线性代数+高数基础知识框架

22 线线性性代代数数 知知识识框框架架 000 n T A r An A A AxxAx A Ax A A AE 可逆 的列 行 向量线性无关 的特征值全不为0 只有零解 0 总有唯一解 是正定矩阵 R R 12 si Ap ppp nBABEABE 是初等阵 存在阶矩阵使得 或 注 全体维实向量构成的集合叫做维向量空间 n n R Rn 0 A r An AA A AxA 不可逆 0的列 行 向量线性相关 0是的特征值 有非零解 其基础解系即为关于0的 特征向量 注 0 a b r aEbAn aEbAaEbA x 0有非零解 具有 向量组等价 矩阵等价 反身性 对称性 传递性 矩阵相似 矩阵合同 23 关于 12 n e ee 称为的标准基 中的自然基 单位坐标向量 n n 152 p教材 线性无关 12 n e ee 12 1 n e ee tr E n 任意一个维向量都可以用线性表示 n 12 n e ee 行列式的定义 1 2 12 1 2 11121 21222 12 12 n n n n nj jj njjnj j jj nnnn aaa aaa Da aa aaa 1 行列式的计算 行列式按行 列 展开定理 行列式等于它的任一行 列 的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和 推论 行列式某一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 若都是方阵 不必同阶 则AB与 mn AOAAO A B OBOBB OAA A B BOBO 1 上三角 下三角 主对角行列式等于主对角线上元素的乘积 24 关于副对角线 1 2 11 2121 121 11 n n nn nn nnn nn aOa aa a aa aOaO 1 范德蒙德行列式 12 222 12 1 111 12 n ij n n ij nnn n xxx xxxxx xxx 111 矩阵的定义 由个数排成的行列的表称为矩阵 记作 或m n mn 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa m n ij m n Aa m n A 伴随矩阵 为中各个元素的代数余子式 11211 12222 12 n T n ij nnnn AAA AAA AA AAA ij AA 逆矩阵的求法 注 1 A A A 1 abdb cdcaadbc 1 1 A EE A 初等行变换 25 1 2 3 11 1 1 2 1 3 a a a a a a 3 2 1 11 1 1 2 1 3 a a a a a a 方阵的幂的性质 mnm n A AA mnmn AA 设的列向量为 的列向量为 m nn s AB A 12 n B 12 s 则 为的解 m s ABC 11121 21222 1212 12 s s ns nnns bbb bbb c cc bbb ii Ac is 1 2 i i Axc 可由线性表示 同理 的行向量能由的行向量线性表示 为系数矩 121212 sss AAAAc cc 12 s c cc 12 n CB T A 阵 用对角矩阵左乘一个矩阵 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的行向量 用对角矩阵右乘一个矩阵 相当于用的对角线上的各元素依次乘此矩阵的列向量 两个同阶对角矩阵相乘只用把对角线上的对应元素相乘 分块矩阵的转置矩阵 T TT TT ABAC CDBD 分块矩阵的逆矩阵 1 1 1 AA BB 1 1 1 AB BA 1 111 ACAA CB OBOB 1 1 11 AOAO CBB CAB 26 分块对角阵相乘 1111 2222 AB AB AB 1111 2222 A B AB A B 分块对角阵的伴随矩阵 ABA BAB 矩阵方程的解法 设法化成 0A AXBXAB I 或 I I A BE X 初等行变换 I 的解法 构造 TTT T A XB XX I I 的解法 将等式两边转置化为 用 I 的方法求出 再转置得 与同解 列向量个数相同 则 0Ax 0Bx A B 它们的极大无关组相对应 从而秩相等 它们对应的部分组有一样的线性相关性 它们有相同的内在线性关系 矩阵与的行向量组等价齐次方程组与同解 左乘可逆矩阵 m n A l n B 0Ax 0Bx PAB P 101 p教材 矩阵与的列向量组等价 右乘可逆矩阵 m n A l n B PQB Q 判断是的基础解系的条件 12 s 0Ax 线性无关 12 s 都是的解 12 s 0Ax snr A 每个解向量中自由未知量的个数 27 一个齐次线性方程组的基础解系不唯一 零向量是任何向量的线性组合 零向量与任何同维实向量正交 单个零向量线性相关 单个非零向量线性无关 部分相关 整体必相关 整体无关 部分必无关 原向量组无关 接长向量组无关 接长向量组相关 原向量组相关 两个向量线性相关对应元素成比例 两两正交的非零向量组线性无关 114 p教材 向量组中任一向量 都是此向量组的线性组合 12 n i 1i n 向量组线性相关向量组中至少有一个向量可由其余个向量线性表示 12 n n 1 向量组线性无关向量组中每一个向量都不能由其余个向量线性表示 12 n i n 1 维列向量组线性相关 m 12 n r An 维列向量组线性无关 m 12 n r An r AAO 0 若线性无关 而线性相关 则可由线性表示 且表示法唯一 12 n 12 n 12 n 矩阵的行向量组的秩列向量组的秩矩阵的秩 行阶梯形矩阵的秩等于它的非零行的个数 行阶梯形矩阵 可画出一条阶梯线 线的下方全为 每个台阶只有一行 台阶数即是非零行的行数 阶梯线的竖线后面的第一个元素非零 当非零行的第一个非零元0 为 1 且这些非零元所在列的其他元素都是时 称为行最简形矩阵0 矩阵的行初等变换不改变矩阵的秩 且不改变列向量间的线性关系 矩阵的列初等变换不改变矩阵的秩 且不改变行向量间的线性关系 即 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩 28 矩阵的初等变换和初等矩阵的关系 对施行一次初等行变换得到的矩阵 等于用相应的初等矩阵左乘 AA 对施行一次初等列变换得到的矩阵 等于用相应的初等矩阵右乘 AA 矩阵的秩 如果矩阵存在不为零的阶子式 且任意阶子式均为零 则称矩阵的秩为 记作Arr 1Ar r Ar 向量组的秩 向量组的极大无关组所含向量的个数 称为这个向量组的秩 记作 12 n 12 n r 矩阵等价 经过有限次初等变换化为 记作 ABAB 向量组等价 和可以相互线性表示 记作 12 n 12 n 1212 nn 矩阵与等价 可逆作为向量组等价 即 秩相等的向量组不一定等价 AB PAQB P Q r Ar BA B 矩阵与作为向量组等价AB 1212 nn rr 1212 nn r 矩阵与等价 AB 向量组可由向量组线性表示有解 12 s 12 n AXB 12 n r 1212 ns r 12 s r 12 n r 向量组可由向量组线性表示 且 则线性相关 12 s 12 n sn 12 s 向量组线性无关 且可由线性表示 则 12 s 12 n sn 向量组可由向量组线性表示 且 则两向量组等价 12 s 12 n 12 s r 12 n r p教材94 例10 任一向量组和它的极大无关组等价 向量组的任意两个极大无关组等价 向量组的极大无关组不唯一 但极大无关组所含向量个数唯一确定 若两个线性无关的向量组等价 则它们包含的向量个数相等 29 若是矩阵 则 若 的行向量线性无关 Am n min r Am n r Am A 若 的列向量线性无关 即 线性无关 r An A 12 n 矩阵的秩的性质 AOr A 若10 m n r A min m n TT r Ar Ar A A p教材101 例15 r kAr Ak 若0 r AB r Ar B max r A r B r A B r Ar B p教材70 AOOA rr Ar B OBBO AC rr Ar B OB r AB min r A r B m nn s ABr ABr Ar B 若且0n Ar ABr B 若可逆 Br ABr A 若可逆 若且在矩阵乘法中有左消去律 0 m n Ax r An r ABr B 只有零解 A 0ABB ABACBC 若 且在矩阵乘法中有右消去律 n s r Bnr ABr B B 初等矩阵的性质 30 E i j 1 E i kk E i j k 1 T E i jE i j T E i kE i k T E i j kE j i k 1 E i jE i j 1 1 k E i kE i 1 E i j kE i jk E i jE i j 1 k E i kkE i E i j kE i jk 31 12 12 0 A n n Ax n AxA Axr Ar A Ax n 当为方阵时 有无穷多解 表示法不唯一 线性相关有非零解0 可由线性表示有解 有唯一组解 12 12 0 A n n AxA r Ar A Axr Ar 当为方阵时 表示法唯一 线性无关只有零解0克莱姆法则 不可由线性表示无解 1 A r Ar A 注 Ax Ax 有无穷多解其导出组有非零解 有唯一解其导出组只有零解 线性方程组的矩阵式 向量式 Ax 1122nn xxx 1112111 2122222 12 n n mmmnnm aaaxb aaaxb Ax aaaxb 1 2 2 j j j mj jn 1 1 2 12 n n x x x 32 矩阵转置的性 质 TT AA T TT ABB A T T kAkA T AA TTT ABAB 11 TT AA TT AA 矩阵可逆的性 质 11 AA 111 ABB A 111 kAk A 1 1 AA 111 ABAB 11 kkk AAA 伴随矩阵的性 质 2 n AAA ABB A 1 n kAkA 1n AA ABAB 11 A A AA kk AA 1 1 0 1 nr An r Ar An r An 若 若 若 ABA B n kAkA k k AA ABAB AAA AA E 无条件恒成立 33 线性方程组解的性质 1212 12 121122 1212 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 k kkk Ax Axk k Axk AxAxAx AxAx 是的解也是它的解 是的解对任意也是它的解 齐次方程组 是的解对任意个常数 也是它的解 是的解是其导出组的解是的解 是的两个解是其导出组的解 2112 12 112212 112212 0 7 1 00 k kkk kkk AxAx Ax Ax Ax 是的解则也是它的解是其导出组的解 是的解则 也是的解 是的解 设为矩阵 若 一定有解 Am n r Am r Ar A Ax 当时 一定不是唯一解 则该向量组线性相关 mn 方程个数未知数的个数 向量维数向量个数 是的上限 m r Ar A 和 标准正交基 个维线性无关的向量 两两正交 每个向量长度为 1 nn 与正交 0 是单位向量 1 内积的性质 正定性 0 0 且 对称性 双线性 1212 34 1212 ccc 的特征矩阵 AEA 的特征多项式 A EAf 是矩阵的特征多项式 f A f AO 的特征方程 AEA 0AxxAxx 与线性相关 称为矩阵的迹 12n A 1 n i A t rAt rA 上三角阵 下三角阵 对角阵的特征值就是主对角线上的各元素 n 若 则为的特征值 且的基础解系即为属于的线性无关的特征向量 0A 0A0Ax 0 一定可分解为 从而的特征值为 1r A AA 1 2 12 n n a a bbb a 2 1 122 nn Aaba ba b A A 11 122nn Aaba ba b t r 23n 0 p指南358 若的全部特征值 是多项式 则 A 12 n f A 的全部特征值为 f A 12 n fff 12 n f Afff 若满足 则的任何一个特征值必满足 A 0f A A i f 0 35 设 对阶矩阵规定 为的一个多项式 1 110 mm mm f xa xaxa xa nA 1 110 mm mm f Aa AaAa Aa E A 1 23 1 1 22 T A mm kkA abaAbE A A A A A A 是的特征值则 分别有特征值 1 23 11 2 2 A m m k kA ab aAbE A xAx A A A 是关于的特征向量则也是关于的特征向量 的特征向量不一定是的特征向量 2 m AAA 与有相同的特征值 但特征向量不一定相同 A T A 与相似 为可逆矩阵 记为 AB 1 BP AP PAB 与正交相似 为正交矩阵 AB 1 BP AP P 可以相似对角化 与对角阵相似 记为 称是的相似标准形 AA A A 可相似对角化 为的重数恰有个线性无关的特征向量 这时 为的特征向量拼成的矩阵 为对角阵 主对角线A ii nrEAk i k i AnPA 1 P AP 上的元素为的特征值 设为对应于的线性无关的特征向量 则有 A i i 36 1 2 1212112212 nnnnn n PP AAAA 注 当为的特征值时 可相似对角化的重数 基础解系的个数 i 0AA i nr A 0Ax 若可相似对角化 则其非零特征值的个数 重数重复计算 A r A 若阶矩阵有个互异的特征值 则可相似对角化 nAnA 若 A k A 1k PP 1 211 n APPPP 相似矩阵的性质 AB t rt r 从而同时可逆或不可逆AB A B r Ar B 若均可逆 TT AB 11 AB A B AB 为整数 kk AB k f Af B f Af B AB AB CD CD 37 从而有相同的特征值 但特征向量不一定相同 EAEB A B 注 是关于的特征向量 是关于的特征向量 xA 0 1 P x B 0 数量矩阵只与自己相似 对称矩阵的性质 特征值全是实数 特征向量是实向量 不同特征值对应的特征向量必定正交 注 对于普通方阵 不同特征值对应的特征向量线性无关 必可用正交矩阵相似对角化 即 任一实二次型可经正交变换化为标准形 与对角矩阵合同 即 任一实二次型可经可逆线性变换化为标准形 一定有个线性无关的特征向量 可能有重的特征值 该特征值的重数 nA i i nrEA 正交矩阵 T AAE 为正交矩阵的个行 列 向量构成的一组标准正交基 A An n 正交矩阵的性质 1T AA TT AAA AE 正交阵的行列式等于 1 或 1 是正交阵 则 也是正交阵 A T A 1 A 两个正交阵之积仍是正交阵 的行 列 向量都是单位正交向量组 A 二次型 即为对称矩阵 12 11 nn T nijij ij f x xxx Axa x x ijji aa A 12 T n xx xx 38 与合同 记作 AB T BC AC AB A BC为对称阵为可逆阵 正惯性指数 二次型的规范形中正项项数 负惯性指数二次型的规范形中负项项数 prp 符号差 为二次型的秩 2pr r 两个矩阵合同的充分必要条件是 它们有相同的正负惯性指数 两个矩阵合同的充分条件是 AB 两个矩阵合同的必要条件是 r Ar B 经过化为标准形 12 T n f x xxx Ax 正交变换 合同变换 可逆线性变换 xCy 2 1 n ii fd y 二次型的标准形不是唯一的 与所作的正交变换有关 但非零系数的个数是