第一部分、数与代数

第一部分 数与代数 一 数 实数 有理数和无理数统称实数 1 有理数 整数和分数统称有理数 有理数总可以表示成为以整数为分子 自然数 除 0 外 为分母的分数形式 如果把有理数 表示成小数形式 那么一定是有限小数 整数可以看作是小数点后面是 0 的小数 或者无限循 环小数 反过来 任何有限小数和循环小数都是有理数 2 无理数 无限不循环小数叫做无理数 3 实数的分类 按定义来分 按正 负分 正整数 正整数 整数 零 正有理数 有理数 负整数 正实数 正分数 实数 分数 正分数 实数 正无理数 负分数 零 无理数 正无理数 负有理数 负整数 负无理数 负实数 负分数 负无理数 4 实数的有关概念 数轴 规定了正方向 原点和单位长度的直线叫做数轴 任何一个实数都可以用数轴上的一个点来表示 反过来 数轴上的每一个点都表示一个实数 实数和数轴 上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形相结合的重要基础 相反数 只有符号不同的两个数叫做互为相反数 特别规定 零的相反数是零 数轴上表示互为相反数的两个点分别在原点的两旁 并且离开原点的距离相等 因此我们说这两个点关 于原点对称 数轴的几何特征 互为相反数的两个数的运算特征是它们的和是零 即若 a 和 b 互为相反数 则 a b 0 反之 如果 a b 0 那 么 a 和 b 互为相反数 数轴的代数特征 绝对值 数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值 即从数轴上来看 一个实数的绝对值就 是数轴上表示这个数的点到原点的距离 一个正实数的绝对值是它本身 一个负实数的绝对值是它的相反数 零的绝对值是零 即 a a 0 0 a 0 a a a 0 从绝对值定义可知 一个实数的绝对值应该是一个非负数 倒数 乘积是 1 的两个数互为倒数 零没有倒数 互为倒数的两个数的运算特征是积为 1 即若 a 和 b 互为倒数 那么 ab 1 反过来 如果 ab 1 那么 a 和 b 互为倒数 5 实数的大小比较 在数轴上 表示两个数的点右边的点所表示的数较大 正数都大与零 零大与负数 正数大于一切负数 两个正数比较 绝对值较大的正数较大 两个负数比较 绝 对值较大的反而小 6 实数的运算 有理数的运算 在有理数范围内 加 减 乘 除 零不能作除数 乘方运算全能实施 实数的运算 有理数的一切运算性质在实数内都实用 正数的开方运算总能在实数内实施 这是实数集 合与有理数集合相区别的一个特征 但是负实数的开偶次方在实数集合内不能实施 因而数的概念还有待 进一步扩展 运算法则 略 运算定律 加法交换律 a b b a 加法结合律 a b c a b c 乘法交换律 ab ba 乘法结合律 ab c a bc 乘法对加法的分配律 a b c ab ac 运算顺序 在没有括号的混合运算中 先乘方 开方 后乘 除 最后加 减 在没有括号的混合运算中 若是同级运算 应该从左到右依次进行 算式中如果有括号 应先进行括号内的运算 若是带有双重括号 应先小到大依次进行 根据运算律 可以改变上述运算顺序 6 科学记数法 把一个大于 10 或小于 1 的数表示成 a 10 n 的形式 其中 a 是整数数位只有一位的数 n 是正整数 叫做科学记数法 近似数和有效数字 从一个数的左边第一个非 数字起 到末位数字止 所有的数字都是这个数 的有效数字 近似数与准确数的接近程度 可以用精确度表示 精确度的两种形式 一是精确到哪一位 一是 保留几个有效数字 它们的实际意义是不一样的 一般来说 精确到哪一位 可以表示出误差绝 对值的大小 例如 在测量长度时 精确到 米 说明结果与实际数相差不大于 米 而有效数字则往往可以比较几个近似数 哪个更精确一些 二 式 代数式的有关概念及分类 1 代数式 用运算 加 减 乘 除 乘方 开方 符号把数或表示数的字母连结而成的式子 叫做代数式 2 代数式的值 用数代替代数式里的字母 计算后所得的结果 叫做代数式的值 3 有理式 只含有加 减 乘 除 乘方运算 包含数字开方运算 的代数式叫做有理式 4 无理式 含有关于字母开方运算的代数式 叫做无理式 5 整式 没有除法运算或者虽然有除法运算而除式里不含字母的有理式叫做整式 6 分式 除式中含有字母的有理式叫做分式 7 代数式的分类 单项式 整式 代数式 有理式 多项式 分式 无理式 整式 单项式和多项式统称整式 整式的有关概念 1 单项式 由数或字母的积的形式的代数式叫做单项式 单独一个数或字母也是单项式 其 中数字因数叫做单项式的系数 所有字母的指数和叫做单项式的次数 2 多项式 几个单项式的和叫做多项式 多项式中每个单项式叫做多项式的项 其中不含字母 的项叫做常数项 组成多项式的单项式的个数叫做多项式的项数 多项式中次数最高项的 次数叫做多项式的次数 整式的运算 整式的加减 1 同类项 所含字母相同 并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项 2 合并同类项 把多项式中的同类项合并成一项 叫做合并同类项 合并同类项后 所得项的系数是 合并前各同类项的系数的和 且字母部分不变 3 去括号法则 如果括号外的因数是正数 去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同 如果 括号外的因数是负数 去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反 4 整式的加减 去括号 合并同类项 整式的乘除 1 幂的运算法则 m n 是正整数 am an am n am an am n a 0 m n am n amn n b 0 b a n n b a ab n anbn a0 1 a 0 a p a 0 p 是正整数 p a 1 2 整式的乘除 单项式乘以单项式 用它们系数的积作为积的系数 用相同字母指数的和作为积里这个字母的指 数 只在一个单项式里含有的字母 连同它的指数作为积里的一个因式 单项式乘以多项式 用单项式去乘多项式的每一项 再把所得的积相加 多项式乘以多项式 先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项 再把所得的积相加 单项式除以单项式 把系数 同底数幂分别相除 作为商的因式 被除式单有的字母 连同它的 指数作为商的一个因式 多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项除以这个单项式 再把所得的商相加 3 乘法公式 平方差公式 a b a b a2 b2 完全平方公式 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 十字相乘公式 x a x b x2 a b x ab 因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做多项式的因式分解 1 在进行因式分解时应注意 1 在指定 有理数 实数 的范围内进行因式分解 一定要分解到每一个因式都 不能再分解为止 若题目没有指定数的范围 一般是指在有理数范围内分解 2 因式分解后 如果有相同因式 应写成幂的形式 并且要把各个因式化简 因式分解的方法 1 提取公因式法 ma mb mc m a b c 2 应用公式法 平方差公式 a2 b2 a b a b 完全平方公式 a2 2ab b2 a b 2 a2 2ab b2 a b 2 3 分组分解法 分组后 利用提取公因式法或运用公式法进行因式分解 4 十字相乘法 x2 a b x ab x a x b ax2 bx c a1x c1 a2x c2 其中 a1a2 a c1c2 c a1c2 a2c1 b 5 求根法 如果 x1 x2是 ax2 bx c 0 的两根 那么二次三项式ax2 bx c a x x1 x x2 3 因式分解的步骤 1 多项式的各项有公因式时 应先提取公因式 2 考虑所给多项式是否能因式分解 3 对于二次三项式因式分解 应先考虑十字相乘法分解 不行时再用求根法 分解 4 对于多于三项的多项式的因式分解 一般考虑运用分组分解法 分式 分母中含有字母的有理式叫做分式 分式的基本性质 分式的分子和分母都乘以 或除以 同一个不等于零的代数式 分式的值不变 分式的符号法则 分子 分母和分式本身的符号 改变其中任何两个 分式的值不变 分式的运算 1 分式的加减 同分母分式相加减 分母不变 分子相加 异分母分式相加减 先通分 化为同分母分式 再相加 2 分式的乘法 分子相乘的积作为积的分子 分母相乘的积作为积的分母 3 分式的除法 除以一个式子 等于乘以这个式子的倒数 4 分式的乘方 分子 分母分别乘方 再求商 二次根式 形如的式子叫做二次根式 二次根式的性质 1 0 a 0 a 2 2 a a 3 a 2 a 最简二次根式 满足以下两条的根式称为最简二次根式 被开方数的每一个因式的指数都小于根指数 被开方数不含分母 同类二次根式 化为最简二次根式后 被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式 二次根式的运算 1 二次根式的加减 2 二次根式的乘除 三 方程和方程组 等式及其性质 1 等式 用等号表示相等关系的式子叫做等式 2 等式的性质 等式两边都加上 或减去 同一个数或同一个整式 所得的结果仍是等式 等式两边都乘以 或除以 同一个不等于零的数 所得的结果仍是等式 方程 方程的有关概念 1 方程 含有未知数的等式叫做方程 2 方程的解 能够使方程左右两边的值相等的未知数的值 叫做方程的解 只含有一个未知数 的方程的解也叫做方程的根 3 解方程 求方程解的过程叫做解方程 方程及其解法 1 一元一次方程 只含有一个未知数 并且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程 一般式 ax b 0 a 0 标准式 ax 0 a 0 解法 去分母 去括号 移项 合并同类项化为标准式 把系数化成 1 得出方程的解 a b x 2 一元二次方程 只含有一个未知数 并且未知数的次数是二次的整式方程叫做一元二次方 程 一般式 ax2 bx c 0 a 0 解法 直接开平方法 将方程变形为 x2 m 的形式 当 m 0 时 方程的解为 x 当m m 0 时 方程没有实数解 注意 此法适用于缺一次项的一元二次方程 配方法 通过配方 将 ax2 bx c 0 a 0 变为 x 2 的形式 再利用直接开 a b 2a bac 4 4 2 平方法求得原方程的解 公式法 当 b2 4ab 0 时 方程 ax2 bx c 0 a 0 的实数解为 x a acbb 2 4 2 注意 此法是解一元二次方程的一般方法 因式分解法 把方程变形为一边是零 而另一边是两个一次因式积的形式 使 每一个因式等于零 就得到两个一元一次方程 分别解这两个方程 就得到原方程的 解 注意 这个方法对于解某些特殊的一元二次方程是非常简便的 3 分式方程 分母中含有未知数的有理方程叫做分式方程 解法 将分式方程的两边同乘以各分式的最简公分母 使它变形为整式方程 由于整式方程的 解有可能是原来分式方程的增根 因此解分式方程必须验根 注意 增根是分式方程化成的整式方程的根 但使分式方程的分母等于零 方程组 方程组的有关概念 1 方程组的定义 由几个方程组成的一组方程 叫做方程组 2 方程组的解 方程组里各个方程的公共解叫做方程组的解 3 解方程组 求方程组解的过程叫做解方程组 二元一次方程组及其解法 1 二元一次方程 含有两个未知数 并且含有的未知数项的次数都是一 这样的方程叫做 二元一次方程 2 二元一次方程组 把具有相同未知数的两个二元一次方程合在一起 组成的方程组叫做二 元一次方程组 3 二元一次方程组的解法 代入消元法 加减消元法 三元一次方程组及其解法 1 三元一次方程 含有三个未知数 并且含有未知数的项的次数都是一 这样的方程叫做三元 一次方程 2 三元一次方程组 含有三个相同的未知数 每个方程中含未知数的项的次数都是一 并且一 共有三个方程 这样的方程组叫做三元一次方程组 3 三元一次方程组的解法 代入消元法 加减消元法 即通过代入消元法或加减消元法消去 同一个未知数得到二元一次方程组 解这个二元一次方程组求出两个未知数的值 然后再 求第三个未知数的值 说明 解一次方程组的基本思路是通过 消元 把多元方程转化为一元方程 列方程或方程组解决实际问题 列方程或方程组解决实际问题的一般步骤 1 审题 透彻理解题意 分清已知量 未知量及它们之间的一些等量关系 2 设未知数 选择适当的未知数 一般分直接设和间接设两种 3 列相关代数式 依题意 借助文字叙述 列表或图形表示出来 用含有所设未知数的代数式表 示其他的未知数 4 列方程或方程组 利用所列代数式时没用过的等量关系布列方程或方程组 注意 列出的方程应满足 方程两边表示同类量 方程两边的同类量单位一样 方程两边的数值 相等 5 解 解方程或方程组 6 验 检验是否是方程或方程组的解 其次是检验是否符合题意 7 答 按要求回答题目的问题 四 不等式和不等式组 不等式 不等式的有关概念 1 不等式 表示不等关系的式子叫做不等式 2 不等式的解和解集 能够使不等式成立的未知数的值 叫做不等式的解 不等式的所有解 的集合叫做不等式的解集 3 解不等式 求不等式解集的过程叫做解不等式 不等式的性质 1 不等式两边加 或减 同一个数 或式子 不等号的方向不变 2 不等式两边乘 或除以 同一个正数 不等号的方向不变 3 不等式两边乘 或除以 同一个负数 不等号的方向改变 注意 不等式的基本性质是解不等式的主要理论依据 一元一次不等式 含有一个未知数 并且含有未知数的项的次数是一的不等式叫做一元一次不 等式 解法 与一元一次方程的解法类似 但一定要注意 当两边都乘以 或除以 同一个负数时不等号的 方向必须改变 不等式组 1 一元一次不等式组 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组叫做一元 一次不等式组 2 一元一次不等式组的解集 所有一元一次不等式的解集的公共部分叫做一元一次不等式 组的解集 3 解不等式组 求不等式组的解集的过程叫做解不等式组 4 解法 先分别求出这个一元一次不等式组的每一个不等式的解集 再求这些解集的公共部 分 列不等式 组 解决实际问题 列不等式 组 解决实际问题的一般步骤 1 审题 分清已知量 未知量及它们之间的关系 找出其中的不等关系 2 设 设未知数 3 列相关代数式 依题意 借助文字叙述 列表或图形表示出来 用含有所设未知数的 代数式表示其他的未知数 4 列 列出不等式 组 表示不等关系 5 解 解不等式 组 获得解集 6 答 对解集进行检验 舍去不合题意的答案 确定符合题意的答案 写出准确的答句 五 平面直角坐标系和函数 平面直角坐标系 平面内两条有公共原点并且互相垂直的数轴 构成平面直角坐标系 在平面内建立 了坐标系后 对于平面内任意一点 都有一对有序实数对和它对应 反过来 对于一对有序实数对 在 坐标平面内都有一个确定的点和它对应 点的坐标的确定 1 通过点的坐标的定义来确定 2 通过图像交点的坐标来确定 特殊位置点的坐标特点 1 各象限点的坐标符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 2 坐标轴上点的坐标 x 轴上的点 纵坐标为零 y 轴上的点 横坐标为零 原点的坐标为 0 0 3 各象限角平分线上点的坐标 第一 三象限角平分线上的点的横 纵坐标相等 第二 四象限 角平分线上的点的横 纵坐标互为相反数 4 平行于坐标轴的直线上的点的坐标 平行于 x 轴的直线上的点的纵坐标相等 平行于 y 轴的直 线上的点的横坐标相等 5 关于坐标轴 原点对称的点的坐标 关于 x 轴对称的两点的横坐标相同 纵坐标互为相反数 关于 y 轴对称的两点纵坐标相同 横坐标互为相反数 关于原点对称的两点的横 纵坐标都互为 相反数 两点间的距离 1 坐标轴上两点间的距离 设坐标轴上的任意两点 A B 的不同坐标分别为 X1 X2 那么 A B 两点 间的距离公式为 AB X1 X2 2 平面内任意两点之间的距离 设平面内任意两点 A B 的坐标分别为 x1 y1 x2 y 2 则 AB 之间的距离为 AB 2 21 2 21 yyxx 说明 由平面直角坐标系的点的坐标特点 在平面直角坐标系中求有关图形的面积时 经常寻找坐 标轴上的边 或平行于坐标轴的边或作平行于坐标轴的辅助线得到边 为底 根据点的坐标找到高 从而得到面积 用坐标表示平移 在平面直角坐标系内 如果把一个图形各个点的横坐标都加 或减去 一个正数 a 相应的新图形就是 把原图形向右 或向左 平移 a 个单位长度 如果把它各个点的纵坐标都加 或减去 一个正数 a 相应 的新图形是把原图形向上 或向下 平移 a 个单位长度 反之一样 函数 函数的有关概念 1 常量和变量 在某一过程中可以取不同数值的量叫做变量 在过程中保持同一数值的量或数 叫做常量或常数 2 函数定义 设在某变化过程中有两个变量 x y 如果对于 x 在某一范围内的每一个确定的值 y 都有唯一确定的值与它对应 那么就说 y 是 x 的函数 x 叫做自变量 3 函数中自变量的取值范围 当函数关系是由代数式给定时 自变量的取值范围应保证代数式有意义 如 分式的分母不能为 零 二次根式的被开方数不小于零 零 负整数指数的底数不等于零 对于一个有实际意义的函数 自变量的取值范围应保证问题有实际意义 4 函数值 对于自变量在取值范围内的每一个确定的值 如 x a 函数有唯一确定的对应值 这 个对应值叫做当 x a 时的函数值 5 函数的图象 对于一个函数 如果把自变量和函数的每一对对应值分别作为点的横坐标和纵坐 标 在坐标平面内描出相应的点 这些点所组成的图形就是这个函数的图象 说明 要重视对函数图象定义的理解 1 自变量 x 在其允许的范围内取尽所有的值 并求出相应的 y 值 把自变量 x 与函数 y 的每一