高一上学期函数的单调性-奇偶性及周期性知识点和题型

知人善教 培养品质 引发成长动力 一 函数的单调性 一 函数的单调性 知识梳理知识梳理 1 函数单调性定义 对于给定区间 D 上的函数 f x 若对于任意 x x D 12 当当 x x 时 都有时 都有 f x f x 则称 f x 是区间 D 上的增函数上的增函数 D 叫 f x 单调递增区间 1212 当当 x f x 则称 f x 是区间 D 上的减函数上的减函数 D 叫 f x 单调递减区间 1212 2 函数单调性的判断方法 1 从直观上看 函数图象从左向右看 在某个区间上 图象是上升的 则此函数是增函数增函数 若图象是下降的 则此函数是减函数减函数 2 一般地 设函数的定义域为 如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值 xfy IIA 且 则 1 x 2 x 21 xx 0 21 xx 1 在区间上是增函数 则0 21 xfxf 12 12 12 0 f xf x xx xx xf即A 2 在区间上是减函数 则 21 xfxf 12 12 12 0 f xf x xx xx xf即A 如果函数在某个区间上是增函数或减函数 那么就说函数在这一区间具有 严格的 的单调性 xfy 这一区间叫做的单调区间 xfy 单调区间是函数定义域的子区间 因此函数单调性是函数的局部性质 应以定义域为前提 必须指明在某个区 间上函数是增函数或减函数 3 复合函数单调性判断方法 设 yf uug xxa b um n 若内外两函数的单调性相同 则在 x 的区间 D 内单调递增 yfg x 若内外两函数的单调性相反时 则在 x 的区间 D 内单调递减 yfg x 同增异减 3 常见结论 若 f x 为减函数 则 f x 为增函数 若 f x 0 或 0 且为增函数 则函数在其定义域内为减函数 1 xf 知人善教 培养品质 引发成长动力 题型一 题型一 单调性的判断单调性的判断 例 写出下列函数的单调区间例 写出下列函数的单调区间 1 b kxy 2 x k y 3 cbxaxy 2 如图是定义在区间 5 5 上的函数 y f x 根据图象说出函数的单调区间 以及在每一单调区间上 它是增 函数还是减函数 题型二 题型二 用定义法证明单调性用定义法证明单调性 例 定义法证明函数例 定义法证明函数 y 2x 3 在在的单调性的单调性 知人善教 培养品质 引发成长动力 例 判断函数例 判断函数 f x 在 在 0 1 上的单调性 上的单调性 x x 1 变式训练变式训练 1 证明函数证明函数在在上是增函数 上是增函数 1 2 x x xf 1 方法技巧方法技巧 根据函数的定义法来进行判别 记好步骤 题型三 题型三 单调性的运用单调性的运用 例 已知例 已知在在 R 上是增函数上是增函数 则则 k 的取值范围的取值范围 2 34 21f xkkxk 知人善教 培养品质 引发成长动力 例 函数例 函数在在上是减函数上是减函数 则求则求 a 的取值范围的取值范围 2 1 2 2 xaxxf 4 变式训练变式训练 2 已知函数已知函数 2 22 5 5f xxaxx 上是单调函数 上是单调函数 a的取值范围是的取值范围是 变式训练变式训练 3 函数函数 f x 是 是 R 上的减函数上的减函数 求求 f a2 a 1 与 与 f 的大小关系 的大小关系 3 4 题型四 题型四 抽象函数的单调性及其应用抽象函数的单调性及其应用 例 已知例 已知 y f x 是定义在 是定义在 2 2 上的增函数 若 上的增函数 若 f m 1 f 1 2m 则 则 m 的取值范围是的取值范围是 知人善教 培养品质 引发成长动力 例 设例 设 f x 定义在 定义在 R 上 对于任意上 对于任意 a b R 有 有 f ab f a f b 求证 求证 1 f 1 0 2 f f x 1 x 3 若 若 x 1 时 时 f x 0 则 则 f x 在 在 1 上是减函数 上是减函数 题型五题型五 复合函数的单调性 复合函数的单调性 例 求函数例 求函数的单调递减区间 的单调递减区间 32 2 xxxf 知人善教 培养品质 引发成长动力 求求 f x 的单调区间的单调区间54 2 xx 课后作业 课后作业 一 选择题一 选择题 1 函数 f x x 和 g x x 2 x 的递增区间依次是 A 0 1 B 0 1 C 0 1 D 0 1 2 当 时 函数 的值有正也有负 则实数 a 的取值范围是 1 x12 aaxy A B C D 3 1 a1 a 3 1 1 a 3 1 1 a 3 若函数在区间 a b 上为增函数 在区间 b c 上也是增函数 则函数 在区间 a c 上 xf xf A 必是增函数 B 必是减函数 C 是增函数或是减函数 D 无法确定增减性 二 填空题二 填空题 4 函数 当 时 是增函数 当 时是减函数 则 f 1 32 2 mxxxf 2 x 2 5 已知 在定义域内是减函数 且 在其定义域内判断下列函数的单调性 xf0 xf 为常数 是 为常数 是 axfy a xfay a 是 是 1 xf y 2 xfy 6 函数 f x ax2 4 a 1 x 3 在 2 上递减 则 a 的取值范围是 7 若函数 f x Error Error 则 f x 的递减区间是 三 解答题三 解答题 8 讨论函数在 2 2 内的单调性 32 2 axxf x 知人善教 培养品质 引发成长动力 9 设 f x 是定义在 0 上的增函数 f 2 1 且 f xy f x f y 求满足不等式 f x f x 3 2 的 x 的取值范 围 二 函数的奇偶性 二 函数的奇偶性 知识梳理知识梳理 1 函数奇偶性定义 1 一般地 如果对于函数的定义域内任意一个 都有 那么就称函数为偶函数偶函数 xfx xfxf xf 偶函数图象关于偶函数图象关于轴对称轴对称 y 2 一般地 如果对于函数的定义域内任意一个 都有 那么就称函数为奇函数奇函数 xfx xfxf xf 奇函数图象关于原点对称奇函数图象关于原点对称 如果函数 f x 不具有上述性质 则 f x 既不是奇函数也不是偶函数 如果函数同时具有上述两条性质 则 f x 既是奇函数 又是偶函数 2 函数奇偶性的判定方法 定义法 图像法 1 利用定义判断函数奇偶性的格式步骤 首先确定函数的定义域是否关于原点对称 首先确定函数的定义域是否关于原点对称 确定 f x 与 f x 的关系 作出相应结论 若 f x f x 或 f x f x 0 则 f x 是偶函数 若 f x f x 或 f x f x 0 或 f x f x 则 f x 是奇函数 2 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性 函数的奇偶性是函数的整体性质 由函数的奇偶性定义可知 函数具有奇偶性的一个必要条件是 定义域关于原点对称 3 利用图像判断函数奇偶性的方法 图像关于原点对称的函数为奇函数 图像关于图像关于原点对称的函数为奇函数 图像关于 y 轴对称的函数为轴对称的函数为偶偶函数 函数 3 函数奇偶性的性质 奇函数奇函数在对称的单调区间内有相同相同的单调性 偶函数偶函数在对称的单调区间内有相反相反的单调性 知人善教 培养品质 引发成长动力 4 1 奇函数 偶函数的定义域关于原点对称 若是定义域中的一个数值 则也必然在定义域中 因此 xx 函数是奇函数或是偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称 换言之 所给函数的定义域 yf x 若不关于原点对称 则这个函数必不具奇偶性 2 若奇函数在处有定义 则 f x0 x 0 0f 3 为偶函数 为奇函数 1 F xf xfx 2 F xf xfx 4 函数的奇偶性是相对于整个定义域来说的 而单调性是相对于定义域内某个区间而言的 是局部性质 题型一 题型一 有关函数奇偶性的判断或证明的问题有关函数奇偶性的判断或证明的问题 例 判断下列函数的奇偶性 例 判断下列函数的奇偶性 x x xxf 1 1 1 2 9 xxf 2 2 0 0 xxx f x xxx 22 11 xxxf 2 1 2 2 x f x x 方法技巧方法技巧 判断函数的奇偶性 第一步是要先判断函数的定判断函数的奇偶性 第一步是要先判断函数的定义义域是否关于原点域是否关于原点对对称 如果不称 如果不对对称 就是非奇非偶称 就是非奇非偶 函数 如果函数 如果对对称 接下去再去找称 接下去再去找 f x 与与 f x 之之间间的关系 牢的关系 牢记记好 好 在定义域内在定义域内 f x f x 则为则为偶函数 偶函数 f x f x 则为奇函数 则为奇函数 变式训练变式训练 4 4 函数函数是是 1 0 f xxx x A A 奇函数 奇函数B B 偶函数 偶函数 C C 既是奇函数又是偶函数 既是奇函数又是偶函数 D D 既不是奇函数又不是偶函数 既不是奇函数又不是偶函数 知人善教 培养品质 引发成长动力 变式训练变式训练 5 5 若函数若函数是偶函数 则有是偶函数 则有 2 yxbxc A A B B C C D D bR cR 0bR c 0 0bc 0 bcR 变式训练变式训练 6 6 设函数设函数 且 且则则等于 等于 3 21f xaxbx 1 3 f 1 f A 3A 3 B 3B 3 C 5C 5 D D 5 5 题型二 题型二 应用函数奇偶性求值 求解析式应用函数奇偶性求值 求解析式 例 例 1 1 已知偶函数 已知偶函数的定义域是的定义域是 当 当时时 求 求的解析式的解析式 f x 0 0 0 x1 3 xxf f x 2 2 已知奇函数 已知奇函数的定义域是的定义域是 R R 当 当时时 求 求的解析式的解析式 g x0 x xxxg2 2 g x 变式训练变式训练 7 已知已知是定义在是定义在 R 上的奇函数 且当上的奇函数 且当时 时 求 求的解的解 f x0 x 32 2 xxxf f x 析式 析式 知人善教 培养品质 引发成长动力 题型三 题型三 抽象函数的奇偶性的判断抽象函数的奇偶性的判断 例例 设函数设函数 f x g x 的定义域为的定义域为 R 且 且 f x 是奇函数 是奇函数 g x 是偶函数 则下列结论中正确的是是偶函数 则下列结论中正确的是 A f x g x 是偶函数是偶函数 B f x g x 是奇函数是奇函数 C f x g x 是奇函数是奇函数 D f x g x 是奇函数是奇函数 变式训练变式训练 8 8 设设是定义在是定义在上的一个函数 则函数上的一个函数 则函数 在 在上一定是上一定是 xfR xfxfxF R A A 奇函数 奇函数 B B 偶函数 偶函数 C C 既是奇函数又是偶函数 既是奇函数又是偶函数 D D 非奇非偶函数 非奇非偶函数 题型四 题型四 有关函数奇偶性的综合问题有关函数奇偶性的综合问题 例 例 设奇函数设奇函数在在上为增函数 且上为增函数 且 则不等式 则不等式的解集为的解集为 f x 0 1 0f 0 f xfx x 知人善教 培养品质 引发成长动力 A B C D 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 例 已知函数例 已知函数是定义在是定义在上的偶函数 则上的偶函数 则 2 f xaxbxc aa 1 2 a b 例 例 设函数设函数对任意对任意 都有 都有 求证 求证是奇函数 是奇函数 f x x yR f xyf xf y f x 变式训练变式训练 9 设设f x ax5 bx3 cx 5 a b c 是常数是常数 且且 则则 f 7 7 7f 若 y m 1 x2 2mx 3 是偶函数 则 m 知人善教 培养品质 引发成长动力 已知函数 f x 是奇函数 求实数 m 的值 2 2 2 0 0 0 0 xx x x xmx x 三三 函数的周期性函数的周期性 1 周期函数 对于函数 y f x 如果存在一个非零常数 T 使得当 x 取定义域内的任何值时 都有 f x T f x 那么就 称函数 y f x 为周期函数 称 T 为这个函数的周期 2 最小正周期 如果在周期函数 f x 的所有周期中存在一个最小的正数 那么这个最小正数就叫做 f x 的最小正周期 例 设是上的奇函数 当时 求的值 f x 2 f xf x 0 1 x f xx 7 5 f 知人善教 培养品质 引发成长动力 例 已知定义在 R 上的奇函数 f x 满足 f x 4 f x 且在区间 0 2 上是增函数 则 A f 25 f 11 f 80 B f 80 f 11 f 25 C f 11 f 80 f 25 D f 25 f 80 f 11 变式训练 设 f x 是 上的奇函数 f x 2 f x 当 0 x 1 时 f x x 1 求 f 的值 2 当 4 x 4 时 求 f x 的图象与 x 轴所围成图形的面积 3 写出 内函数 f x 的单调区间 知人善教 培养品质 引发成长动力 课后作业课后作业 1 函数 f x 4x2 mx 5 在区间 2 上是增函数 在区间 2 上是减函数 则 f 1 等于 A 7 B 1C 17D 25 2 已知函数 f x 在区间 a b 上单调 且 f a f b 0 则方程 f x 0 在区间 a b 内 A 至少有一实根 B 至多有一实根 C 没有实根 D 必有唯一的实根 3 已知函数 f x 8 2x x2 如果 g x f 2 x2 那么函数 g x A 在区间 1 0 上是减函数 B 在区间 0 1 上是减函数 C 在区间 2 0 上是增函数 D 在区间 0 2 上是增函数 4 若函数是奇函数 则下列坐标表示的点一定在函数图象上的是 yf x xR yf x A B C D af a af a afa afa 5 下列函数中为