第2章第11节导数的应用

2009 2013 年高考真题备选题库 第 2 章 函数 导数及其应用 第 11 节 导数的应用 考点一 应用导数研究函数的单调性 1 2013 新课标全国 5 分 已知函数 f x ex ax b x2 4x 曲线 y f x 在点 0 f 0 处的切线方程为 y 4x 4 1 求 a b 的值 2 讨论 f x 的单调性 并求 f x 的极大值 解 本题主要考查导数的基本知识 利用导数判断函数单调性 求极值 1 f x ex ax a b 2x 4 由已知得 f 0 4 f 0 4 故 b 4 a b 8 从而 a 4 b 4 2 由 1 知 f x 4ex x 1 x2 4x f x 4ex x 2 2x 4 4 x 2 ex 1 2 令 f x 0 得 x ln 2 或 x 2 从而当 x 2 ln 2 时 f x 0 当 x 2 ln 2 时 f x 0 时 f x 0 当 0 x 时 f x 时 f x 0 函数 f x 单调递增 1 b 所以函数 f x 的单调递减区间是 单调递增区间是 0 1 b 1 b 当 a 0 时 令 f x 0 得 2ax2 bx 1 0 由 b2 8a 0 得 x1 b b2 8a 4a x2 b b2 8a 4a 当 0 x x2时 f x x2时 f x 0 函数 f x 单调递增 所以函数 f x 的单调递减区间是 单调递增区间是 0 b b2 8a 4a b b2 8a 4a 综上所述 当 a 0 b 0 时 函数 f x 的单调递减区间是 0 当 a 0 b 0 时 函数 f x 的单调递减区间是 单调递增区间是 0 1 b 1 b 当 a 0 时 函数 f x 的单调递减区间是 单调递增区间是 0 b b2 8a 4a b b2 8a 4a 2 由题意知 函数 f x 在 x 1 处取得最小值 由 1 知是 f x 的唯一极小值点 b b2 8a 4a 故 1 整理得 2a b 1 即 b 1 2a b b2 8a 4a 令 g x 2 4x ln x 则 g x 1 4x x 令 g x 0 得 x 1 4 当 0 x0 g x 单调递增 1 4 当 x 时 g x 0 g x 单调递减 1 4 因此 g x g 1 ln 1 ln 4 0 1 4 1 4 故 g a 0 即 2 4a ln a 2b ln a 0 即 ln a 2b 3 2012 福建 5 分 已知 f x x3 6x2 9x abc a b0 f 0 f 1 0 f 0 f 3 0 其中正确结论的序号是 A B C D 解析 f x x3 6x2 9x abc f x 3x2 12x 9 3 x 1 x 3 令 f x 0 得 x 1 或 x 3 依题意有 函数 f x x3 6x2 9x abc 的图像与 x 轴有三个不同的 交点 故 f 1 f 3 0 即 1 6 9 abc 33 6 32 9 3 abc 0 0 abc 4 f 0 abc0 f 3 abc 0 故 是对的 答案 C 4 2012 辽宁 5 分 函数 y x2 ln x 的单调递减区间为 1 2 A 1 1 B 0 1 C 1 D 0 解析 函数 y x2 ln x 的定义域为 0 y x 令 1 2 1 x x 1 x 1 x y 0 则可得 0 x 1 答案 B 5 2009 江苏 5 分 函数 f x x3 15x2 33x 6 的单调减区间为 解析 f x 3x2 30 x 33 3 x2 10 x 11 3 x 1 x 11 0 解得 1 x0 时 x k f x x 1 0 求 k 的最大值 解 1 f x 的定义域为 f x ex a 若 a 0 则 f x 0 所以 f x 在 上单调递增 若 a 0 则当 x ln a 时 f x 0 所以 f x 在 ln a 上单调递减 在 ln a 上单调递增 2 由于 a 1 所以 x k f x x 1 x k ex 1 x 1 故当 x 0 时 x k f x x 1 0 等价于 k0 x 1 ex 1 令 g x x 则 x 1 ex 1 g x 1 xex 1 ex 1 2 ex ex x 2 ex 1 2 由 1 知 函数 h x ex x 2 在 0 上单调递增 而 h 1 0 所以 h x 在 0 上存在唯一的零点 故 g x 在 0 上存在唯一的零点 设此零点为 则 1 2 当 x 0 时 g x 0 所以 g x 在 0 上的最 小值为 g 又由 g 0 可得 e 2 所以 g 1 2 3 由于 式等价于 k0 解 1 由题意得 f x 12x2 2a 当 a 0 时 f x 0 恒成立 此时 f x 的单调递增区间为 当 a 0 时 f x 12 x x 此时函数 f x 的单调递增区间为 和 a 6 a 6 a 6 单调递减区间为 a 6 a 6 a 6 2 证明 由于 0 x 1 故当 a 2 时 f x 2 a 4x3 2ax 2 4x3 4x 2 当 a 2 时 f x 2 a 4x3 2a 1 x 2 4x3 4 1 x 2 4x3 4x 2 设 g x 2x3 2x 1 0 x 1 则 g x 6x2 2 6 x x 于是 3 3 3 3 x0 0 3 3 3 3 1 3 3 1 g x 0 g x 1减极小值增1 所以 g x min g 1 0 3 3 4 3 9 所以当 0 x 1 时 2x3 2x 1 0 故 f x 2 a 4x3 4x 2 0 考点二 应用导数研究函数的极值和最值 1 2013 新课标全国 5 分 已知函数 f x x3 ax2 bx c 下列结论中错误的是 A x0 R f x0 0 B 函数 y f x 的图象是中心对称图形 C 若 x0是 f x 的极小值点 则 f x 在区间 x0 单调递减 D 若 x0是 f x 的极值点 则 f x0 0 解析 本题考查三次函数的性质 考查数形结合思想 考查考生分析问题和解决问题 的能力 由于三次函数的三次项系数为正值 当 x 时 函数值 当 x 时 函数值也 又三次函数的图象是连续不断的 故一定穿过 x 轴 即一定 x0 R f x0 0 选项 A 中的结论正确 函数 f x 的解析式可以通过配方的方法化为形 如 x m 3 n x m h 的形式 通过平移函数图象 函数的解析式可以化为 y x3 nx 的 形式 这是一个奇函数 其图象关于坐标原点对称 故函数 f x 的图象是中心对称图形 选项 B 中的结论正确 由于三次函数的三次项系数为正值 故函数如果存在极值点 x1 x2 则极小值点 x2 x1 即函数在 到极小值点的区间上是先递增后递减的 所以选 项 C 中的结论错误 根据导数与极值的关系 显然选项 D 中的结论正确 答案 C 2 2013 福建 5 分 设函数 f x 的定义域为 R x0 x0 0 是 f x 的极大值点 以下结 论一定正确的是 A x R f x f x0 B x0是 f x 的极小值点 C x0是 f x 的极小值点 D x0是 f x 的极小值点 解析 本题主要考查函数的极值点 导数等基础知识 意在考查考生的数形结合能力 转化和化归能力 运算求解能力 取函数 f x x3 x 则 x 为 f x 的极大值点 但 3 3 f 3 f 排除 A 取函数 f x x 1 2 则 x 1 是 f x 的极大值点 但 1 不是 3 3 f x 的极小值点 排除 B f x x 1 2 1 不是 f x 的极小值点 排除 C 故 选 D 答案 D 3 已知函数 f x x ln x ax 有两个极值点 则实数 a 的取值范围是 A 0 B 0 1 2 C 0 1 D 0 解析 本题主要考查导数的应用 利用导数研究函数极值的方法 考查考生运算能力 综合分析问题的能力和化归与转化能力 由题知 x 0 f x ln x 1 2ax 由于函数 f x 有两个极值点 则 f x 0 有两个不等的正根 显然 a 0 时不合题意 必有 a0 所以 0 a1 求 f x 在闭区间 0 2 a 上的最小值 解 本题主要考查利用导数研究函数的单调性等性质 及导数应用等基础知识 同时 考查分类讨论等综合解题能力 1 当 a 1 时 f x 6x2 12x 6 所以 f 2 6 又因为 f 2 4 所以切线方程为 y 6x 8 2 记 g a 为 f x 在闭区间 0 2 a 上的最小值 f x 6x2 6 a 1 x 6a 6 x 1 x a 令 f x 0 得到 x1 1 x2 a 当 a 1 时 x0 0 1 1 1 a a a 2a 2a f x 0 0 f x 0 单调 递增 极大值 3a 1 单调 递减 极小值 a2 3 a 单调 递增 4a3 比较 f 0 0 和 f a a2 3 a 的大小可得 g a Error 当 a2 时 f x 0 函数 f x 为增函数 当 0 x 2 时 f x 0 函数 f x 为减函数 所以 x 2 为函数 f x 的极小值点 答案 D 7 2011 福建 5 分 若 a 0 b 0 且函数 x 4x3 ax2 2bx 2 在 x 1 处有极 值 则 ab 的最大值等于 A 2 B 3 C 6 D 9 解析 函数的导数为 x 12x2 2ax 2b 由函数 x 在 x 1 处有极值 可知函 数 x 在 x 1 处的导数值为零 12 2a 2b 0 所以 a b 6 由题意知 a b 都是正实 数 所以 ab 2 2 9 当且仅当 a b 3 时取到等号 a b 2 6 2 答案 D 8 2011 浙江 5 分 设函数 f x ax2 bx c a b c R 若 x 1 为函数 f x ex 的一个极值点 则下列图像不可能为 y f x 的图像是 解析 若 x 1 为函数 f x ex的一个极值点 则易得 a c 因选项 A B 的函数为 f x a x 1 2 则 f x ex f x ex f x ex a x 1 x 3 ex x 1 为函数 f x ex的一 个极值点满足条件 选项 C 中 对称轴 x 0 且开口向下 b 2a a 0 b 0 f 1 2a b 0 也满足条件 选项 D 中 对称轴 x 1 且 b 2a 开口向上 a 0 b 2a f 1 2a b 0 与图矛盾 答案 D 9 2010 山东 5 分 已知某生产厂家的年利润 y 单元 万元 与年产量 x 单位 万件 的 函数关系式为 y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 1 3 A 13 万件 B 11 万件 C 9 万件 D 7 万件 解析 因为 y x2 81 所以当 x 9 时 y 0 当 x 0 9 时 y 0 所以函 数 y x3 81x 234 在 9 上单调递减 在 0 9 上单调递增 所以 x 9 是函数的 1 3 极大值点 又因为函数在 0 上只有一个极大值点 所以函数在 x 9 处取得最大 值 答案 C 10 2012 广东 14 分 设 0 a0 B x R 2x2 3 1 a x 6a 0 D A B 1 求集合 D 用区间表示 2 求函数 f x 2x3 3 1 a x2 6ax 在 D 内的极值点 解 1 方程 2x2 3 1 a x 6a 0 的判别式 9 1 a 2 48a 9 a 3 a 而 1 3 0 a0 当 0 时 得 a3 即 0 a 1 3 1 3 由 2x2 3 1 a x 6a 0 解得 x1 3 1 a 3 a 3 a 1 3 4 x2 有 0 x1 x2 3 1 a 3 a 3 a 1 3 4 此时 B x1 x2 D A B 0 x1 x2 当 0 时 得 a 由 x2 2x 1 0 得 x 1 1 3 此时 B 1 1 D A B 0 1 1 当 0 时 得 a 1 B R D A B 0 1 3 综上所述 当 0 a 时 D 0 1 3 3 1 a 3 a 3 a 1 3 4 3 1 a 3 a 3 a 1 3 4 当 a 时 D 0 1 1 1 3 当 a 1 时 D 0 1 3 2 由题知 f x 6x2 6 1 a x 6a 6 x 1 x a 0 a 1 令 f x 0 得 x a 或 x 1 当 x1 时 f x 0 f x 单调递增 当 a x 1 时 f x 0 f x 单调递减 当 0 a0 f 1 2 3 1 a 6a 3a 1 0 再由 f x 的单调性可得 0 a x1 1 x2 所以函数 f x 在 D 内的极值点为 x a 当 a 时 D 0 1 1 函数 f x 在 D 内的极值点为 x a 1 3 1 3 当 a 1 时 D 0 函数 f x 在 D 内的极值点为 x a 和 x 1 1 3 综上 当 a 1 时 函数 f x 在 D 内的极值点为 x a 和 x 1 当 a 时 函数 f x 在 1 3 1 3 D 内的极值点为 x 当 0 a0 1 ax 1 求 f x 的最小值 2 若曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线方程为 y x 求 a b 的值 3 2 解 1 法一 由题设和均值不等式可知 f x ax b 2 b 1 ax 其中等号成立当且仅当 ax 1 即当 x 时 f x 取最小值为 2 b 1 a 法二 f x 的导数 f x a 1 ax2 a2x2 1 ax2 当 x 时 f x 0 f x 在 上单调递增 1 a 1 a 当 0 x 时 f x 1 3 证明 本题主要考查导数的运算及其几何意义 利用导数研究函数的单调性 考查分 类讨论思想 化归与转化思想 函数与方程思想 考查综合分析问题和解决问题的能力 1 设函数 f1 x x3 a 5 x x 0 f2 x x3 x2 ax x 0 a 3 2 f 1 x 3x2 a 5 由于 a 2 0 从而当 1 x 0 时 f 1 x 3x2 a 5 3 a 5 0 所以函数 f1 x 在区间 1 0 内单调递减 f 2 x 3x2 a 3 x a 3x a x 1 由于 a 2 0 所以当 0 x 1 时 f 2 x 1 时 f 2 x 0 即函数 f2 x 在区间 0 1 内单调递减 在区间 1 内单调递 增 综合 及 f1 0 f2 0 可知函数 f x 在区间 1 1 内单调递减 在区间 1 内单调递增 2 由 1 知 f x 在区间 0 内单调递减 在区间内单调递减 在区间 0 a 3 6 内单调递增 因为曲线 y f x 在点 Pi xi f xi i 1 2 3 处的切线相互平行 从 a 3 6 而 x1 x2 x3互不相等 且 f x1 f x2 f x3 不妨设 x1 0 x2 x3 由 3x a 5 2 1 3x a 3 x2 a 3x a 3 x3 a 2 22 3 可得 3x 3x a 3 x2 x3 0 解得 x2 x3 从而 0 x2 x3 2 22 3 a 3 3 a 3 6 设 g x 3x2 a 3 x a 则 g g x2 g 0 a a 3 6 由 3x a 5 g x2 a 解得 x1 设 2 1 2a 5 3 2a 5 3 a 3 3 t 则 a 因为 a 2 0 所以 t 故 2a 5 3 3t2 5 2 3 3 15 3 x1 x2 x3 t t 1 2 3t2 1 6 1 2 1 3 1 3 即 x1 x2 x3 1 3 2 2013 湖北 13 分 设 a 0 b 0 已知函数 f x ax b x 1 1 当 a b 时 讨论函数 f x 的单调性 2 当 x 0 时 称 f x 为 a b 关于 x 的加权平均数 i 判断 f 1 f f是否成等比数列 并证明 f f b a b a b a b a ii a b 的几何平均数记为 G 称为 a b 的调和平均数 记为 H 若 H f x G 2ab a b 求 x 的取值范围 解 本题主要考查不等式 导数的应用 利用导数研究函数的单调性等基础知识 考 查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力 1 f x 的定义域为 1 1 f x a x 1 ax b x 1 2 a b x 1 2 当 a b 时 f x 0 函数 f x 在 1 1 上单调递增 当 a b 时 f x 0 f 0 f 0 a b 2 b a 2ab a b b a ab 故 f 1 f ab 2 b a a b 2 2ab a b f b a 即 f 1 f 2 b a f b a 所以 f 1 f 2 f 成等比数列 b a b a 因为 即 f 1 f 由 得 f f a b 2ab b a b a b a 由 知 f H f G 故由 H f x G b a b a 得 f f x f b a b a 当 a b 时 f f x f a b a b a 这时 x 的取值范围为 0 当 a b 时 0 1 从而 由 f x 在 0 上单调递增与 式 b a b a b a 得 x 即 x 的取值范围为 b a b a b a b a 当 a1 从而 由 f x 在 0 上单调递减与 式 得 x 即 x b a b a b a b a b a 的取值范围为 b a b a 综上 当 a b 时 x 的取值范围为 0 当 a b 时 x 的取值范围为 b a b a 当 a0 1 3 1 a 2 1 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 f x 在区间 2 0 内恰有两个零点 求 a 的取值范围 3 当 a 1 时 设函数 f x 在区间 t t 3 上的最大值为 M t 最小值为 m t 记 g t M t m t 求函数 g t 在区间 3 1 上的最小值 解 1 f x x2 1 a x a x 1 x a 由 f x 0 得 x1 1 x2 a 0 当 x 变化时 f x f x 的变化情况如下表 x 1 1 1 a a a f x 0 0 f x 极大值 极小值 故函数 f x