第52讲空间点、线、面的位置关系

第 52 讲 空间点 线 面的位置关系 A 级 1 下列命题正确的个数是 B 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行 那么这两个角相等 如果两条相交直线与另两条直线分别平行 那么这两组直线所成的锐角或直角相等 如果一个角的两边与另一个角的两边分别垂直 那么这两个角相等或互补 如果两条直线同时平行于第三条直线 那么这两条直线互相平行 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 解 中两角应相等或互补 的说法正确 因为两直线所成的角即夹角为锐角或直 角 在平面几何中成立但在立体几何中不一定成立 根据平行公理 是正确的 因此 是正确的 2 a b 是两条异面直线 a 平面 b 平面 若 c 则直线 c 必定 C A 与 a b 均相交 B 与 a b 都不相交 C 至少与 a b 中的一条相交 D 至多与 a b 中的一条相交 解 采用反证法的思想或画图分析 如图 可排除 A B D 另一方面 假设 c 与 a b 都不相交 则又 a c 共面 有 a c 同理 b c 从而由平行公理知 a b 这跟题设 a 与 b 异面矛盾 所以假设不成立 从而 c 至少与 a b 中的一条相交 故选 C 3 如图 空间四边形 ABCD 中 对角线 AC BD E F G H 分别为边 AB BC CD DA 的中点 则四边形 EFGH 的形状一定是 C A 等腰梯形 B 菱形 C 矩形 D 正方形 解 因为 E F G H 分别为 AB BC CD DA 的中点 所以 EF 平行且等于 AC GH 平行且等于 AC 1 2 1 2 所以 EF 平行且等于 GH 所以四边形 EFGH 为平行四边形 又 AC BD 而 EF AC GF BD 所以 EF FG 故四边形 EFGH 为矩形 4 2016 江西名校学术联盟调研三 在空间中 a b c 是三条不同的直线 是两 个不同的平面 则下列命题为真命题的是 D A 若 a a b b c 则 c B 若 a b 则 a b C 若 a a b b c 则 c D 若 a 则 a 解 对于 A 由条件有 a b c 当 c 时 c 不成立 A 是假命题 对于 B 分别在两垂直平面内的两直线不一定垂直 B 是假命题 对于 C 因为 a 若 c 则 a c 但由 a b b c 不能得到 a c 所以 C 是假 命题 对于 D 两平行平面中的一直线一定平行另一平面 故 D 正确 5 两两平行的三条直线 可以确定 1 或 3 个平面 6 有下面几个命题 若空间四点不共面 则任意三点不共线 若直线 l 上有一个点在一个平面外 则直线 l 不在这个平面内 若 a b b c 则 a c 必共面 三个平面两两相交 可有一条或三条交线 其中真命题的序号是 7 如图 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 E 是 AB 的中点 F 是 A1A 的中点 求证 1 E C D1 F 四点共面 2 CE D1F DA 三线共点 证明 1 因为 E F 分别是 AB A1A 的中点 所以 EF A1B 又因为 A1B CD1 所以 EF CD1 所以 E C D1 F 四点共面 2 由 1 知 EF CD1且 EF CD1 所以 CE D1F 相交 设交于点 P 如图 因为 CE 平面 ABCD 所以 P 平面 ABCD 同理 P 平面 ADD1A1 又因为平面 ABCD 平面 ADD1A1 DA 所以 P DA 所以 CE D1F DA 三线共点 B 级 8 在正方体 ABCD A1B1C1D1中 M N 分别是 BC1 CD1的中点 则下列判断错误的 是 D A MN 与 CC1垂直 B MN 与 AC 垂直 C MN 与 BD 平行 D MN 与 A1B1平行 解 取 CC1的中点 P 连接 MP NP 则 MP CC1 NP CC1 所以 CC1 平面 MNP 所以 MN CC1 A 项正确 连接 A1C1 可证 MN 平面 ACC1A1 从而 MN AC B 项正确 连接 DC1 则 MN 是 C1BD 的中位线 故 MN BD C 选项正确 MN 与 A1B1是异面直线 只有 D 项错误 9 2016 江苏常州模拟 设 m n 是两条不同的直线 是两个不重合的平面 给出 下列命题 若 m n n 则 m 若 m m 则 若 m n 则 m n 若 m n 则 m n 其中真命题的序号是 解 垂直于平面 内的一条直线的直线不一定垂直 为假命题 经过一平面的垂线的平面和这个平面垂直 为真命题 垂直于同一平面的两直线平行 为真命题 分别在两个平行平面的两直线不一定平行 为假假命题 故真命题的序号为 10 如图所示 在空间四边形 ABCD 中 E H 分别是边 AB AD 上的点 且 F G 分别是边 CB CD 上的点 且 求证 四边形 EFGH 是梯 AE EB AH HD 1 2 CF CB CG CD 2 3 形 证明 连接 BD 在 ABD 中 AE EB AH HD