高中数学导数及其应用专题

1 专题专题 导数及其应用导数及其应用 考点精要考点精要 1 了解导数概念的实际背景 2 理解导数的几何意义 3 了解函数的单调性和导数的关系 能利用导数研究函数的单调性 会求函数 的单调区间 其中多项式函数不超过三次 4 了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件 会用导数求函数的极大值 极小值 其中多项式函数一般不超过三次 会求闭区间上函数的最大值 最小 值 其中多项式函数一般不超过三次 5 会利用导数解决某些实际问题 热点解析热点解析 导数的几何意义及其应用 基本初等函数的导数公式及导数运算的四则运 算法则是高考的重点与热点 要会利用导数求曲线的切线 注意区分在某点处 的切线与过某点的曲线的切线 求函数在点 x0 处的切线方程或切线斜率 求函数的单调增 0 xf xf 区间或单调减区间 求函数在 a b 上的极值 求在 a b 上的最大 xf 值 最小值等等 在近几年高考试题中频频出现 知识梳理知识梳理 1 一般地 函数 y 在 x x0处的瞬时变化率是 f x 00 0 lim x f xxf x x 我们称它为函数 y 在 x x0处的导数导数 记作或 y x x0 即 0 lim x f x f x 0 fx 0 fx 00 0 lim x f xxf x x 2 函数在 x x0处的导数就是切线 PT 的斜率 k 即 k f x 00 0 lim x f xxf x x 0 fx 3 导函数 y fx 0 lim x f xxf x x 2 4 c 0 x1 1 x2 2x 2 11 xx 1 2 x x 5 基本初等函数的导数公式 1 若 c 则 0 2 若 xn n 则 f x fx f x nxn 1 fx 3 若 sinx 则 cosx 4 若 cosx 则 f x fx f x sinx fx 5 若 ax 则 axlna 6 若 ex 则 ex f x fx f x fx 7 若 logax 则 8 若 lnx 则 f x fx 1 lnxa f x fx 1 x 6 导数运算法则 1 2 f x g x fx g x f x g x fx g x f x g x 3 2 f xfx g xf xg x g x g x 7 导数的应用体现在三个方面 1 求曲线的切线 其方法是 先求函数在某点处的导数得切线斜率 再用点 斜式建立切线方程 后化为一般式 求曲线的切线时要注意两种不同的要求 一种是求 函数在某点处的切线 这个点就是切点 一种是求 函数过某点的切线 则这个点可以是切点 也可 以不是切点 这两种要求的切线的求法有区别 2 求函数的极大 小 值与最大 小值 求可导函数的极值的步骤 xfy 求导数 这一步是基础 要求利用导数公式及运算法则正确地 xfy 求出导函数 x f 求方程 0 的根 这一步用到方程知识 注意 0 的根应在 y x f x f 的定义域中 xf 检验在方程 0 的根 又叫函数驻点 的左 右侧的符号是否 x f x f 发生变化 如果在根的左侧附近为正 右侧附近为负 那么函数 y 在 x f xf 3 这个根处取得极大值 如果相反 在这个根的左侧附近为负 右侧附近为 x f 正 那么函数 y 在这个根处取得极小值 xf 如果求闭区间 a b 上函数的最值 则应在 及开区间 af bf a b 内的极值中间作比较 最大的就是最大值 最小的就是最小值 3 研究函数的单调性 设函数 y 在某个区间 D 内可导 且 则在这个区间上为增函 xf x f 0 xf 数 若 则在这个区间上为减函数 注意 这里 0 在 D 的 x f 0 xf x f 任意一个子区间内不能恒成立 否则 函数在这个子区间内为常函数 为水平 线段 不具有单调性 4 不等式的恒成立问题与能成立 存在性 问题不等式的恒成立问题与能成立 存在性 问题 不等式的恒成立问题不等式的恒成立问题 若若在在上恒成立 等价于上恒成立 等价于在在上的最小值上的最小值 xD f xm D f xD 成立 若成立 若在在上恒成立 等价于上恒成立 等价于在在上的最大上的最大 min f xm xD f xm D f xD 值值成立成立 max f xm 对任意对任意 都有 都有成立的充要条件是成立的充要条件是 12 x xD 12 f xg x maxmin f xg x 不等式的能成立 存在性 问题不等式的能成立 存在性 问题 若若在在上能成立 等价于上能成立 等价于在在上的最大值上的最大值 xD f xm D f xD 成立成立 m ax f xm 若若在在上能成立 等价于上能成立 等价于在在上的最小值上的最小值 xD f xm D f xD 成立 成立 min f xm 例题精讲 例 1 曲线 y x ex 2x 1 在点 0 1 处的切线方程为 4 例 2 有下列命题 x 0 是函数 y x3的极值点 三次函数 ax3 bx2 cx d 有极值点的充要条件是 b2 3ac 0 xf 奇函数 mx3 m 1 x2 48 m 2 x n 在区间 4 4 上是单调 xf 函数 其中假命题的序号是 例 3 已知函数 x3 bx2 cx d 的图像过点 P 0 2 且在点 xf M 1 f 1 处的切线方程为 6x y 7 0 1 求函数 y 的解析式 xf 2 求函数 y 的单调区间 xf 例 4 没有图像 已知函数R a x ax xf ln 1 若曲线在点处的切线与直线平行 求 a 的 xfy 1 1 f01 yx 值 om 5 2 求函数的单调区间和极值 xf 3 当 且时 证明 1 a1 x 1 xf 解 I 函数 0 f xx x 的定义域为 所以 2 1ln xa fx x 又曲线处的切线与直线平行 1 1 yf xf 在点10 xy 所以 4 分 1 11 0 faa 即 II 令 1 0 a fxxe 得 当 x 变化时 的变化情况如下表 fxf x x 1 0 a e 1 a e 来 1 a e fx 0 f x 极大值 由表可知 的单调递增区间是 单调递减区间是 f x 1 0 a e 1 a e 所以处取得极大值 9 分 1 a f xxe 在 11 an f xf ee 极大值 III 当 ln1 1 x af x x 时 由于 ln1 1 1 x xf x x 要证 只需证明ln1 xx 令 11 ln1 1 x h xxxh x xx 则 6 因为 所以上单调递增 1 x 1 0 在故xhxh 当即成立 0 1 1 hxhx时xx 1ln 故当时 有1 x 1 1 1ln xf x x 即 13 分 例 5 18 本小题共 14 分 已知函数 若 求函数的极值和单 1 ln 0 f xax aa x R 1a f x 调区间 II 若在区间上至少存在一点 使得成立 求实数的取值范 1 e 0 x 0 0f x a 围 解 I 因为 2 分 22 11 aax fx xxx 当 令 得 3 分 又的 1a 2 1 x fx x 0fx 1x f x 定义域为 0 随的变化情况如下表 fx f x x x 0 1 1 1 fx 0 f x A极小值A 所以时 的极小值为 1 5 分 的单调递增区间为 单调 1x f x f x 1 递减区间为 6 分 0 1 7 II 解法一 因为 且 令 得到 22 11 aax fx xxx 0a 0fx 1 x a 在区间存在一点 使得成立 充要条件是在区间上 0 e 0 x 0 0f x f x 0 e 的最小值小于 0 即可 7 分 1 当 即时 对成立 所以 在 1 0 x a 0a 0fx 0 x f x 区间上单调递减 0 e 故在区间上的最小值为 f x 0 e 11 lnf eaea ee 由 得 即 9 分 1 0a e 1 a e 1 a e 2 当 即时 若 则对成立 所 1 0 x a 0a 1 e a 0fx 0 xe 以在区间上单调递减 所以 在区间上的最小值为 f x 0 e f x 0 e 11 ln0f eaea ee 显然 在区间上的最小值小于 0 不成立 11 分 f x 0 e 若 即时 则有 1 0e a 1 a e x 1 0 a 1 a 1 e a fx 0 f x A 极小 A 8 值 所以在区间上的最小值为 由 f x 0 e 11 lnfaa aa 11 ln 1ln 0faaaa aa 得 解得 即 13 分 1ln0a ae ae 综上 由 1 2 可知 符合题意 14 分 1 ae e 解法二 若在区间上存在一点 使得成立 即 0 e 0 x 0 0f x 0 0 1 ln0ax x 因为 所以 只需 7 分 0 0 x 00 1ln0axx 令 只要在区间上的最小值小于 0 即可 1lng xaxx 1lng xaxx 0 e 因为 令 ln ln1 g xaxaax ln1 0g xax 得 9 分 1 x e 1 当时 0a x 1 0 e 1 e 1 e e g x 0 g x A极大值A 因为时 而 1 0 x e 1ln0g xaxx 1ln1g eaeeae 9 只要 得 即 11 分 10ae 1 a e 1 a e 2 当时 0a x 1 0 e 1 e 1 e e g x 0 g x A极小值A 所以 当 时 极小值即最小值为 0 xe g x 111 1ln1 a ga eeee 由 得 即 13 分 综上 由 1 2 可知 有 10 a e ae ae 14 分 1 ae e 例 6 已知函数 2 ln20 f xaxa x 若曲线在点处的切线与直线垂直 求函数 yf x 1 1 Pf2yx 的单调区间 yf x 若对于都有成立 试求的取值范围 0 x 2 1 f xa a 解 I 直线的斜率为 1 函数的定义域为 2yx f x 0 因为 所以 所以 所以 2 2 a fx xx 2 2 1 1 11 a f 1a 2 ln2f xx x 2 2 x fx x 由解得 由解得 0fx 2x 0fx 02x 10 所以的单调增区间是 单调减区间是 4 分 f x 2 0 2 II 由 解得 由解得 22 22 aax fx xxx 0fx 2 x a 0fx 2 0 x a 所以在区间上单调递增 在区间上单调递减 f x 2 a 2 0 a 所以当时 函数取得最小值 因为对于都有 2 x a f x min 2 yf a 0 x 成立 2 1 f xa 所以即可 则 由解得 2 2 1 fa a 22 ln22 1 2 aa a a 2 lnaa a 2 0a e 所以的取值范围是 8 分a 2 0 e 例 7 18 本小题共 14 分 已知函数 32 1 3 f xxaxbx a b R I 若 求函数的解析式 0 2 1ff f x II 若 且在区间上单调递增 求实数的取值范围 2ba f x 0 1 a 解 因为 2 分 由即 2 2fxxaxb 0 2 1ff 得 4 分 1 441 b ab 1 1 a b 所以的解析式为 5 分 f x 32 1 3 f xxxx 若 则 6 分 2ba 2 22fxxaxa 2 44 2 aa 1 当 即时 恒成立 那么在上单调递增 0 12a 0fx f x R 11 所以 当时 在区间上单调递增 8 分 12a f x 0 1 2 解法 1 当 即或时 0 2a 1a 令解得 2 220fxxaxa 2 1 2xaaa 9 分 2 2 2xaaa 列表分析函数的单调性如下 f x x 1 x 12 x x 2 x fx f x AAA 10 分 要使函数在区间上单调递增 f x 0 1 只需或 解得或 21 0 0 0 aa a f 或21 1 1 0 aa a f 或 21a 23a 13 分 解法 2 当 即或时 因为的对称轴方 0 2a 1a 2 22fxxaxa 程为 9 分 xa 要使函数在区间上单调递增 需或 f x 0 1 1 0 0 a f 2 1 0 a f 解得或 13 分 综上 当时 函数在区间 21a 23a 2 3 a f x 上单调递增 14 分 0 1 12 例 8 12 北京东城期末 已知函数13 3 1 223 xmmxxxf 0 m 若1 m 求曲线 xfy 在点 2 2 f处的切线方程 若函数 xf在区间 21 1 mm 上单调递增 求实数m的取值范围 解析解 当1 m时 13 3 1 23 xxxxf 3 5 164 3 8 2 f 32 2 xxxf 53442 f 3 分 所以所求切线方程为 2 5 3 5 xy即025315 yx 5 分 22 32 mmxxxf 令0 xf 得mxmx 或3 7 分 由于0 m x f xf的变化情况如下表 x 3 m m3 3 mm m m xf 0 0 xf 单调增极大 值 单调减极小 值 单调增 所以函数 xf的单调递增区间是 3 m 和 m 9 分 要使 xf在区间 21 1 mm 上单调递增 应有 1 m m3 或 12 m m 解得m 4 1 或m 1 11 分 又 0m 且121mm 12 分 13 所以 1 2m 即实数m的取值范围 21 mm 13 分 例例 9 已知函数 求函数的导函数 3 22 1 3 mx f xaxbx m a b R f x fx 当时 若函数是上的增函数 求的最小值 1m f xRzab 当时 函数在上存在单调递增区间 求的取值范1 2ab f x 2 m 围 解析解析 3 分 22 2 1 fxmxaxb 因为函数是上的增函数 所以在上恒成立 f xR 0fx R 则有 即 设为参数 22 44 1 0ab 22 1ab cos sin ar br 01 r z a b b a O 则 当 且时 取 cossin 2 sin 4 zabrr sin 1 4 1r zab 得最小值 2 可用圆面的几何意义解得的最小值 8 分zab 2 当时是开口向上的抛物线 显然在上存0m 2 21fmmxx fx 2 在子区间使得 所以的取值范围是 当时 显然成 0fx m 0 0m 立 当时 是开口向下的抛物线 要使在上存0m 2 21fmmxx fx 2 在子区间使 应满足或解得 或 0fx 0 1 2 1 0 m m f m 0 1 2 2 0 m m f 1 0 2 m 14 所以的取值范围是 31 42 m m 3 0 4 则的取值范围是 13 分m 3 4 例 10 18 本小题满分 13 分 已知函数 1 lnf xax x a R 若曲线在点处的切线与直线垂直 求 的值 求函 yf x 1 1 f20 xy a 数的单调区间 f x 当 且时 证明 1a 2x 1 25f xx 解析解析 函数的定义域为 f x 0 x x 2 1 a fx xx 又曲线在点处的切线与直线垂直 所以 yf x 1 1 f20 xy 1 12fa 即 1a 由于 当时 对于 有在定义域上恒成 2 1 ax fx x 0a 0 x 0fx 立 即在上是增函数 当时 由 得 f x 0 0a 0fx 1 0 x a 当时 单调递增 当时 1 0 x a 0fx f x 1 x a 0fx 单调递减 f x 当时 1a 令 1 1 ln 1 1 f xx x 2 x 1 ln 1 25 1 g xxx x 当时 在单 22 11 21 2 2 1 1 1 xx g x xxx 2x 0g x g x 2 调递减 又 所以在恒为负 所以当时 2 0g g x 2 2 x 0g x 即 故当 且时 成立 1 ln 1 250 1 xx x 1a 2x 1 25f xx 15 1 函数 y x2 2x 1 在 x 1 处的导数等于 A 2B 3C 4D 5 2 函数的导数是 ln x f x x fx A B C D 2 1ln x xx 2 1ln x xx 22 1ln x xx 22 1ln x xx 3 曲线 y x3 3x2 1 在点 1 1 处的切线方程为 A y 3x 4B y 3x 2C y 4x 3D y 4x 3 4 x3 3x2 1 是减函数的区间为 xf A 2 B 2 C 0 D 0 2 5 函数 ax3 x 1 有极值的充分必要条件是 xf A a 0 B C a 0 D 0a 0a 6 设是函数的导函数 y 的图像如下右图所示 则 y 的图 x f xf x f xf 像最有可能是 7 函数 x3 ax2 3x 9 已知在 x 3 时取得极值 则 a xf xf A 2B 3C 4D 5 8 函数 x3 3x 1 在闭区间 3 0 上的最大值 最小值分别是 xf 16 A 1 1B 1 17C 3 17D 9 19 9 函数 y 在其定义域内可导 则 0 是函数 y 在点 x x0处有 xf 0 x f xf 极值的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既非充分又非必要条件 10 函数 x 3 ex的单调递增区间是 xf A 2 B 0 3 C 1 4 D 2 11 过原点作曲线 y ex的切线 则切点的坐标为 切线的斜率为 12 曲线 y x3 3x2 1 在点 1 1 处的切线方程为 13 若可导函数的导函数为 且满足 3x2 2x 则 f x fx f x 2 f 5 f 14 点 P 在曲线 y x3 x 上移动 设以点 P 为切点的切线的倾斜角为 求 2 3 的取值范围 15 是 x3 2x 1 的导函数 则的值是 fx f x 1 3 1 f 16 如图 函数的图像是折线段 ABC 其中 f x A B C 的坐标分别为 0 4 2 0 6 4 则 函数在 x 1 处的导数 0 ff f x 1 f 17 若曲线 ax2 lnx 存在垂直于 y 轴的切线 则实数 a 的取值范围是 f x 17 18 设直线 y x b 是曲线 y lnx x 0 的一条切线 则实数 b 的值为 1 2 19 函数 lnx 的图像在点 e f e 处的切线方程是 xf 20 函数 y 的单调减区间是 x ex 21 若函数 x3 3a2x 1 的图象与直线 y 3 只有一个公共点 则实数 a 的取 xf 值范围是 22 若函数 在区间 1 4 内为减函数 在区间 6 xf1 1 2 1 3 1 23 xaaxx 上为增函数 试求实数 a 的取值范围 23 已知函数 ax3 bx2 cx 在点 x0处取得极大值 5 其导函数 y xf 的图像经过点 1 0 2 0 如右上图所示 求 x f x0的值 a b c 的值 的极小值 xf 答案 例 1 y 3x 1 例 2 18 例 3 1 x3 3x2 3x 2 f x 2 1 上单调递增 1 1 上单调递减 在 1 上 2222 单调递增 针对训练 1 C 2 D 3 B 4 D 5 C 6 D 7 D 8 C 9 B 10 D 11 1 e e 12 3x y 2 0 13 6 14 15 3 16 2 17 a 0 18 ln2 1 3 0 42 19 y 20 0 和 0 1 21 1 a 1 22 23 1 x e 57a x0 1 a 2 b 9 c 12 4 高考链接 1 09 北京 设是偶函数 若曲线在点处的切线的斜率为 f x yf x 1 1 f 1 则该曲线在点处的切线的斜率为 1 1 f 2 07 北京文 是的导函数 则的值是 fx 3 1 21 3 f xxx 1 f 3 08 北京文 如图 函数 f x 的图象是折线段 ABC 其中 A B C 的坐标分别为 0 4 2 0 6 4 则 f f 0 函数 f x 在 x 1 处的导数 f 1 19 4 11 北京文 本小题共 13 分 已知函数 x f xxk e 求的单调区间 f x 求在区间 0 1 上的最小值 f x 5 10 北京文 本小题共 14 分 设定函数 且方程的两个根分 32 0 3 a f xxbxcxd a 90fxx 别为 1 4 当 a 3 且曲线过原点时 求的解析式 yf x f x 若在无极值点 求 a 的取值范围 f x 6 08 北京 本小题共 13 分 已知函数是奇函数 32 3 0 2f xxaxbxc bg xf x 且 求 a c 的值 求函数 f x 的单调区间 20 答案 1