对磁场中双杆模型问题的解析

1 1 对磁场中双杆模型问题的解析对磁场中双杆模型问题的解析 南京市秦淮中学 汪忠兵 研究两根平行导体杆沿导轨垂直磁场方向运动是力电知识综合运用问题 是电磁感应 部分的非常典型的习题类型 因处理这类问题涉及到力学和电学的知识点较多 综合性较 强 所以是学生练习的一个难点 下面就这类问题的解法举例分析 在电磁感应中 有三类重要的导轨问题 1 发电式导轨 2 电动式导轨 3 双动式 导轨 导轨问题 不仅涉及到电磁学的基本规律 还涉及到受力分析 运动学 动量 能 量等多方面的知识 以及临界问题 极值问题 尤其是双动式导轨问题要求学生要有较高 的动态分析能力 电磁感应中的双动式导轨问题其实已经包含有了电动式和发电式导轨 由于这类问题 中物理过程比较复杂 状态变化过程中变量比较多 关键是能抓住状态变化过程中变量 变 的特点和规律 从而确定最终的稳定状态是解题的关键 求解时注意从动量 能量 的观点出发 运用相应的规律进行分析和解答 一 在在竖直导轨竖直导轨上的上的 双杆滑动双杆滑动 问题问题 1 等间距型等间距型 如图 1 所示 竖直放置的两光滑平行金属导轨置于垂直导轨向里的匀强 磁场中 两根质量相同的金属棒 a 和 b 和导轨紧密接触且可自由滑动 先固 定 a 释放 b 当 b 速度达到 10m s 时 再释放 a 经 1s 时间 a 的速度达到 12m s 则 A 当 va 12m s 时 vb 18m s B 当 va 12m s 时 vb 22m s C 若导轨很长 它们最终速度必相同 D 它们最终速度不相同 但速度差恒定 解析解析 因先释放 b 后释放 a 所以 a b 一开始速度是不相等的 而且 b 的速度要大于 a 的速度 这就使 a b 和导轨所围的线框面积增大 使穿过这个线圈的磁通量发生变化 使线圈中有感应电流产生 利用楞次定律和安培定则判断所围线框中的感应电流的方向如 图所示 再用左手定则判断两杆所受的安培力 对两杆进行受力分析如图 1 开始两者的 速度都增大 因安培力作用使 a 的速度增大的快 b 的速度增大的慢 线圈所围的面积越 来越小 在线圈中产生了感应电流 当二者的速度相等时 没有感应电流产生 此时的安 培力也为零 所以最终它们以相同的速度都在重力作用下向下做加速度为 g 的匀加速直线 运动 在释放 a 后的 1s 内对 a b 使用动量定理 这里安培力是个变力 但两杆所受安培力 总是大小相等 方向相反的 设在 1s 内它的冲量大小都为 I 选向下的方向为正方向 当棒先向下运动时 在和以及导轨所组成的闭合回路中产生感应电流 于是棒受 到向下的安培力 棒受到向上的安培力 且二者大小相等 释放棒后 经过时间 t 分 别以和为研究对象 根据动量定理 则有 2 2 对 a 有 mg I t m va0 对 b 有 mg I t m vb m vb0 联立二式解得 vb 18 m s 正确答案为 A C 在 棒向下运动的过程中 棒产生的加速度 棒产生的加速度 当棒的速度与棒接近时 闭合回路中的逐渐减小 感应电 流也逐渐减小 则安培力也逐渐减小 最后 两棒以共同的速度向下做加速度为 g 的 匀加速运动 2 不等间距型不等间距型 图中 1 1 11 abc d 和 2222 a b c d 为在同一竖直平面内的金属导轨 处在磁感应强度为 B 的匀强 磁场中 磁场方向垂直导轨所在的平面 纸面 向里 导轨的 1 1 ab 段与 22 a b 段是竖直的 距 离为小1 l 11 c d 段与 22 c d 段也是竖直的 距离为 2 l 11 x y 与 22 x y 为两根用不可伸长的绝缘 轻线相连的金属细杆 质量分别为 1 m 和 2 m 它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触 两杆与导轨构成的回路的总电阻为R F 为作用于金属杆 11 x y 上的竖直向上的恒力 已知 两杆运动到图示位置时 已匀速向上运动 求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路 电阻上的热功率 04 全国 2 解析解析 设杆向上运动的速度为v 因杆的运动 两杆与导轨构成的回路的面积减少 从 而磁通量也减少 由法拉第电磁感应定律 回路中的感应电动势的大小 21 EB ll v 回路中的电流 E I R 电流沿顺时针方向 两金属杆都要受到安培力作用 作用于杆 11 x y 的安培力为 11 fBl I 方向向上 作用于杆 22 x y 的安培力 22 fBl I 方向向下 当杆作匀速运动时 根据牛顿第二定律有 1212 0Fm gm gff 解以上各式 得 3 3 12 21 Fmm g I B ll 12 22 21 Fmm g vR B ll 作用于两杆的重力的功率的大小 12 Pmm gv 电阻上的热功率 2 QI R 由 式 可得 12 12 22 21 Fmm g PR mm g B ll 2 12 21 Fmm g QR B ll 二 在二 在水平导轨水平导轨上的上的 双杆滑动双杆滑动 问题问题 一 等间距水平导轨 无水平外力作用一 等间距水平导轨 无水平外力作用 安培力除外 够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内 两导轨间的距离为 l 导轨上面横放着 两根导体棒 ab 和 cd 构成矩形回路 如图 2 所示 两根导体 棒的质量皆为 m 电阻皆为 R 回路中其余电阻不计 整个导 轨平面内都有竖直向上的匀强磁场 磁感应强度为 B 设两导 体棒均可沿导轨无摩擦的滑行 开始时棒 cd 静止 棒 ab 有指 向棒 cd 的初速度 v0 若两导体棒在运动中始终不接触 求 1 运动中产生焦耳热最多是多少 2 当 ab 棒的速度变为初速度的 3 4 时 cd 棒的加速度是多少 解析解析 ab 棒向 cd 棒运动时 两棒和导轨构成的回路的面积变小 穿过它的磁通量也变 小 在回路中产生了感应电流 用楞次定律和安培定则判断其方向如图 3 所示 又由左手 定则可判断 ab 棒受到的与运动方向相反的安培力作用 作减 速运动 cd 棒受到安培力作用作加速运动 在 ab 棒速度大于 cd 棒的速度时 两棒间的距离总会减小 回路中总有感应电流 ab 会继续减速 cd 会继续加速 当两棒的速度相等时 回路 的面积保持不变 磁通量不变化 不产生感应电流 两棒此时 不受安培力作用 以相同的速度向右作匀速直线运动 1 从初始至两棒达到速度相同的过程中 两棒组成的系统受外力之和为零 系统的总 动量守恒 有 mv0 2mv 所以最终作匀速直线运动的速度为 v v0 2 两棒的速度达到相等前 两棒机械能不断转化为回路的电能 最终电能又转化为内能 两棒速度相等后 两棒的机械能不变化 根据能量守恒定律得整个过程中产生的焦耳最多 时是两棒速度相等时 而且最多的焦耳热为两棒此时减小的机械能 222 00 111 2 224 Qmvm vmv 4 4 2 设 ab 棒的速度变为初速度的 3 4 时 cd 棒的速度为 又由动量守恒定律得 v 1 00 3 4 mvmvmv 因 ab 和 cd 切割磁感线产生的感应电动势方向相反 所以此时回路中的感应电动势为 2 0 3 4 abcd EEEBlvBlv 由闭合电路欧姆定律得此时通过两棒的感应电流为 3 2 E I R 此时 cd 棒所受的安培力为 F BI l 联立解得加速度为 2 0 4 Bl vF a mmR 二 不等间距水平导轨 无水平外力作用二 不等间距水平导轨 无水平外力作用 安培力除外 如图所示 光滑导轨 等高平行放置 间宽度为间宽度的 3 倍 导 轨右侧水平且处于竖直向上的匀强磁场中 左侧呈弧形升高 是质量均为的金 属棒 现让从离水平轨道高处由静止下滑 设导轨足够长 试求 1 棒的 最终速度 2 全过程中感应电流产生的焦耳热 解析解析 下滑进入磁场后切割磁感线 在电路中产生感应电流 各受不 同的磁场力作用而分别作变减速 变加速运动 电路中感应电流逐渐减小 当感应电流为 零时 不再受磁场力作用 各自以不同的速度匀速滑动 1 自由下滑 机械能守恒 由于 串联在同一电路中 任何时刻通过的电流总相等 金属棒有效长度 故它们的磁场力为 5 5 在磁场力作用下 各作变速运动 产生的感应电动势方向相反 当 时 电路中感应电流为零 安培力为零 运动趋于稳定 此时 有 所以 受安培力作用 动量均发生变化 由动量定理得 联立以上各式解得 2 根据系统的总能量守恒可得 三 等间距水平导轨 受水平外力作用三 等间距水平导轨 受水平外力作用 安培力除外 两根平行的金属导轨 固定在同一水平面上 磁感强度的匀强磁场与导轨 所在平面垂直 导轨的电阻很小 可忽略不计 导轨间的距离 两根质量均为 的平行金属杆甲 乙可在导轨上无摩擦地滑动 滑动过程中与导轨保持垂直 每根金属杆的电阻为 在时刻 两杆都处于静止状态 现有一与导轨平 行 大小为 0 20N 的恒力作用于金属杆甲上 使金属杆在导轨上滑动 经过 金属杆甲的加速度为 求此时两金属杆的速度各为多少 6 6 解析解析 设任一时刻 两金属杆甲 乙之间的距离为 速度分别为和 经过很短时 间 杆甲移动距离 杆乙移动距离 回路面积改变 由法拉第电磁感应定律 回路中的感应电动势 回路中的电流 杆甲的运动方程 由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等 方向相反 所以两杆的动量变化 时为 0 等于外力 F 的冲量 联立以上各式解得 代入数据得 8 15m s 1 85m s 三 三 绳连绳连的的 双杆滑动双杆滑动 问题问题 两金属杆 ab 和 cd 长均为 l 电阻均为 R 质量分别为 M 和 m M m 用两根质量和 电阻均可忽略的不可伸长的柔软导线将它们连成闭合回路 并悬挂 在水平光滑不导电的圆棒两侧 两金属杆处在水平位置 如图 4 所 示 整个装置处在一与回路平面相垂直的匀强磁场中 磁感强度为 B 若金属杆 ab 正好匀速向下运动 求运动速度 解析解析 设磁场垂直纸面向里 ab 杆匀速向下运动时 cd 杆匀速 向上运动 这时两杆切割磁感线运动产生同方向的感应电动势和电 流 两棒都受到与运动方向相反的安培力 如图 5 所示 速度越大 电流越大 安培力也越大 最后 ab 和 cd 达到力的平衡时作匀速直线运动 回路中的感应电动势 12 2EEEBlv 7 7 回路中的电流为 2 EBlv I RR ab 受安培力向上 cd 受安培力向下 大小都为 2 2 B l v FBIl R 设软导线对两杆的拉力为 T 由力的平衡条件 对 ab 有 T F Mg 对 cd 有 T mg F 所以有 解得 2 2 2 B l v Mm g R 2 2 2 Mm gR v B l 小结小结 从以上的分析可以看出处理 双杆滑动 问题要注意以下几点 1 在分析双杆切割磁感线产生的感应电动势时 要注意是同向还是反向 可以根据切割磁 感线产生的感应电流的方向来确定 若同向 回路的电动势是二者相加 反之二者相减 一般地 两杆向同一方向移动切割磁感线运动时 两杆中产生的感应电动势是方向相反的 向反方向移动切割磁感线时 两杆中产生的感应电动势是方向相同的 线圈中的感应电动 势是 同向减 反向加 2 计算回路的电流时 用闭合电路欧姆定律时 电动势是回路的电动势 不是一根导体中 的电动势 电阻是回路的电阻 而不是一根导体的电阻 3 要对导体杆进行两种分析 一是正确的受力分析 根据楞次定律可知安培力总是阻碍导 体杆的相对运动的 也可先判断出感应电流方向 再用左手定则判断安培力的方向 二是 正确的进行运动情况分析 这两步是正确选用物理规律基础 4 合理选用物理规律 包括力的平衡条件 动能定理 动量定理 机械能守恒定律 能量 守恒定律 欧姆定律 焦耳定律 楞次定律 法拉第电磁感应定律等 处理这类问题可以 利用力的观点进行分析 也可以利用能的观点进行分析 还可以利用动量的观点进行分析 在利用能的观点进行分析时 要注意导体克服安培力作功的过程是把其它形式的能转化为 8 8 电能的过程 类类 型型 水平导轨 无水平外力水平导轨 无水平外力不等间距导轨 无水不等