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第六章数理统计的基本概念 在第六章中 主要是通过所研究对象的其中一部分的性质和数量指标来推断研究对象的整体性质和数量指标 即用样本特征来推断总体特征 分三块讲解 一是 主要内容归纳 二是 例题分类解析 三是 学习与研究方法 总结 在 例题分类解析 部分 讲解了 确定统计量服从什么样的抽样分布2 利用抽样分布进行有关概率计算 内容简介 本章重点 1 简单随机样本的概念 2 统计量定义 3 常用的抽样分布及抽样分布定理 本章难点 1 简单随机样本的利用问题 2 统计量的判断 3 抽样分布的有关证明 一 主要内容归纳 1 数理统计的基本概念 表6 1数理统计的基本概念 讲评 1 统计量包含两个关键词 一是样本的函数 二是不包含未知参数 2 上a分位点是一个数 它是指服从某一分布的随机变量大于这个数的概率正好等于a 这个数就称为这个分布的上a分位点 这个定义在参数估计和假设检验中有重要作用 2 常用的统计量 表6 2常用的统计量 上述常用的统计量 我们在以后学习中经常使用 读者应该熟练掌握计算公式 3 常用的抽样分布 讲评 2 讲评上述三个抽样分布的定义 在一些证明题中会经常遇到 常用的抽样分布与分位点结合起来 在后面的参数估计与假设检验中经常使用 三个抽样分布都是利用标准正态分布和独立性给出的结构型的定义 如果给出了正态分布 需要将随机变量标准化为服从标准正态分布 即可利用三个抽样分布的定义解决问题 4 常用的重要结论 是总体 的样本 设 是样本均值与样本方差 有 分别 1 2 4 设 分别是来自正态 的样本 且这 两个样本相互独立 总体 与 与 分别是这两个样本的样本方差 则有 1 其中 二 例题分类解析 1 确定统计量服从什么样的抽样分布 例1是总体X B 1 p 的样本 则 的分布为 当n很大时 样本均值 近似服从分布 解因是来自总体X B 1 p 的样本 故相互独立且Xi B 1 p i 1 2 n 由两点分布可加性和二项分布的定义 知 讲评样本均值是样本的函数且不含未知参数 从而样本均值也是统计量 其服从的极限分布由中心极限定理求出 由于E X p D X p 1 p 由中心极限定理知 所以样本均值近似 服从正态分布 即 例2设总体X N 0 2 0 X1 X2 X6是取自总体X的样本 设Y X1 X2 X3 2 X4 X5 X6 2 则当c cY服从自由度为的分布 扩展一般情况下 只要是服从正态分布的随机变量的平方和 则它多服从 故 所以 分布 注意 一定要标准化随机变量 解由抽样分布的定理知 又因为 且与相互独立 所以 故标准化随机变量 讲评本题考查的是t分布的定义 但它的形式不明显 我们要构造出它的形式 这是本题的难点 分析统计量Y的分子与分母是服从正态分布的随机变量的平方 所以它可能服从F分布 解由题设 所以 由F分布的定义得 即 讲评在分子中的Xn一定不能在分母的求和中出现 否则分子与分母就不相互独立了 这样就不一定服从F分布了 扩展题中分子与分母的形式可以变化 只要满足都是服从正态分布的随机变量的平方和且二者相互独立即可 参见例3 并比较分母的形式 以出其概率 例5设X1 X2 X25是取自总体X N 20 3 的样本 记 为X1 X2 X10的样本均值 为X11 X12 X25样本均值 求 2 利用抽样分布进行有关概率计算 所求概率为 0 67 解由抽样分布的定理 知 题设二者相互独立 于是 即 讲评本题型在前面多次遇到 利用正 态分布的标准化公式就可以处理 扩展求 的概率与此题方法 类似 解由抽样分布定理知 得到 于是 讲评本题的关键是求出其分布 再结合 分位点的定义 需要查表 就可轻松解出 扩展分位点的使用一般有三种情况 1 已知自由度n与a 查出分位点 2 已知自由度n与分位点 查出a 3 已知分位点与a 查出自由度n 随机变量可能服从t分布 扩展见例7扩展部分 分析要求关系式的概率 一定要找出其 分布 解由抽样分布定理 知 因此 所求概率为 本题中不等式左 右两端都是样本方差 而总体方差已知 所以两边相除所得随机变量服从F分布 讲评 扩展 四 作业布置 总习题六 A组2 3 B组2 4 5 参考文献与联系方式 1 郑一 王玉敏 冯宝成 概率论与数理统计 大连理工大学出版社 2015年8月 2 郑一 戚云松 王玉敏 概率论与数理统计学习指导书 大连理工大学出版社 2015年8月 3 郑一 戚云松 陈倩华 陈健 概率论与数理统计教案作业与试卷 大连