 各种三角函数值 sin30 cos30 tan30 sin45 cos45 tan45 1 sin60 cos60 tan60 16 2016 虹口区一模 计算 cos245 tan60 cos30 3cot260 分析 将特殊角 三角函数值代入求解 解答 解 原式 2 3 2 1 点评 本题考查了特殊角 三角函数值 解答本题 关键是掌握几个特殊角 三角函数 值 第 19 页 共 26 页 17 2016 青海 如图 某办公楼 AB 后面有一建筑物 CD 当光线与地面 夹角是 22 时 办公楼在建筑物 墙上留下高 2 米 影子 CE 而当光线与地面夹角是 45 时 办公楼 顶 A 在地面上 影子 F 与墙角 C 有 25 米 距离 B F C 在一条直线上 1 求办公楼 AB 高度 2 若要在 A E 之间挂一些彩旗 请你求出 A E 之间 距离 参考数据 sin22 cos22 tan22 分析 1 首先构造直角三角形 AEM 利用 tan22 求出即可 2 利用 Rt AME 中 cos22 求出 AE 即可 解答 解 1 如图 过点 E 作 EM AB 垂足为 M 设 AB 为 x Rt ABF 中 AFB 45 BF AB x BC BF FC x 25 在 Rt AEM 中 AEM 22 AM AB BM AB CE x 2 tan22 则 解得 x 20 即教学楼 高 20m 第 20 页 共 26 页 2 由 1 可得 ME BC x 25 20 25 45 在 Rt AME 中 cos22 AE 即 A E 之间 距离约为 48m 点评 此题主要考查了解直角三角形 应用 根据已知得出 tan22 是解题关键 18 2016 自贡 某国发生 8 1 级强烈地震 我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工 作 如图 某探测对在地面 A B 两处均探测出建筑物下方 C 处有生命迹象 已知探测线与 地面 夹角分别是 25 和 60 且 AB 4 米 求该生命迹象所在位置 C 深度 结果精确 到 1 米 参考数据 sin25 0 4 cos25 0 9 tan25 0 5 1 7 分析 过 C 点作 AB 垂线交 AB 延长线于点 D 通过解 Rt ADC 得到 AD 2CD 2x 在 Rt BDC 中利用锐角三角函数 定义即可求出 CD 值 解答 解 作 CD AB 交 AB 延长线于 D 设 CD x 米 在 Rt ADC 中 DAC 25 所以 tan25 0 5 所以 AD 2x Rt BDC 中 DBC 60 由 tan 60 解得 x 3 即生命迹象所在位置 C 深度约为 3 米 第 21 页 共 26 页 点评 本题考查 是解直角三角形 应用 根据题意作出辅助线 构造出直角三角形是 解答此题 关键 19 2016 黄石 如图 为测量一座山峰 CF 高度 将此山 某侧山坡划分为 AB 和 BC 两 段 每一段山坡近似是 直 测得坡长 AB 800 米 BC 200 米 坡角 BAF 30 CBE 45 1 求 AB 段山坡 高度 EF 2 求山峰 高度 CF 1 414 CF 结果精确到米 分析 1 作 BH AF 于 H 如图 在 Rt ABF 中根据正弦 定义可计算出 BH 长 从 而得到 EF 长 2 先在 Rt CBE 中利用 CBE 正弦计算出 CE 然后计算 CE 和 EF 和即可 解答 解 1 作 BH AF 于 H 如图 在 Rt ABF 中 sin BAH BH 800 sin30 400 EF BH 400m 2 在 Rt CBE 中 sin CBE CE 200 sin45 100 141 4 CF CE EF 141 4 400 541 m 答 AB 段山坡高度为 400 米 山 CF 高度约为 541 米 第 22 页 共 26 页 点评 本题考查了解直角三角形 应用 坡度与坡角问题 坡度是坡面 铅直高度 h 和 水平宽度 l 比 又叫做坡比 它是一个比值 反映了斜坡 陡峭程度 一般用 i 表示 常写成 i 1 m 形式 把坡面与水平面 夹角 叫做坡角 坡度 i 与坡角 之间 关系 为 i tan 20 2016 天水 如图所示 某人在山坡坡脚 A 处测得电视塔尖点 C 仰角为 60 沿山 坡向上走到 P 处再测得 C 仰角为 45 已知 OA 200 米 山坡坡度为 即 tan PAB 且 O A B 在同一条直线上 求电视塔 OC 高度以及此人所在 位置点 P 垂直高度 侧倾器 高度忽略不计 结果保留根号 分析 在直角 AOC 中 利用三角函数即可求解 在图中共有三个直角三角形 即 RT AOC RT PCF RT PAE 利用 60 45 以及坡度比 分别求出 CO CF PE 然后根据 三者之间 关系 列方程求解即可解决 解答 解 作 PE OB 于点 E PF CO 于点 F 在 Rt AOC 中 AO 200 米 CAO 60 CO AO tan60 200 米 2 设 PE x 米 tan PAB AE 3x 在 Rt PCF 中 CPF 45 CF 200 x PF OA AE 200 3x 第 23 页 共 26 页 PF CF 200 3x 200 x 解得 x 50 1 米 答 电视塔 OC 高度是 200米 所在位置点 P 铅直高度是 50 1 米 点评 考查了解直角三角形 应用 仰角俯角问题以及坡度坡角问题 本题要求学生借 助仰角关系构造直角三角形 并结合图形利用三角函数解直角三角形 21 2016 泸州 如图 为了测量出楼房 AC 高度 从距离楼底 C 处 60米 点 D 点 D 与楼底 C 在同一水平面上 出发 沿斜面坡度为 i 1 斜坡 DB 前进 30 米到达点 B 在点 B 处测得楼顶 A 仰角为 53 求楼房 AC 高度 参考数据 sin53 0 8 cos53 0 6 tan53 计算结果用根号表示 不取近似值 分析 如图作 BN CD 于 N BM AC 于 M 先在 RT BDN 中求出线段 BN 在 RT ABM 中求 出 AM 再证明四边形 CMBN 是矩形 得 CM BN 即可解决问题 解答 解 如图作 BN CD 于 N BM AC 于 M 在 RT BDN 中 BD 30 BN ND 1 BN 15 DN 15 C