第37讲 空间夹角和距离

第 1 页 共 16 页 D B AC 第三十七讲第三十七讲 空间夹角和距离空间夹角和距离 一 课标要求 一 课标要求 1 能借助空间几何体内的位置关系求空间的夹角和距离 2 能用向量方法解决线线 线面 面面的夹角的计算问题 体会向量方法在研究 几何问题中的作用 二 命题走向二 命题走向 空间的夹角和距离问题是立体几何的核心内容 高考对本讲的考察主要有以下情况 1 空间的夹角 2 空间的距离 3 空间向量在求夹角和距离中的应用 预测 2010 年高考对本讲内容的考察将侧重空间向量的应用求夹角 求距离 课本 淡化了利用空间关系找角 求距离这方面内容的讲解 而是加大了向量在这方面内容应 用的讲解 因此作为立体几何的解答题 用向量方法处理有关夹角和距离将是主要方法 在复习时应加大这方面的训练力度 题型上空间的夹角和距离主要以主观题形式考察 三 要点精讲三 要点精讲 1 空间中各种角包括 异面直线所成的角 直线与平面所成的角以及二面角 1 异面直线所成的角的范围是 求两条异面直线所成的角的大小一般方 2 0 法是通过平行移动直线 把异面问题转化为共面问题来解决 具体步骤如下 利用定义构造角 可固定一条 平移另一条 或两条同时平移到某个特殊的位置 顶点选择在特殊的位置上 证明作出的角即为所求的角 利用三角形来求角 2 直线与平面所成的角的范围是 求直线和平面所成的角用的是射影转 2 0 化法 具体步骤如下 找过斜线上一点与平面垂直的直线 连结垂足和斜足 得出斜线在平面的射影 确定 出所求的角 把该角置于三角形中计算 注 斜线和平面所成的角 是它和平面内任何一条 直线所成的一切角中的最小角 即若 为线面角 为斜 线与平面内任何一条直线所成的角 则有 3 确定点的射影位置有以下几种方法 斜线上任意一点在平面上的射影必在斜线在平面的射影上 如果一个角所在的平面外一点到角的两边距离相等 那么这一点在平面上的射 影在这个角的平分线上 如果一条直线与一个角的两边的夹角相等 那么这一条直线 第 2 页 共 16 页 在平面上的射影在这个角的平分线上 两个平面相互垂直 一个平面上的点在另一个平面上的射影一定落在这两个平 面的交线上 利用某些特殊三棱锥的有关性质 确定顶点在底面上的射影的位置 a 如果侧棱相等或侧棱与底面所成的角相等 那么顶点落在底面上的射影是底面三 角形的外心 b 如果顶点到底面各边距离相等或侧面与底面所成的角相等 那么顶点落在底面上 的射影是底面三角形的内心 或旁心 c 如果侧棱两两垂直或各组对棱互相垂直 那么顶点落在底面上的射影是底面三角 形的垂心 4 二面角的范围在课本中没有给出 一般是指 解题时要注意图形的位置 0 和题目的要求 作二面角的平面角常有三种方法 棱上一点双垂线法 在棱上任取一点 过这点在两个平面内分别引棱的垂线 这 两条射线所成的角 就是二面角的平面角 面上一点三垂线法 自二面角的一个面上一点向另一面引垂线 再由垂足向棱作 垂线得到棱上的点 即垂足 斜足与面上一点连线和斜足与垂足连线所夹的角 即为 二面角的平面角 空间一点垂面法 自空间一点作与棱垂直的平面 截二面角得两条射线 这两条 射线所成的角就是二面角的平面角 斜面面积和射影面积的关系公式 为原斜面面积 为射影面积 cos SSS S 为斜面与射影所成二面角的平面角 这个公式对于斜面为三角形 任意多边形都成立 是 求二面角的好方法 当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 可直 接应用公式 求出二面角的大小 2 空间的距离 1 点到直线的距离 点 到直线的距离为点 到直线的垂线段的长 常先aa 找或作直线所在平面的垂线 得垂足为 过 作的垂线 垂足为 连 则由aa 三垂线定理可得线段 即为点 到直线的距离 在直角三角形 中求出 的a 长即可 点到平面的距离 点 到平面的距离为点 到平面的垂线段的长 常用求法 作出点 到平面的垂线后求出垂线段的长 转移法 如果平面的斜线上两点 到斜足 的距离 的比为 则点 到平面的距离之比也nm 第 3 页 共 16 页 为 特别地 时 点 到平面的距离相等 体积法nm 2 异面直线间的距离 异面直线间的距离为间的公垂线段的长 常有求ba ba 法 先证线段 为异面直线的公垂线段 然后求出 的长即可 找或作出过ba 且与平行的平面 则直线到平面的距离就是异面直线间的距离 找或作出baaba 分别过且与 分别平行的平面 则这两平面间的距离就是异面直线间的距ba baba 离 根据异面直线间的距离公式求距离 3 直线到平面的距离 只存在于直线和平面平行之间 为直线上任意一点到平 面间的距离 4 平面与平面间的距离 只存在于两个平行平面之间 为一个平面上任意一点 到另一个平面的距离 以上所说的所有距离 点线距 点面距 线线距 线面距 面面距都是对应图形上 两点间的最短距离 所以均可以用求函数的最小值法求各距离 3 空间向量的应用 1 用法向量求异面直线间的距离 如右图所示 a b 是两异面直线 是 a 和 b 的法n 向量 点 E a F b 则异面直线 a 与 b 之间的距离是 n nEF d 2 用法向量求点到平面的距离 如右图所示 已知 AB 是平面 的 一条斜线 为n 平面 的法向量 则 A 到平面 的距离为 n nAB d 3 用法向量求直线到平面间的距离 首先必须确定直线与平面平行 然后将直线到平面的距离问题转化成直线上一点到 平面的距离问题 4 用法向量求两平行平面间的距离 首先必须确定两个平面是否平行 这时可以在一个平面上任取一点 将两平面间的 a b E F A BC n 第 4 页 共 16 页 距离问题转化成点到平面的距离问题 5 用法向量求二面角 如图 有两个平面 与 分别作这两个平面的法向 量与 则平面 与 所成的角跟法向量与所成 1 n 2 n 1 n 2 n 的角相等或互补 所以首先必须判断二面角是锐角还是钝 角 6 法向量求直线与平面所成的角 要求直线 a 与平面 所成的角 先求这个平面 的法向量与直线 a 的夹角的余n 弦 易知 或者 an cosan an 2 四 典例解析四 典例解析 题型题型 1 异面直线所成的角 异面直线所成的角 例例 1 1 直三棱住 A1B1C1 ABC BCA 点 D1 F1 分别是 A1B1 A1C1的中 0 90 点 BC CA CC1 则 BD1与 AF1所成角的余弦值是 A B C D 10 30 2 1 15 30 10 15 2 06 四川 已知二面角的大小为 为异面直线 且l 0 60 m n 则所成的角为 mn m n A B C D 0 30 0 60 0 90 0 120 解析 1 连结 D1F1 则 D1F1 11 2 1 CB BC D1F1 11C B BC 2 1 设点 E 为 BC 中点 D1F1BE BD1 EF1 EF1A 或其补角即为 BD1与 AF1所成的角 由余弦定理可求得 故选 A 10 30 cos 1 AEF 1 n 2 n 第 5 页 共 16 页 2 二面角的大小为 为异面直线 且 则l 0 60 m n mn 所成的角为两条直线所成的角 选 B m n 0 60 点评 通过平移将异面直线的夹角转化为平面内的两条相交直线的夹角 例例 2 已知正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2 点 E 为棱 AB 的中点 求 D1E 与平面 BC1D 所成角的大小 用余弦 值表示 解析 建立坐标系如图 则 2 0 0A 2 2 0B 0 2 0C 1 2 0 2A 1 2 2 2B 1 0 0 2D 2 1 0E 1 2 2 2AC 1 2 1 2D E 0 2 0AB 1 0 0 2BB 不难证明为平面 BC1D 的法向量 1 AC 11 11 11 3 cos 9 AC D E AC D E AC D E A D1E 与平面 BC1D 所成的角的余弦值为 9 3 点评 将异面直线间的夹角转化为空间向量的夹角 题型题型 2 直线与平面所成的角 直线与平面所成的角 例例 3 PA PB PC 是从 P 点出发的三条射线 每两条射线的夹角均为 那么直线 0 60 PC 与平面 PAB 所成角的余弦值是 A B C D 2 1 2 2 3 3 3 6 A1 B1 C1 D1 A B C D E x y z 第 6 页 共 16 页 D 解 构造正方体如图所示 过点 C 作 CO 平面 PAB 垂足为 O 则 O 为正 ABP的中心 于是 CPO 为 PC 与平面 PAB 所成的角 设 PC a 则 PO 故 即选 C aPD 3 3 3 2 3 3 cos PC PO CPO 思维点拨 第 2 题也可利用公式直接求得 coscoscos 例例 2 03 年高考试题 如图 直三棱柱 ABC A1B1C1中 底面是等腰直角三角形 ACB 90 侧棱 AA1 2 D E 分别是 CC1与 A1B 的中点 点 E 在平面 ABD 上的射 影是 ABD 的重心 G 求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小 结果用余弦值表示 解析 如图所示 建立坐标系 坐标 原点为 C 设 CA 2a 则 A 2a 0 0 B 0 2a 0 D 0 0 1 A1 2a 0 2 E a a 1 G 221 333 aa 2 333 aa GE 0 2 1BDa 222 0 33 GE BDa A a 1 112 333 GE 1 2 2 2AB 为平面 ABD 的法向量 且 GE 1 1 1 2 cos 3 AB GE AB GE AB GE A A1B 与平面 ABD 所成角的余弦值是 3 2 点评 先处理平面的法向量 再求直线的方向向量与法向量夹角间的夹角转化为线 面角 G D D A1 C1 B1 C B K xy z A E 第 7 页 共 16 页 E F O 题型题型 3 二面角 二面角 例例 5 在四棱锥 P ABCD 中 ABCD 为正方形 PA 平面 ABCD PA AB a E 为 BC 中点 1 求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的大 小 用正切值表示 2 求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大 小 解析 1 延长 AB DE 交于点 F 则 PF 为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的棱 PA 平面 ABCD AD PA AB PA AB A DA 平面 BPA 于 A 过 A 作 AO PF 于 O 连结 OD 则 AOD 即为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角 的平面角 易得 故平面 PDE 与平 PAD 所成二面角的正切值为 2 5 tan AOD 2 5 2 解法 1 面积法 如图 AD PA AB PA AB A DA 平面 BPA 于 A 同时 BC 平面 BPA 于 B PBA 是 PCD 在平面 PBA 上的射影 设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大 小为 cos S PAB S PCD 2 450 即平面 BAP 与平面 PDC 所成的二面角的大小为 45 解法 2 补形化为定义法 如图 将四棱锥 P ABCD 补形得正方体 ABCD PQMN 则 PQ PA PD 于是 APD 是两面所成二面角的平面角 在 Rt PAD 中 PA AD 则 APD 45 即平面 BAP 与平 面 PDC 所成二面角的大小为 45 例例 6 1 2003 年 北京卷高考题 如图 6 正三棱柱的底面边长为 111 CBAABC 第 8 页 共 16 页 3 侧棱 D 是 CB 延长线上一点 且 求二面角3 2 3 1 AABCBD 的大小 略去了该题的 问 BADB 1 2 06 四川卷 已知球的半径是 1 三点都在球面上 OABCA 两点和 两点的球面距离都是 两点的球面距离是 则二面角BAC 4 BC 3 的大小是 BOAC A B C D 4 3 2 2 3 解析 1 取 BC 的中点 O 连 AO 由题意 平面平面 平面 ABC 11B BCCBCAO AO 11B BCC 以 O 为原点 建立如图 6 所示空间直角坐标系 则 3 2 3 0 0A 0 0 2 3 B 0 0 2 9 D 0 3 2 3 2 3 1 B 3 2 3 0 2 9 AD 0 3 2 3 3 1 DB 0 3 2 3 0 1 BB 由题意 平面 ABD 1 BB 为平面 ABD 的法向量 0 3 2 3 0 1 BB 设 平面的法向量为 DAB1 2 zyxn 则 DBn ADn 12 2 0 0 12 2 DBn ADn 03 2 3 3 03 2 3 2 9 yx zx 即 不妨设 xz yx 3 3 2 3 2 3 1 2 3 2 n 由 2 1 23 2 3 3 2 3 cos 21 21 21 nBB nBB nBB C C B B1 1 B B O O A A1 1 D D C C1 1 z z A A y y x x 第 9 页 共 16 页 得 故所求二面角的大小为 60 21 nBBBADB 1 60 评析 1 用法向量的方法处理二面角的问题时 将传统求二面角问题时的三步 曲 找 证 求 直接简化成了一步曲 计算 这表面似乎谈化了学生的空间想 象能力 但实质不然 向量法对学生的空间想象能力要求更高 也更加注重对学生创新 能力的培养 体现了教育改革的精神 2 此法在处理二面角问题时 可能会遇到二面角的具体大小问题 如本题中若 取时 会算得 从而所求二面角为 但 2 3 1 2 3 2 n 2 1 cos 21 nBB 120 依题意只为 因为二面角的大小有时为锐角 直角 有时也为钝角 所以在计算之 60 前不妨先依题意判断一下所求二面角的大小 然后根据计算取 相等角 或取 补角 2 解析 球的半径是 R 三点都在球面上 两点和两点O1 A B C A B A C 的球面距离都是 则 AOB AOC 都等于 AB AC 两点的球面距离是 4 4 B C BOC BC 1 过 B 做 BD AO 垂足为 D 连接 CD 则 CD AD 则 3 3 BDC 是二面角的平面角 BD CD BDC 二面角BOAC 2 2 2 的大小是 选 C BOAC 2 题型题型 4 异面直线间的距离 异面直线间的距离 例例 7 如图 已知正方体 棱长为 1 A 1 B 1 C 1 Da 求异面直线 与 的距离 1 B 解法一 连结 交 的中点 取的中点 连结 1 CC 交于 连 则 过 作CB1 1 AC 1 ACOM 交 于 则 1 ACEF 又斜线的射影为 1 AC BDFEACBD 1 1 A 1 B 1 C 1 D 第 10 页 共 16 页 同理 为 与的公垂线 由于 为的中CBEFCBAC 111 EF CB1 1 CC 点 MEC 1 BEB 2 1 1 BE ME BB MC 故 2 5 BMaMBBE 3 5 3 2 3 2 BM BE BO BF 3 2 BFa 3 2 aBFBEEF 3 3 22 解法二 转化为线面距 因为 平面 平面 故 与的距离就是 CDB 11 CB1CDB 11 CB1 到平面的距离 CDB 11 由 即 得 BCBDCDBB VV 1111 aaha 2 2 2 1 3 1 2 4 3 3 1 ah 3 3 解法三 转化为面面距 易证平面 平面 用等体积法易得 到平面CDB 11 BDA1 的距离为 BDA1a 3 3 同理可知 到平面的距离为 而 故两平面间距离为 1 CCDB 11 a 3 3 aCA3 1 a 3 3 解法四 垂面法 如图 平面 CDB 11 平面 1111111 OODBCADB 11D BCCOO 11 平面平面 CCOO 11 CDB 11 CO1 111 DBO 故 O 到平面的距离为斜边上的高CDB 11 OCORt 1 1 A 1 B 1 C 1 D O 1 O M N 1 A 1 B 1 C 1 D E 第 11 页 共 16 页 A B C DO S x y z 图 2 a a aa CO OOOC h 3 3 2 3 2 2 1 1 解法五 函数最小值法 如图 在上取一点 M 作 MEBC 于 E 过 E 作 ENBD 交 BD 于 N 易知 MN 为 BD 与的公垂线时 MN 最小 CB1 设 BE CE ME EN xxa x 2 2 MN 22 2 1 xax 22 2 2 3 aaxx 32 3 2 3 2 2 a ax 当时 时 ax 3 2 aMN 3 3 min 例例 8 如图 2 正四棱锥的高 SABCD 2SO 底边长 求异面直线和之间的距2AB BDSC 离 分析 建立如图所示的直角坐标系 则 22 0 22 A 22 0 22 B 22 0 22 C 22 0 22 D 0 0 2 S 2 2 0 DB 22 2 22 CS 令向量 且 1 nx y nDB nCS 则 0 0 n DB n CS 1 2 2 0 0 22 1 2 0 22 x y x y 0 2 20 xy xy 2 2 x y 2 2 1 n 异面直线和之间的距离为 BDSC 第 12 页 共 16 页 OC n d n 22 0 2 2 1 22 2 2 1 222 1 10 2 5 5 2 2 1 题型题型 5 点面距离 点面距离 例例 9 如图 已知 为边长是 的正方形 分别是 的中点 垂直于 所在的平面 且 求点 到平 面 的距离 解法一 连结 222 2 1 2 1 FABES BEF 又 分别是 的中点 4 3 22 2 1 ACCHBDEF 2 222 24 4 3 2 CHGCGH22 1122222 2 1 GEF ShhV EFGB 11 3 2 112 3 1 22 3 1 BEFG V 11 112 h 解法二 分别是 的中点 到平面 的距 离为 上任一点到平面 的距离 于 又 平面 平面 ACEF 平面 平面 平面 过 点 作 则平面 为 到平面 的距离 即 到平面 OO OOO O 的距离 由解法一知 由 得 2 4 1 ACOH22 GHOHO HCG O 第 13 页 共 16 页 11 112 OO GC OO GH OH 思维点拔 注意点距 线面距 面面距的转化 利用平面互相垂直作距离也是一种 常用的方法 例例 10 1 06 安徽 多面体上 位于同一条棱两端的顶点称为相邻的 如图 正方体 的一个顶点 A 在平面内 其余顶点在的同侧 正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 的距离分别为 1 2 和 4 P 是正方体的其余四个顶点中的一个 则 P 到平面的距离 可能是 写出所有正确结论的编号 3 4 5 6 7 2 平行四边形的一个顶点 A 在平面内 其余顶点在的同侧 已知其中有两 个顶点到的距离分别为 1 和 2 那么剩下的一个顶点到平面的距离可能是 1 2 3 4 以上结论正确的为 写出所有正确结论的编号 解析 1 如图 B D A1到平面的距离分别为 1 2 4 则 D A1的中点到平面 的距离为 3 所以 D1到平面的距离为 6 B A1的中点到平面的距离为 所以 5 2 B1到平面的距离为 5 则 D B 的中点到平面的距 离为 所以 C 到平面的距离为 3 C A1的中点到 3 2 平面的距离为 所以 C1到平面的距离为 7 而 7 2 P 为 C C1 B1 D1中的一点 所以选 2 如图 B D 到平面的距离为 1 2 则 D B 的中点到平面的距离为 所以 C 到平面的 3 2 距离为 3 B C 到平面的距离为 1 2 D 到平面的距离为 则 即 x1221xx 或 所以 D 到平面的距离为 1 1x C D 到平面的距离为 1 2 同理可得 B 到平面的距离为 1 所以选 题型题型 6 线面距离 线面距离 例例 11 已知正三棱柱的底面边长为 8 111 CBAABC 对角线 D 是 AC 的中点 1 求点到直10 1 CB 1 B 线 AC 的距离 2 求直线到平面的距离 1 ABBDC1 解析 1 连结 BD 由三垂线定理可得 DB1 B A C D 1 A 1 B 1 C A B C D A1 第 14 页 共 16 页 A C B P E F 图 7 所以就是点到直线 AC 的距离 ACDB 1 DB1 1 B 在中 BDBRt 1 6810 2222 11 BCCBBB34 BD 212 2 1 2 1 BBBDDB 2 因为 AC 与平面 BD交于 的中点 设 则 1 CEBCCB 11 DE 所以 平面 所以到平面 BD的距离等于 点到平面 BD 1 AB 1 ABBDC1 1 AB 1 C 的距离 等于 点到平面 BD的距离 也就等于三棱锥的高 1 C 1 C 1 BDCC 所以 直线 BDCCBDCC VV 11 1 3 1 3 1 1 CCShS BDCBDC 13 1312 h 到平面 BD的距离是 1 AB 1 C 13 1312 思维点拔 求空间距离多用转化的思想 例例 12 如图 7 已知边长为的正三角形中 4 2ABC 分别为和的中点 面 且EFBCACPA ABC 设平面过且与平行 求与平面2PA PFAEAE 间的距离 分析 设 的单位向量分别为 AP AE EC 1 e 选取 作为空间向量的一组基底 2 e 3 e 1 e 2 e 3 e 易知 121323 0e ee eee 123 2 2 6 2 2 APe