新人教版数学八年级上册第11、12章教案

1 11 11 1 1 全等三角形全等三角形 教学目标教学目标 1 知道什么是全等形 全等三角形及全等三角形的对应元素 2 知道全等三角形的性质 能用符号正确地表示两个三角形全等 3 能熟练找出两个全等三角形的对应角 对应边 教学重点教学重点 全等三角形的性质 教学难点教学难点 找全等三角形的对应边 对应角 教学过程教学过程 提出问题 创设情境 提出问题 创设情境 1 1 问题 你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗 C1B1 C A B A1 这两个三角形是完全重合的 2 2 学生自己动手 同桌两名同学配合 学生自己动手 同桌两名同学配合 取一张纸 将自己事先准备好的三角板按在纸上 画下图形 照图形裁下来 纸样与三角板形状 大小完全一样 3 3 获取概念 获取概念 让学生用自己的语言叙述 全等形 全等三角形 对应顶点 对应角 对应边 以及有关的数学符号 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形 要是把两个图形放在一起 能够完全重合 就可以说明这两个图形的形状 大小相同 概括全等形的准确定义 能够完全重合的两个图形叫做全等形 请同学们类推 2D C A B O 得出全等三角形的概念 并理解对应顶点 对应角 对应边的含义 仔细阅读课本 中 全等 符号表示的要求 导入新课 导入新课 利用投影片演示 将 ABC 沿直线 BC 平移得 DEF 将 ABC 沿 BC 翻折 180 得到 DBC 将 ABC 旋转 180 得 AED 甲 D C A BFE 乙 D C A B 丙 D C A B E 议一议 各图中的两个三角形全等吗 不难得出 ABC DEF ABC DBC ABC AED 注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上 启示 一个图形经过平移 翻折 旋转后 位置变化了 但形状 大小都没有 改变 所以平移 翻折 旋转前后的图形全等 这也是我们通过运动的方法寻求全 等的一种策略 观察与思考 观察与思考 寻找甲图中两三角形的对应元素 它们的对应边有什么关系 对应角呢 引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系 得到全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等 全等三角形的对应角相 等 例例 1 1 如图 OCA OBD C 和 B A 和 D 是对应顶点 说出这两个三角形中 相等的边和角 问题 OCA OBD 说明这两个三角形可以重合 思考通过怎 样变换可以使两三角形重合 3 将 OCA 翻折可以使 OCA 与 OBD 重合 因为 C 和 B A 和 D 是对应顶点 所 以 C 和 B 重合 A 和 D 重合 C B A D AOC DOB AC DB OA OD OC OB 总结 两个全等的三角形经过一定的转换可以重合 一般是平移 翻转 旋转 的方法 例例 2 2 如图 已知 ABE ACD ADE AED B C 指出其他的对应边 和对应角 DC A BE 分析 对应边和对应角只能从两个三角形中找 所以需将 ABE 和 ACD 从复杂 的图形中分离出来 根据位置元素来找 有相等元素 它们就是对应元素 然后再依据已知的对 应元素找出其余的对应元素 常用方法有 1 全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边也是对应 边 2 全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对应角 解 对应角为 BAE 和 CAD 对应边为 AB 与 AC AE 与 AD BE 与 CD 例例 3 3 已知如图 ABC ADE 试找出对应边 对应角 由学生讨论完成 D C A B E O 4 借鉴例 2 的方法 可以发现 A A 在两个三角形中 A 的对边分别是 BC 和 DE 所以 BC 和 DE 是一组对应边 而 AB 与 AE 显然不重合 所以 AB 与 AD 是一组对 应边 剩下的 AC 与 AE 自然是一组对应边了 再根据对应边所对的角是对应角可得 B 与 D 是对应角 ACB 与 AED 是对应角 所以说对应边为 AB 与 AD AC 与 AE BC 与 DE 对应角为 A 与 A B 与 D ACB 与 AED 做法二 沿 A 与 BC DE 交点 O 的连线将 ABC 翻折 180 后 它正好和 ADE 重合 这时就可找到对应边为 AB 与 AD AC 与 AE BC 与 DE 对应角为 A 与 A B 与 D ACB 与 AED 课堂练习 课堂练习 课本 P4 练习 1 课本 P4 习题 13 1 复习巩固 1 课时小结 课时小结 通过本节课学习 我们了解了全等的概念 发现了全等三角形的性质 并且利 用性质可以找到两个全等三角形的对应元素 这也是这节课大家要重点掌握的 找对应元素的常用方法有两种 找对应元素的常用方法有两种 一 从运动角度看 一 从运动角度看 1 翻转法 找到中心线 沿中心线翻折后能相互重合 从而发现对应元素 2 旋转法 三角形绕某一点旋转一定角度能与另一三角形重合 从而发现对 应元素 3 平移法 沿某一方向推移使两三角形重合来找对应元素 二 根据位置元素来推理 二 根据位置元素来推理 1 全等三角形对应角所对的边是对应边 两个对应角所夹的边是对应边 2 全等三角形对应边所对的角是对应角 两条对应边所夹的角是对应角 作业 作业 课本 P4 习题 13 1 复习巩固 2 综合运用 3 课后作业 课时作业本 5 板书设计板书设计 11 1 全等三角形 一 概念 二 全等三角形的性质 三 性质应用 例 1 运动角度看问题 例 2 根据位置来推理 例 3 根据位置和运动角度两种办法来推理 四 小结 找对应元素的方法 运动法 翻折 旋转 平移 位置法 对应角 对应边 对应边 对应角 11 11 2 2 三角形全等的判定三角形全等的判定 11 11 2 2 1 1 三角形全等的条件 一 三角形全等的条件 一 教学目标教学目标 1 三角形全等的 边边边 的条件 2 了解三角形的稳定性 3 3 经历探索三角形全等条件的过程 体会利用操作 归纳获得数学结论的过 程 教学重点教学重点 6 三角形全等的条件 教学难点教学难点 寻求三角形全等的条件 教学过程教学过程 创设情境 引入新课 创设情境 引入新课 出示投影片 回忆前面研究过的全等三角形 已知 ABC A B C 找出其中相等的边与角 C B A CB A 图中相等的边是 AB A B BC B C AC A C 相等的角是 A A B B C C 展示课作前准备的三角形纸片 提出问题 你能画一个三角形与它全等吗 怎样 画 可以先量出三角形纸片的各边长和各个角的度数 再作出一个三角形使它的 边 角分别和已知的三角形纸片的对应边 对应角相等 这样作出的三角形一定与 已知的三角形纸片全等 这是利用了全等三角形的定义来作图 那么是否一定需要六个条件呢 条件能 否尽可能少呢 现在我们就来探究这个问题 导入新课 导入新课 出示投影片出示投影片 1 只给一个条件 一组对应边相等或一组对应角相等 画出的两个三角形 一定全等吗 2 给出两个条件画三角形时 有几种可能的情况 每种情况下作出的三角形 一定全等吗 分别按下列条件做一做 7 三角形一内角为 30 一条边为 3cm 三角形两内角分别为 30 和 50 三角形两条边分别为 4cm 6cm 学生分组讨论 探索 归纳 最后以组为单位出示结果作补充交流 结果展示 1 只给定一条边时 只给定一个角时 2 给出的两个条件可能是 一边一内角 两内角 两边 3cm 3cm 3cm 30 30 30 50 50 30 30 6cm 4cm4cm 6cm 可以发现按这些条件画出的三角形都不能保证一定全等 给出三个条件画三角形 你能说出有几种可能的情况吗 归纳 有四种可能 即 三内角 三条边 两边一内角 两内有一边 8 在刚才的探索过程中 我们已经发现三内角不能保证三角形全等 下面我们就 来逐一探索其余的三种情况 已知一个三角形的三条边长分别为 6cm 8cm 10cm 你能画出这个三角形吗 把你画的三角形剪下与同伴画的三角形进行比较 它们全等吗 1 作图方法 先画一线段 AB 使得 AB 6cm 再分别以 A B 为圆心 8cm 10cm 为半径画弧 两弧交点记作 C 连结线段 AC BC 就可以得到三角形 ABC 使得它们的边长分别 为 AB 6cm AC 8cm BC 10cm 2 以小组为单位 把剪下的三角形重叠在一起 发现都能够重合 这说明这 些三角形都是全等的 3 特殊的三角形有这样的规律 要是任意画一个三角形 ABC 根据前面作法 同样可以作出一个三角形 A B C 使 AB A B AC A C BC B C 将 A B C 剪下 发现两三角形重合 这反映了一个规律 三边对应相等的两个三角形全等 简写为 边边边 或 SSS 用上面的规律可以判断两个三角形全等 判断两个三角形全等的推理过程 叫 做证明三角形全等 所以 SSS 是证明三角形全等的一个依据 请看例题 例例 如图 ABC 是一个钢架 AB AC AD 是连结点 A 与 BC 中点 D 的支架 求证 ABD ACD DCB A 师生共析 要证 ABD ACD 可以看这两个三角形的三条边是否对应相等 证明 因为 D 是 BC 的中点 所以 BD DC 在 ABD 和 ACD 中 9 F D C B E A 1 2 F D C B E A ABAC BDCD ADAD 一一一 所以 ABD ACD SSS 生活实践的有关知识 用三根木条钉成三角形框架 它的大小和形状是固定不 变的 而用四根木条钉成的框架 它的形状是可以改变的 三角形的这个性质叫 做三角形的稳定性 所以日常生活中常利用三角形做支架 就是利用三角形的稳定 性 例如屋顶的人字梁 大桥钢架 索道支架等 随堂练习 随堂练习 如图 已知 AC FE BC DE 点 A D B F 在一条直线上 AD FB 要用 边边边 证明 ABC FDE 除了已知中的 AC FE BC DE 以外 还应该有什么条件 怎样才能得到这个条件 2 课本 P8 练习 课时小结 课时小结 本节课我们探索得到了三角形全等的条件 发现了证明三角形全等的一个规 律 SSS 并利用它可以证明简单的三角形全等问题 作业 作业 1 习题 11 2 复习巩固 1 2 习题 11 2 综合运用 9 课后作业 课后作业 课堂感悟与探究 活动与探索 活动与探索 如图 一个六边形钢架 ABCDEF 由 6 条钢管连结而成 为使这一钢架稳固 请你 用三条钢管连接使它不能活动 你能找出几种方法 本题的目的是让学生能够进一步理解三角形的稳定性在现实生活中的应用 结果 1 可从这六个顶点中的任意一个作对角线 10 把这个六边形划分成四个三角形 如图 1 为其中的一种 2 也可以把这个六 边形划分成四个三角形 如图 2 板书设计板书设计 11 11 2 2 2 2 三角形全等的条件 二 三角形全等的条件 二 教学目标教学目标 1 三角形全等的 边角边 的条件 2 2 经历探索三角形全等条件的过程 体会利用操作 归纳获得数学结论的过 程 3 掌握三角形全等的 S S 条件 了解三角形的稳定性 4 能运用 S S 证明简单的三角形全等问题 教学重点教学重点 三角形全等的条件 教学难点教学难点 11 2 1 三角形全等的条件 一 一 三角形全等的条件 三边对应相等的两三角形全等 SSS 二 例 三 课堂练习 四 小结 11 寻求三角形全等的条件 教学过程教学过程 一 创设情境 复习提问一 创设情境 复习提问 1 怎样的两个三角形是全等三角形 2 全等三角形的性质 3 指出图中各对全等三角形的对应边和对应角 并说明通过怎样的变换能使它 们完全重合 图 1 中 ABD ACE AB与AC是对应边 图 2 中 ABC AED AD与AC是对应边 三角形全等的判定 的内容是什么 二 导入新课二 导入新课 1 三角形全等的判定 二 1 全等三角形具有 对应边相等 对应角相等 的性质 那么 怎样才能判定 两个三角形全等呢 也就是说 具备什么条件的两个三角形能全等 是否需要 已知 三条边相等和三个角对应相等 现在我们用图形变换的方法研究下面 的问题 如图2 AC BD相交于O AO BO CO DO的长度如图所标 ABO和 CDO是否能完全重合呢 不难看出 这两个三角形有三对元素是相等的 AO CO AOB COD BO DO 如果把 OAB绕着O点顺时针方向旋转 因为OA OC 所以可以使OA与OC重 12 合 又因为 AOB COD OB OD 所以点B与点D重合 这样 ABO 与 CDO就完全重合 此外 还可以图1 1 中的 ACE绕着点A逆时针方向旋转 CAB的度数 也将 与 ABD重合 图1 2 中的 ABC绕着点A旋转 使AB与AE重合 再把 ADE 沿着AE AB 翻折180 两个三角形也可重合 由此 我们得到启发 判定两个三角形全等 不需要三条边对应相等和三 个角对应相等 而且 从上面的例子可以引起我们猜想 如果两个三角形有两 边和它们的夹角对应相等 那么这两个三角形全等 2 上述猜想是否正确呢 不妨按上述条件画图并作如下的实验 1 读句画图 画 DAE 45 在AD AE上分别取 B C 使 AB 3 1cm AC 2 8cm 连结BC 得 ABC 按上述画法再画一个 A B C 2 把 A B C 剪下来放到 ABC上 观察 A B C 与 ABC是否能够 完全重合 3 边角边公理 边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简称 边角边 或 SAS 三 例题与练习三 例题与练习 1 填空 1 如图3 已知AD BC AD CB 要用边角边公理证明 ABC CDA 需 要三个条件 这三个条件中 已具有两个条件 一是AD CB 已知 二是 还需要一个条件 这个条件可以证得吗 2 如图4 已知AB AC AD AE 1 2 要用边角边公理证明 ABD ACE 需要满足的三个条件中 13 已具有两个条件 这个条件可以证得吗 2 例例1 已知 AD BC AD CB 图3 求证 ADC CBA 问题 如果把图3中的 ADC沿着CA方向平移到 ADF的位置 如图5 那 么要证明 ADF CEB 除了AD BC AD CB的条件外 还需要一个什么 条件 AF CE或AE CF 怎样证明呢 例例2 已知 AB AC AD AE 1 2 图4 求证 ABD ACE 四 小四 小 结 结 1 根据边角边公理判定两个三角形全等 要找出两边及夹角对应相等的三个条 件 2 找使结论成立所需条件 要充分利用已知条件 包括给出图形中的隐含条件 如公共边 公共角等 并要善于运用学过的定义 公理 定理 五 作五 作 业 业 1 已知 如图 AB AC F E分别是AB AC的中点 求证 ABE ACF 2 已知 点A F E C在同一条直线上 AF CE BE DF BE DF 求证 ABE CDF 课后作业 课后作业 课后作业 课时作业本 14 11 11 2 2 3 3 三角形全等的条件 三 三角形全等的条件 三 教学目标教学目标 1 三角形全等的条件 角边角 角角边 2 三角形全等条件小结 3 3 掌握三角形全等的 角边角 角角边 条件 4 能运用全等三角形的条件 解决简单的推理证明问题 教学重点教学重点 已知两角一边的三角形全等探究 教学难点教学难点 灵活运用三角形全等条件证明 教学过程教学过程 提出问题 创设情境 提出问题 创设情境 1 复习 1 三角形中已知三个元素 包括哪几种情况 三个角 三个边 两边一角 两角一边 2 到目前为止 可以作为判别两三角形全等的方法有几种 各是什么 三种 定义 SSS SAS 2 在三角形中 已知三个元素的四种情况中 我们研究了三种 今天我们接 着探究已知两角一边是否可以判断两三角形全等呢 导入新课 导入新课 问题 1 三角形中已知两角一边有几种可能 1 两角和它们的夹边 2 两角和其中一角的对边 问题 2 三角形的两个内角分别是 60 和 80 它们的夹边为 4cm 你能画 一个三角形同时满足这些条件吗 将你画的三角形剪下 与同伴比较 观察它们是 不是全等 你能得出什么规律 15 将所得三角形重叠在一起 发现完全重合 这说明这些三角形全等 提炼规律 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 可以简写成 角边角 或 ASA 问题 3 我们刚才做的三角形是一个特殊三角形 随意画一个三角形 ABC 能 不能作一个 A B C 使 A A B B AB A B 呢 先用量角器量出 A 与 B 的度数 再用直尺量出 AB 的边长 画线段 A B 使 A B AB 分别以 A B 为顶点 A B 为一边作 DA B EB A 使 D AB CAB EB A CBA 射线 A D 与 B E 交于一点 记为 C 即可得到 A B C 将 A B C 与 ABC 重叠 发现两三角形全等 C A B D C A B E 两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等 可以简写成两角和它们的夹边对应相等的两三角形全等 可以简写成 角边角角边角 或或 ASA ASA 思考 在一个三角形中两角确定 第三个角一定确定 我们是不是可以不作图 用 ASA 推出 两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等 呢 探究问题探究问题 4 4 如图 在 ABC 和 DEF 中 A D B E BC EF ABC 与 DEF 全等吗 能利用角边角条件证明你的结论吗 16 D C A BF E 证明 A B C D E F 180 A D B E A B D E C F 在 ABC 和 DEF 中 BE BCEF CF ABC DEF ASA 两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 可以简写成两个角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 可以简写成 角角边角角边 或或 AAS AAS 例例 如下图 D 在 AB 上 E 在 AC 上 AB AC B C 求证 AD AE 分析 AD 和 AE 分别在 ADC 和 AEB 中 所以要证 AD AE 只需证明 ADC AEB 即可 证明 在 ADC 和 AEB 中 AA ACAB CB 所以 ADC AEB ASA 所以 AD AE 随堂练习 随堂练习 一 课本 P13 练习 1 2 二 补充练习 二 补充练习 D C A B E 17 图中的两个三角形全等吗 请说明理由 50 50 45 45 D C A B 1 29 29 D CAB 2 E 答案 图 1 中由 ASA 可证得 ACD ACB 图 2 由 AAS 可证得 ACE BDC 课时小结 课时小结 至此 我们有五种判定三角形全等的方法 1 全等三角形的定义 2 判定定理 边边边 SSS 边角边 SAS 角边角 ASA 角角边 AAS 推证两三角形全等时 要善于观察 寻求对应相等的条件 从而获得解题途 径 作业 作业 1 课本习题 11 2 5 6 11 题 课后作业 课时作业本 板书设计板书设计 13 2 3 三角形全等的条件 三 一 两角一边 一一一一一一 一一一一一一一一一一 二 三角形全等的条件 1 两角及其夹边对应相等的两三角形全等 ASA 2 两角和其中一角的对边对应相等的两三角形全等 AAS 18 11 11 2 2 3 3 三角形全等的条件三角形全等的条件 直角三角形全等的判定直角三角形全等的判定 四 四 教学目标教学目标 1 经历探索直角三角形全等条件的过程 体会利用操作 归纳获得数学结论的 过程 2 掌握直角三角形全等的条件 并能运用其解决一些实际问题 3 在探索直角三角形全等条件及其运用的过程中 能够进行有条理的思考并进 行简单的推理 教学重点教学重点 运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题 教学难点教学难点 熟练运用直角三角形全等的条件解决一些实际问题 教学过程教学过程 提出问题 复习旧知 提出问题 复习旧知 1 判定两个三角形全等的方法 2 如图 Rt ABC 中 直角边是 斜边是 3 如图 AB BE 于 C DE BE 于 E 1 若 A D AB DE 则 ABC 与 DEF 填 全等 或 不全等 根据 用简写法 19 2 若 A D BC EF 则 ABC 与 DEF 填 全等 或 不全等 根据 用简写法 3 若 AB DE BC EF 则 ABC 与 DEF 填 全等 或 不全等 根据 用简写法 4 若 AB DE BC EF AC DF 则 ABC 与 DEF 填 全等 或 不全等 根据 用简写法 导入新课 导入新课 一 探索练习 一 探索练习 动手操作 已知线段 a c a c 和一个直角 利用尺规作一个 Rt ABC 使 C AB c CB a 1 按步骤作图 a c 作 MCN 90 在射线 CM 上截取线段 CB a 以 B 为圆心 C 为半径画弧 交射线 CN 于点 A 连结 AB 2 与同桌重叠比较 是否重合 3 从中你发现了什么 斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全斜边与一直角边对应相等的两个直角三角形全 等 等 二 巩固练习 二 巩固练习 1 如图 ABC 中 AB AC AD 是高 则 ADB 与 ADC 填 全等 或 不全等 根据 用简写法 2 如图 CE AB DF AB 垂足分别为 E F 20 1 若 AC DB 且 AC DB 则 ACE BDF 根据 2 若 AC DB 且 AE BF 则 ACE BDF 根据 3 若 AE BF 且 CE DF 则 ACE BDF 根据 4 若 AC BD AE BF CE DF 则 ACE BDF 根据 5 若 AC BD CE DF 或 AE BF 则 ACE BDF 根据 3 判断两个直角三角形全等的方法不正确的有 A 两条直角边对应相等 B 斜边和一锐角对应相等 C 斜边和一条直角边对应相等 D 两个锐角对应相等 4 如图 B E F C 在同一直线上 AF BC 于 F DE BC 于 E AB DC BE CF 你认为 AB 平行于 CD 吗 说说你的理由 答 理由 AF BC DE BC 已知 AFB DEC 垂直的 定义 在 Rt 和 Rt 中 21 内错角相等 两直线平行 5 如图 广场上有两根旗杆 已知太阳光线 AB 与 DE 是平行的 经过测量这两 根旗杆在太阳光照射下的影子是一样长的 那么这两根旗杆高度相等吗 说说你的 理由 三 提高练习 三 提高练习 1 判断题 1 一个锐角和这个锐角的对边对应相等的两个直角三角形全等 2 一个锐角和锐角相邻的一直角边对应相等的两个直角三角形全等 3 一个锐角与一斜边对应相等的两个直角三角形全等 4 两直角边对应相等的两个直角三角形全等 5 两边对应相等的两个直角三角形全等 6 两锐角对应相等的两个直角三角形全等 7 一个锐角与一边对应相等的两个直角三角形全等 8 一直角边和斜边上的高对应相等的两个直角三角形全等 2 如图 D C 90 请你再添加一个条件 使 ABD BAC 并在 22 添加的条件后的 内写出判定全等的依据 1 2 3 4 课时小结课时小结 至此 我们有六种判定三角形全等的方法 1 全等三角形的定义 2 边边边 SSS 3 边角边 SAS 4 角边角 ASA 5 角角边 AAS 仅用在直角三角形中 作业作业 1 课本习题 11 2 1 题 课后作业 课后作业 课后作业 课时作业本 11 11 3 13 1 角的平分线的性质 一 角的平分线的性质 一 教学目标教学目标 23 1 1 应用三角形全等的知识 解释角平分线的原理 2 会用尺规作一个已知角的平分线 教学重点教学重点 利用尺规作已知角的平分线 教学难点教学难点 角的平分线的作图方法的提炼 教学过程教学过程 提出问题 创设情境 提出问题 创设情境 问题 1 三角形中有哪些重要线段 问题 2 你能作出这些线段吗 导入新课 导入新课 在学直角三角形全等的条件时做过这样一个题 在 AOB 的两边 OA 和 OB 上分别取 OM ON MC OA NC OB MC 与 NC 交于 C 点 求证 MOC NOC 通过证明 Rt MOC Rt NOC 即可证明 MOC NOC 所以射线 OC 就是 AOB 的平分线 受这个题的启示 我们能不能这样做 在已知 AOB 的两边上分别截取 OM ON 再分别过 M N 作 MC OA NC OB MC 与 NC 交于 C 点 连接 OC 那么 OC 就是 AOB 的平分线了 思考 这个方案可行吗 学生思考 讨论后 统一思想 认为可行 议一议 议一议 下图是一个平分角的仪器 其中 AB AD BC DC 将点 A 放在角的顶点 AB 和 AD 沿着角的两边 放下 沿 AC 画一条射线 AE AE 就是角平分线 你能说明它的道理吗 要说明 AC 是 DAC 的平分线 其实就是证明 CAD CAB 24 CAD 和 CAB 分别在 CAD 和 CAB 中 那么证明这两个三角形全等就可以 了 看看条件够不够 ABAD BCDC ACAC 所以 ABC ADC SSS 所以 CAD CAB 即射线 AC 就是 DAB 的平分线 作已知角的平分线的方法 已知 AOB 求作 AOB 的平分线 作法 1 以 O 为圆心 适当长为半径作弧 分别交 OA OB 于 M N 2 分别以 M N 为圆心 大于MN 的长为半径作弧 两弧在 AOB 内部交于 1 2 点 C 3 作射线 OC 射线 OC 即为所求 议一议 议一议 1 在上面作法的第二步中 去掉 大于MN 的长 这个条件行吗 1 2 2 第二步中所作的两弧交点一定在 AOB 的内部吗 总结 总结 1 去掉 大于MN 的长 这个条件 所作的两弧可能没有交点 所以就找不 1 2 25 到角的平分线 2 若分别以 M N 为圆心 大于MN 的长为半径画两弧 两弧的交点可能在 1 2 AOB 的内部 也可能在 AOB 的外部 而我们要找的是 AOB 内部的交点 否则 两弧交点与顶点连线得到的射线就不是 AOB 的平分线了 3 角的平分线是一条射线 它不是线段 也不是直线 所以第二步中的两个 限制缺一不可 4 这种作法的可行性可以通过全等三角形来证明 练一练 练一练 任意画一角 AOB 作它的平分线 探索活动探索活动 按以下步骤折纸 1 在准备好的三角形的每个顶点上标好字母 A B C 把角 A 对折 使得 这个角的两边重合 2 在折痕 即平分线 上任意找一点 C 3 过点 C 折 OA 边的垂线 得到新的折痕 CD 其中 点 D 是折痕与 OA 的交 点 即垂足 4 将纸打开 新的折痕与 OB 边交点为 E 角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等 角平分线的性质 角平分线上的点到角的两边的距离相等 下面用我们学过的知识证明发现 如图 已知 AO 平分 BAC OE AB OD AC 求证 OE OD 随堂练习 随堂练习 课本 P22 练习 练后总结 平角 AOB 的平分线 OC 与直线 AB 垂直 将 OC 反向延长得到直线 CD 直线 CD 与 AB 也垂直 26 课时小结 课时小结 本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识 探究 得到了角平分线仪器的操作原理 由此归纳出角的平分线 的尺规画法 并进一步探究到角平分线的性质 课后作业 课后作业 1 课本 P22 习题 11 3 1 2 课后作业 课后作业 课堂感悟与探究 思考思考 1 在一节数学课上 老师要求同学们练习一道题 题目的图形如图所示 图中的 BD 是 ABC 的平分线 在同学们忙于画图和分析题目时 小明同学忽然兴奋地 大声说 我有个发现 原来他自己创造了一个在直角三角形中画锐角的平 分线的方法 他的方法是这样的 在 AB 上取点 E 使 BE BC 然后画 DE AB 交 AC 于 D 那么 BD 就是 ABC 的平分线 有的同学对小明的画法表示怀疑 你认为他的画法对不对呢 请你来说明理 由 板书设计板书设计 11 3 角的平分线的性质 一 角平分线仪器的操作原理 二 角平分线的尺规画法 1 以 O 为圆心 适当长为半径作弧 分别交 OA OB 于 M N 2 分别以 M N 为圆心 大于MN 长为半径作弧 两弧在 AOB 内部交于 C 1 2 点 3 连接 OC 射线 OC 即为所求 27 三 角平分线的性质 11 11 3 3 2 2 角的平分线的性质 二 角的平分线的性质 二 教学目标教学目标 1 角的平分线的性质 2 2 会叙述角的平分线的性质及 到角两边距离相等的点在角的平分线上 3 能应用这两个性质解决一些简单的实际问题 教学重点教学重点 角平分线的性质及其应用 教学难点教学难点 灵活应用两个性质解决问题 教学过程教学过程 创设情境 引入新课 创设情境 引入新课 拿出课前准备好的折纸与剪刀 剪一个角 把剪好的角对折 使角的两边叠合 在一起 再把纸片展开 看到了什么 把对折的纸片再任意折一次 然后把纸片展 开 又看到了什么 分析 第一次对折后的折痕是这个角的平分线 再折一次 又会出现两条折痕 而且这两条折痕是等长的 这种方法可以做无数次 所以这种等长的折痕可以折出 无数对 导入新课 导入新课 角平分线的性质即已知角的平分线 能推出什么样的结论 折出如图所示的折痕 PD PE 画一画 28 按照折纸的顺序画出一个角的三条折痕 并度量所画 PD PE 是否等长 投影出下面两个图形 让学生评一评 以达明确概念的目的 结论 同学乙的画法是正确的 同学甲画的是过角平分线上一点画角平分线的 垂线 而不是过角平分线上一点作两边的垂线段 所以他的画法不符合要求 问题 1 如何用文字语言叙述所画图形的性质吗 生 角平分线上的点到角的两边的距离相等 问题 2 能否用符号语言来翻译 角平分线上的点到角的两边的距离相等 这 句话 请填下表 已知事项 OC 平分 AOB PD OA PE OB D E 为垂足 由已知事项推出的事项 PD PE 于是我们得角的平分线的性质 在角的平分线上的点到角的两边的距离相等 师 那么到角的两边距离相等的点是否在角的平分线上呢 出示投影 问题 3 根据下表中的图形和已知事项 猜想由已知事项可推出的事项 并用 29 符号语言填写下表 生讨论 已知事项符合直角三角形全等的条件 所以 Rt PEO PDO HL 于是可得 PDE POD 由已知推出的事项 点 P 在 AOB 的平分线上 由此我们又可以得到一个性质 到角的两边距离相等的点在角的平分线 上 这两个性质有什么联系吗 分析 这两个性质已知条件和所推出的结论可以互换 思考 如图所示 要在 S 区建一个集贸市场 使它到公路 铁路距离相等 离公路与 铁路交叉处 500m 这个集贸市场应建于何处 在图上标出它的位置 比例尺为 1 20000 1 集贸市场建于何处 和本节学的角平分线性质有关吗 用哪一个性质可以 解决这个问题 2 比例尺为 1 20000 是什么意思 结论 30 1 应该是用第二个性质 这个集贸市场应该建在公路与铁路形成的角的平分 线上 并且要求离角的顶点 500 米处 2 在纸上画图时 我们经常在厘米为单位 而题中距离又是以米为单位 这 就涉及一个单位换算问题了 1m 100cm 所以比例尺为 1 20000 其实就是图中 1cm 表示实际距离 200m 的意思 作图如下 第一步 尺规作图法作出 AOB 的平分线 OP 第二步 在射线 OP 上截取 OC 2 5cm 确定 C 点 C 点就是集贸市场所建地 了 总结 应用角平分线的性质 就可以省去证明三角形全等的步骤 使问题简 单化 所以若遇到有关角平分线 又要证线段相等的问题 我们可以直接利用性 质解决问题 IIIIII 例题与练习例题与练习 例例 如图 ABC 的角平分线 BM CN 相交于点 P 求证 点 P 到三边 AB BC CA 的距离相等 分析 点 P 到 AB BC CA 的垂线段 PD PE PF 的长就是 P 点到三边的距离 31 也就是说要证 PD PE PF 而 BM CN 分别是 B C 的平分线 根据角平分线性 质和等式的传递性可以解决这个问题 证明 过点 P 作 PD AB PE BC PF AC 垂足为 D E F 因为 BM 是 ABC 的角平分线 点 P 在 BM 上 所以 PD PE 同理 PE PF 所以 PD PE PF 即点 P 到三边 AB BC CA 的距离相等 练习 练习 1 课本 P22 练习 2 课本 P22 习题 13 3 2 强调 条件充足的时候应该直接利用角平分线的性质 无须再证三角形全等 IVIV 课时小结 课时小结 今天 我们学习了关于角平分线的两个性质 角平分线上的点到角的两边的 距离相等 到角的两边距离相等的点在角的平分线上 它们具有互逆性 随着学 习的深入 解决问题越来越简便了 像与角平分线有关的求证线段相等 角相等问 题 我们可以直接利用角平分线的性质 而不必再去证明三角形全等而得出线段相 等 课后作业 课后作业 1 课本习题 11 3 3 4 5 题 2 课后作业 课时作业本 32 12 12 1 1 轴对称轴对称 12 12 1 1 1 1 轴对称 一 轴对称 一 教学目标教学目标 1 在生活实例中认识轴对称图 2 分析轴对称图形 理解轴对称的概念 教学重点教学重点 轴对称图形的概念 教学难点教学难点 能够识别轴对称图形并找出它的对称轴 教学过程教学过程 创设情境 引入新课 创设情境 引入新课 我们生活在一个充满对称的世界中 许多建筑物都设计成对称形 艺术作品的 创作往往也从对称角度考虑 自然界的许多动植物也按对称形生长 中国的方块字 中些也具有对称性 对称给我们带来多少美的感受 初步掌握对称的奥秒 不仅 可以帮助我们发现一些图形的特征 还可以使我们感受到自然界的美与和谐 轴对称是对称中重要的一种 从这节课开始 我们来学习第十四章 轴对 称 今天我们来研究第一节 认识什么是轴对称图形 什么是对称轴 导入新课 导入新课 出示课本的图片 观察它们都有些什么共同特征 这些图形都是对称的 这些图形从中间分开后 左右两部分能够完全重合 小结 对称现象无处不在 从自然景观到分子结构 从建筑物到艺术作品 甚至日常生活用品 人们都可以找到对称的例子 现在同学们就从我们生活周围的 事物中来找一些具有对称特征的例子 我们的黑板 课桌 椅子等 我们的身体 还有飞机 汽车 枫叶等都是对称的 33 如课本的图 14 1 2 把一张纸对折 剪出一个图案 折痕处不要完全剪断 再打开这张对折的纸 就剪出了美丽的窗花 观察得到的窗花和图 14 1 1 中的 图形 你能发现它们有什么共同的特点吗 窗花可以沿折痕对折 使折痕两旁的部分完全重合 不仅窗花可以沿一条直线 对折 使直线两旁重合 上面图 14 1 1 中的图形也可以沿一条直线对折 使直 线两旁的部分重合 结论 如果一个图形沿一直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形如果一个图形沿一直线折叠 直线两旁的部分能够互相重合 这个图形 就叫做轴对称图形 这条直线就是它的对称轴 这时 我们也说这个图形关于这条就叫做轴对称图形 这条直线就是它的对称轴 这时 我们也说这个图形关于这条 直线 成轴 直线 成轴 对称 对称 了解了轴对称图形及其对称轴的概念后 我们来做一做 取一张质地较硬的纸 将纸对折 并用小刀在纸的中央随意刻出一个图案 将 纸打开后铺平 你得到两个成轴对称的图案了吗 与同伴进行交流 结论 位于折痕两侧的图案是对称的 它们可以互相重合 由此可以得到轴对称图形的特征 一个图形沿一条直线折叠后 折痕两侧的图 形完全重合 接下来我们来探讨一个有关对称轴的问题 有些轴对称图形的对称轴只有一条 但有的轴对称图形的对称轴却不止一条 有的轴对称图形的对称轴甚至有无数条 下列各图 你能找出它们的对称轴吗 结果 图 1 有四条对称轴 图 2 有四条对称轴 图 3 有无数条对称 轴 图 4 有两条对称轴 图 5 有七条对称轴 34 1 2 3 4 5 展示挂图 大家想一想 你发现了什么 像这样 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果它能够与另一个图形重合 那么就说这两个图形关于这条直线对称 这条直线叫做对称轴 折叠后重合的点 是对应点 叫做对称点 随堂练习 随堂练习 课本 P30 练习 课时小结 课时小结 这节课我们主要认识了轴对称图形 了解了轴对称图形及有关概念 进一步探 讨了轴对称的特点 区分了轴对称图形和两个图形成轴对称 作业 作业 35 一 课本习题 12 1 1 2 6 7 8 题 课后作业 课时作业本 活动与探究 活动与探究 板书设计板书设计 12 1 1 轴对称 一 一 轴对称 如果一个图形沿一条直线折叠后 直线两旁的部分能够完全重合 这个图形就叫轴对称图形 这条直线叫对称轴 二 两个图形成轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠 如果它能够与另一 个图形重合 那么就说这两个图形关于这条直线对称 12 12 1 1 2 2 轴对称 二 轴对称 二 教学目标教学目标 1 了解两个图形成轴对称性的性质 了解轴对称图形的性质 2 探究线段垂直平分线的性质 3 经历探索轴对称图形性质的过程 进一步体验轴对称的特点 发展空间观 察 教学重点教学重点 1 轴对称的性质 2 线段垂直平分线的性质 教学难点教学难点 36 体验轴对称的特征 教学过程教学过程 创设情境 引入新课 创设情境 引入新课 上节课我们共同探讨了轴对称图形 知道现实生活中由于有轴对称图形 而 使得世界非常美丽 那么大家想一想 什么样的图形是轴对称图形呢 今天继续来研究轴对称的性质 导入新课 导入新课 观看投影并思考 如图 ABC 和 A B C 关于直线 MN 对称 点 A B C 分别是 点 A B C 的对称点 线段 AA BB CC 与直线 MN 有什么关系 图中 A A 是对称点 AA 与 MN 垂直 BB 和 CC 也与 MN 垂直 AA BB 和 CC 与 MN 除了垂直以外还有什么关系吗 ABC 与 A B C 关于直线 MN 对称 点 A B C 分别是点 A B C 的对称点 设 AA 交对称轴 MN 于点 P 将 ABC 和 A B C 沿 MN 对折后 点 A 与 A 重合 于是有 AP A P MPA MPA 90 所以 AA BB 和 CC 与 MN 除了垂直以外 MN 还经过线段 AA BB 和 CC 的中点 对称轴所在直线经过对称点所连线段的中点 并且垂直于这条线段 我们把经 过线段中点并且垂直于这条线段的直线 叫做这条线段的垂直平分线 自己动手画一个轴对称图形 并找出两对称点 看一下对称轴和两对称点连线 的关系 我们可以看出轴对称图形与两个图形关于直线对称一样 对称轴所在直线经过 对称点所连线段的中点 并且垂直于这条线段 归纳图形轴对称的性质 轴对称的性质 如果两个图形关于某条直线对称 如果两个图形关于某条直线对称 那么对称轴是任何一对对称点所连线段的那么对称轴是任何一对对称点所连线段的 垂直平分线 类似地 轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分垂直平分线 类似地 轴对称图形的对称轴是任何一对对称点所连线段的垂直平分 37 线 线 下面我们来探究线段垂直平分线的性质 探究探究 1 如下图 木条 L 与 AB 钉在一起 L 垂直平分 AB P1 P2 P3 是 L 上的点 分别量一量点 P1 P2 P3 到 A 与 B 的距离 你有什么发现 1 用平面图将上述问题进行转化 先作出线段 AB 过 AB 中点作 AB 的垂直平分线 L 在 L 上取 P1 P2 P3 连 结 AP1 AP2 BP1 BP2 CP1 CP2 2 作好图后 用直尺量出 AP1 AP2 BP1 BP2 CP1 CP2 讨论发现什么样 的规律 探究结果 线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 即 AP1 BP1 AP2 BP2 证明 证法一 利用判定两个三角形全等 如下图 在 APC 和 BPC 中 PCPC PCAPCBRt ACBC APC BPC PA PB 证法二 利用轴对称性质 由于点 C 是线段 AB 的中点 将线段 AB 沿直线 L 对折 线段 PA 与 PB 是重 合的 因此它们也是相等的 带着探究 1 的结论我们来看下面的问题 38 探究探究 2 如右图 用一根木棒和一根弹性均匀的橡皮筋 做一个简易 的 弓 箭 通过木棒中央的孔射出去 怎么才能保持出箭的 方向与木棒垂直呢 为什么 活动 活动 1 用平面图形将上述问题进行转 化 作线段 AB 取其中点 P 过 P 作 L 在 L 上取点 P1 P2 连结 AP1 AP2 BP1 BP2 会有以下两种可能 2 讨论 要使 L 与 AB 垂直 AP1 AP2 BP1 BP2应满足什么条件 探究过程 探究过程 1 如上图甲 若 AP1 BP1 那么沿 L 将图形折叠后 A 与 B 不可能重合 也 就是 APP1 BPP1 即 L 与 AB 不垂直 2 如上图乙 若 AP1 BP1 那么沿 L 将图形折叠后 A 与 B 恰好重合 就有 APP1 BPP1 即 L 与 AB 重合 当 AP2 BP2时 亦然 探究结论 探究结论 与一条线段两个端点距离相等的点 在这条线段的垂直平分线上 也就是说在 探究 2 图中 只要使箭端到弓两端的端点的距离相等 就能保持射出箭的方向与 木棒垂直 师 上述两个探究问题的结果就给出了线段垂直平分线的性质 即 线段垂直 平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等 反过来 与这条线段两个端点距离 相等的点都在它的垂直平分线上 所以线段的垂直平分线可以看成是与线段两端 点距离相等的所有点的集合 随堂练习 随堂练习 课本 P34 练习 1 2 39 课时小结 课时小结 这节课通过探索轴对称图形对称性的过程 了解了线段的垂直平分线的有关 性质 同学们应灵活运用这些性质来解决问题 课后作业 课后作业 一 课本习题 12 1 3 4 9 题 课后作业 课后作业 课后作业 课时作业本 活动与探究 活动与探究 如图甲 ABC 和 A B C 关于直线 L 对称 延长对应线段 AB 和 A B 两条延长线相交吗 交点与对称轴 L 有什么关系 延长其他对应线段呢 在图乙中 AC 与 A C 又如何呢 再找几个成轴对称的图形观察一下 能发现 什么规律吗 过程 在图甲中 AB 与 A B 不平行 所以它们肯定会相交 下面来研究交 点与对称轴 L 的关系 问题 1 点和直线有几种位置关系 有两种 一种是点不在直线上 另一种是点在直线上 问题 2 先来假设一下交点不在对称轴 L 上 看是否成立 如果交点 P 不在对称轴 L 上 那么在 L 的另一侧一定有另外一点 P 与 40 交点 P 关于直线 L 对称 且该点 P 也是两延长线的交点 但是由于两条 直线相交只可能有一个交点 所以这两点是重合的 即交点 P 只能在对称轴 L 上 所以交点一定在对称轴上 延长其他的对应线段 结果也一样 再看图乙 我们来讨论下一个问题 AC 与 A C 是平行的 它们的两条延长线也不会相交 结论 成轴对称的两个图形 对应线段的延长线如果相交 交点一定在对称轴结论 成轴对称的两个图形 对应线段的延长线如果相交 交点一定在对称轴 上 对应线段的延长线如果不相交 也就是对应线段所在的直线平行 上 对应线段的延长线如果不相交 也就是对应线段所在的直线平行 那么它们那么