第三章：数系的扩充与复数的引入(含答案)

自学提纲自学提纲 数系的扩充与复数的引入数系的扩充与复数的引入 班级班级 姓名姓名 一 阅读理解 阅读教一 阅读理解 阅读教 P101 P115 解答下列问题 解答下列问题 1 虚数单位 的特征是怎样的 i 答 虚数单位 2 1 i 因此 对于虚数单位 i 有 i4n 1 i4n 1 i i4n 2 1 i4n 3 i nN 2 复数的概念是怎样的 答 形如 a bi a b R 的数叫做复数 表示 其中叫做复数 zabi a bR a 的实部 z 3 复数集 实数集 虚数集 纯虚数集之间的关系是怎样的 答 复数集实数集虚数集纯虚数 4 两个复数相等的充要条件是怎样的 答 abicdi a b c dRac bd 5 复数的几何意义是怎样的 任何一个复数 a bi a b R 都可以由一个有序实数对切 a b 唯一确定 我 们还知道 有序实数对切 a b 与平面直角坐标系中的点是一一对应的 因此 我们可 以建立复数集与平面直角坐标系中的点集之间的 一对应 6 复数代数形式的加减运算法则及其几何意义分别是怎样的 答 若 z1 a bi z2 c di a b c dR 则 12 zzacbd i 几何意义略 7 复数代数形式的乘除运算法则是怎样的 答 若 z1 a bi z2 c di a b c dR 则 1 2 2222 z zacbdadbc abiabicdiacbdbcad cdicdcd 1 2 i z i z 8 复数代数形式的四则运算满足哪些运算律 二 问题探究 二 问题探究 1 若是共轭复数 那么在复平面内 它们所对应的点有怎样的位置关系 12 z z 12 zz 是一个怎样的数 答 它们所对应的点 x 轴对称 2222 1111 z zzzab 2 代数基本定理及其推论是怎样的 答 复系数的一元 n 次方程在复数系至少有一个根 三 自学效果检测三 自学效果检测 一 选择题 本大题共 6 小题 每小题 6 分 共 36 分 每小题只有一个正确选项 1 是复数为纯虚数的0a abi a bR A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 2 设 则在复平面内对应的点位于 12 34 23zi zi 12 zz A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 设是原点 向量对应的复数分别为 那么向量O OA OB 23 32ii 对应的复数是BA A B C D 55i 55i 55i 55i 4 等于 2 1 ii A B C D 22i 22i 2 2 5 复数的值是 2 1 1 i A B C D 2i2i 22 6 如果复数的实部和虚部互为相反数 那么实数的值为 2 12 bi i b A B C D 22 2 3 2 3 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题 6 分 共 24 分 7 复数的实部为 虚部为 2 1 i 8 的值为 158 1 2 ii 9 若 则的值为 12zi 2 2zz 10 若复数满足 则的值为 z 1 1 z i z 1z 三 解答题 本大题共 2 小题 每小题 20 分 共 40 分 解答应写出文字说明 证明过程及 演算步骤 11 已知复数 当实数取什么值时 复数是 2 6 2 2 1 1 m zi mi i mz 零 虚数 纯虚数 复平面内第二 四象限角平分线上的点对应的复数 12 设是虚数 是实数 且 1 z 21 1 1 zz z 2 11z 求的值以及的实部的取值范围 若 求证为纯虚数 1 z 1 z 1 1 1 1 z z 四 巩固练习四 巩固练习 习题习题 A A 1 1 复数z 在复平面上对应的点位于 A 1 i i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 解析 本题考查复数的运算及几何意义 所以点 位于第一象限 1 i i i ii 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 对任意复数 为虚数单位 则下列结论正确的是 i Rzxyx y i A B 2zzy 222 zxy C D 2zzx zxy 解析 可对选项逐个检查 A 项 故 A 错 B 项 yzz2 xyiyxz2 222 故 B 错 C 项 故 C 错 D 项正确 本题主要考察了复数的四则运算 共yzz2 轭复数及其几何意义 属中档题 3 3 在复平面内 复数 6 5i 2 3i 对应的点分别为 A B 若 C 为线段 AB 的中点 则点 C 对 应的复数是 A 4 8i B 8 2i C 2 4i D 4 i 答案 C 4 4 对于复数 若集合具有性质 对任意 必有 a b c d Sa b c d x yS xyS 则当时 等于 B 2 2 1 1 a b cb bcd A 1 B C D 1 0i 5 若 i 为虚数单位 图中复平面内点 Z 表示复数 Z 则 表示复数的点是 1 z i A E B F C G D H 答案 D 解析 观察图形可知 则 即对应点 H 2 1 故 D 正确 3zi 3 2 11 zi i ii 6 复数等于 2 1i 1 i 7 复数 2 3 1 i i 34i 8 8 设 a b 为实数 若复数 则1 1 2i i abi 31 22 ab 9 已知 其中 为虚数单位 则 1 2 ai bi a bR i iab 10 若复数 z1 1 i z2 3 i 则 z1 z2 4 2 i 11 是虚数单位 1i 4 1 i 1 i 12 已知 a b R 其中 i 为虚数单位 则 a b 1 2 ai bi a b i 2ai bi i 习题习题 B 1 设则复数为实数的充要条件是 D a b cR abi cdi A B C D 0adbc 0acbd 0acbd 0adbc 2 若复数满足方程 则z02 2 z 3 z A B C D 22 22 i 22 i 22 3 复数等于 C 10 1 1 i i A B C D 1 i 1 i 1 i 1 i 4 已知 C 1 1 m ni i mni其中 是实数 是虚数单位 mni 则 A 1 2i B 1 2i C 2 i D 2 i 5 设是复数 表示满足的最小正整数 则对虚数单位 z a z1 n z ni a i A 8 B 6 C 4 D 2 解析 则最小正整数为 4 选 C a i 1 n in 6 设 是虚数单位 则 1zi i 2 2 z z A B C D 1 i 1 i 1 i 1 i 答案 D 解析 对于 22 22 1 121 1 ziiii zi 7 已知 z 是纯虚数 是实数 那么 z 等于 2 1 i z A 2i B i C i D 2i 答案 D 解析 设纯虚数 代入 zbi 22 2 1 2 2 11 1 1 2 zbibiibbi iiii 由于其为实数 b 2 故选 D 8 设 z 的共轭复数是 或 z 4 z 8 则等于 D zzz z z A 1 B i C 1 D i 9 已知 0 a 2 复数 z 的实部为 a 虚部为 1 则的取值范围是 z A 1 5 B 1 3 C 1 D 1 53 1 解 由题意知 所以 20 aiaz1 2 az 由 0 a 2 知 0 a2 4 从而 1 a2 1 5 所以 1 z 故选 C 5 10 在复平面内 复数对应的点位于 12 zii A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 答案答案 B 解析解析 本题主要考查复数在坐标系数内复数与点的对应关系 属于基础知识的考查 复数所对应的点为 故选 B 12 22ziiiii z 2 1 11 若复数 a2 3a 2 a 1 i 是纯虚数 则实数 a 的值为 2 12 复数 32 23 i i i 13 复数 2 2 1ii 4 14 非空集合关于运算满足 1 对任意 都有 G a bG abG 2 存在 使得对一切 都有 则称关于运算为eG aG aeeaa G 融洽集 现给出下列集合和运算 G 非负整数为整数的加法 G 偶数为整数的乘法 G 平面向量为平面向量的加法 G 二次三项式为多项式的加法 G 虚数为复数的乘法 其中关于运算为 融洽集 写出所有 融洽集 的序G 号 15 设 为实数 且 则求 的值xy ii y i x 31 5 211 xy 13 解填 4 由知 即 ii y i x 31 5 211 5 1 12 1 3 2510 xy iii 即 故5 1 2 12 5 1 3 xiyii 525 5415 0 xyxyi 解得 5250 54150 xy xy 1 5 x y 4xy 16 已知复数满足为虚数单位 求一个以为根wi i 23 4ww 2 5 w w zz 的实系