第17课函数模型及其应用

高考直通车 2014 届高考数学一轮复习备课手册 第三章 函数 第 1 页 第 17 课 函数模型及其应用 一 教学目标一 教学目标 1 能根据实际问题情境建立合理的函数模型 2 初步运用函数思想 理解和处理现实生活中的简单问题 二 知识梳理二 知识梳理 1 在解决某些应用问题时 通常要用到一些函数模型 它们主要是 一次函数模型 二次函数模型 指 数函数模型 对数函数模型 幂函数模型 分式函数模型 分段函数模型等 我们要熟悉这些函数的图象 与性质 以便利用它们来解决一些非基本函数的问题 2 利用函数模型解决实际问题的方法步骤 四步法 1 读题 读懂和深刻理解 译为数学语言 找出主要关系 2 建模 把主要关系近似化 形式化 抽象成数学问题 3 求解 化归为常规问题 选择合适的数学方法求解 4 评价 对结果进行验证或评估 对错误加以调节 最后将结果应用于现实 作出解释或验证 三 诊断练习三 诊断练习 1 教学处理 在讲解例题前由学生完成这 4 道热身练习题 目的让学生熟悉常见的一些函数模型 另外 对学生生疏的实际背景 如存款问题 适当予以复习和补充 2 诊断练习点评 题 1 某种细胞分裂时 由 l 个分裂成 2 个 2 个分裂成 4 个 一个这样的细胞分裂次后 得到的细x 胞个数与的函数关系式是 yx 题 2 某人若以每股 17 25 元购迸股票一万股 一年后以每股 18 96 元抛售 该年银行月复利率为 0 8 按月计算 为获取最大利润 此人应将钱 填 购买股票 或 存人银行 分析与点评 指数函数模型多为增长率问题 在实际问题中 有细胞分裂 银行利率 人口增长等 增长率问题常可以用指数函数模型表示 可以表示为 其中 N 为基础数 P 为增长率 x 为 1 xyNP 时间 的形式 题 3 某种商品 2009 年提价 25 2010 年要恢复原价 则应降价 分析与点评 该题是对题 2 的一个变形应用 仍属于增长率问题 题 4 某市居民自来水收费标准如下 每户每月用水不超过 4 吨时 每吨为 1 80 元 当用水超过 4 吨时 超过部分每吨 3 00 元 某月甲 乙两户共交水费 y 元 已知甲 乙两户该月用水量分别为 5x 3x 吨 则 y 关于 x 的函数为 分析与点评 可化归为分段函数模型 注意分段函数的表达形式 备选题 已知 A B 两地相距 l50 km 某人开汽车以 60 km h 的速度从 A 地到达 B 地 在 B 地停留 1 h 后再以 50 km h 的速度返回 A 地 把汽车离开 A 地的距离 x 表示为时间 t 的函数表达式是 参考答案 60 02 5 150 2 53 5 15050 3 5 3 56 5 tt xt tt 0 则获利 否则即亏损 2 第 2 题 由题意 平均每吨的处理成本 总成本 总处理量 故为分段函数 分段函数如何求最小值 3 本题的难点是函数模型是一个分段函数 由于月处理量在不同范围内 处理的成本对应的函数解析式 也不同 故此类最值的求解必须先求出每个区间内的最值 然后将这些区间内的最值进行比较确定最 值 例 3 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量 单位 千克 与销售价格 单位 元yx 千克 满足关系式 其中为常数 已知销售价格为 5 元千克时 2 10 6 3 a yx x 36 xa 每日可销售该商品 11 千克 1 求的值 a 2 若该商品的成本为 3 元千克 试确定销售价格的值 从而使商场每日销售该商品所获得的利x 润最大 引导分析与精讲建议 问题 1 如何求 读懂相关信息 a 问题 2 利润怎样表示 高次函数求最值一般采取的方法是什么 备选题 已知某物体的温度 单位 摄氏度 随时间 t 单位 分钟 的变化规律是 m 2t 21 t t 0 高考直通车 2014 届高考数学一轮复习备课手册 第三章 函数 第 3 页 并且 m 0 1 如果 m 2 求经过多少时间 物体的温度为 5 摄氏度 2 若物体的温度总不低于 2 摄氏度 求 m 的取值范围 解析 1 若 m 2 则 2 2t 21 t 2 2t 1 2t 当 5 时 2t 令 2t x 1 1 2t 5 2 则 x 即 2x2 5x 2 0 解得 x 2 或 x 舍去 此时 t 1 1 x 5 2 1 2 所以经过 1 分钟 物体的温度为 5 摄氏度 2 物体的温度总不低于 2 摄氏度 即 2 恒成立 亦 m 2t 2 恒成立 2 2t 亦即 m 2恒成立 令 x 则 0 x 1 m 2 x x2 1 2t 1 22t 1 2t 由于 x x2 m 因此 当物体的温度总不低于 2 摄氏度时 m 的取值范围是 1 4 1 2 1 2 五 解题反思 1 现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的 如出租车计费 个人所得税等 分段函数是刻画实 际问题的重要模型 2 分段函数主要是每一段自变量所遵循的规律不同 可以先将其当作几个问题 将各段的变化规律分 别找