高考数学大二轮总复习与增分策略 专题七 概率与统计 第1讲 排列、组合、二项式定理练习 理.doc

第1讲排列、组合、二项式定理1(2016四川)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为()A24 B48C60 D72答案D解析由题可知，五位数为奇数，则个位数只能是1,3,5；分为两步：先从1,3,5三个数中选一个作为个位数有C，再将剩下的4个数字排列得到A，则满足条件的五位数有CA72(个)选D.2(2016课标全国甲)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()A24 B18 C12 D9答案B解析从E到F的最短路径有6条，从F到G的最短路径有3条，所以从E到G的最短路径为6318(条)，故选B.3(2016课标全国乙)(2x)5的展开式中，x3的系数是_(用数字填写答案)答案10解析(2x)5展开式的通项公式k0,1,2,3,4,5，令53，解得k4，得x3的系数是10.4(2016上海)在()n的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_答案112解析2n256，n8，通项取k2，常数项为C(2)2112.1.高考中主要利用计数原理求解排列数、涂色、抽样问题，以小题形式考查；2.二项式定理主要考查通项公式、二项式系数等知识，近几年也与函数、不等式、数列交汇，值得关注.热点一两个计数原理分类加法计数原理和分步乘法计数原理如果每种方法都能将规定的事件完成，则要用分类加法计数原理，将方法种数相加；如果需要通过若干步才能将规定的事件完成，则要用分步乘法计数原理，将各步的方法种数相乘例1(1)如图所示，用4种不同的颜色涂入图中的矩形A，B，C，D中，要求相邻的矩形涂色不同，则不同的涂法有()A72种 B48种C24种 D12种(2)如果一个三位正整数“a1a2a3”满足a1a2且a3a2，则称这样的三位数为凸数(如120,343,275)，那么所有凸数的个数为()A240 B204C729 D920答案(1)A(2)A解析(1)按要求涂色至少需要3种颜色，故分两类一是4种颜色都用，这时A有4种涂法，B有3种涂法，C有2种涂法，D有1种涂法，共有432124(种)涂法；二是用3种颜色，这时A，B，C的涂法有43224(种)，D只要不与C同色即可，故D有2种涂法，故不同的涂法共有2424272(种)(2)分8类，当中间数为2时，有122(个)；当中间数为3时，有236(个)；当中间数为4时，有3412(个)；当中间数为5时，有4520(个)；当中间数为6时，有5630(个)；当中间数为7时，有6742(个)；当中间数为8时，有7856(个)；当中间数为9时，有8972(个)故共有26122030425672240(个)思维升华(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理(2)对于复杂的两个原理综合使用的问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化跟踪演练1(1)将1,2,3，9这九个数字填在如图所示的9个空格中，要求每一行从左到右，每一列从上到下增大，当3,4固定在图中的位置时，填写空格的方法有()A6种 B12种C18种 D24种(2)在一次游戏中，三个人采用击鼓传花的方式决定最后的表演者，三个人互相传递，每人每次只能传一下，由甲开始传，若经过五次传递后，花又被传回给甲，则不同的传递方式有_种(用数字作答)答案(1)A(2)10解析(1)分为三个步骤：12349第一步，数字1,2,9必须放在如图的位置，只有1种方法第二步，数字5可以放在左下角或右上角两个位置，故数字5有2种方法第三步，数字6如果和数字5相邻，则7,8有1种方法；数字6如果不和数字5相邻，则7,8有2种方法，故数字6,7,8共有3种方法根据分步乘法计数原理，有1236(种)填写空格的方法(2)根据题意，画出树状图所以共有10种不同的传递方法热点二排列与组合名称排列组合相同点都是从n个不同元素中取m(mn)个元素，元素无重复不同点排列与顺序有关；两个排列相同，当且仅当这两个排列的元素及其排列顺序完全相同组合与顺序无关；两个组合相同，当且仅当这两个组合的元素完全相同例2(1)某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和1个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是()A72 B120C144 D168(2)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张，从中任取3张，要求取出的卡片不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，则不同的取法共有()A232种 B252种C472种 D484种答案(1)B(2)C解析(1)先安排小品节目和相声节目，然后让歌舞节目去插空安排小品节目和相声节目的顺序有三种：“小品1，小品2，相声”“小品1，相声，小品2”和“相声，小品1，小品2”对于第一种情况，形式为“小品1歌舞1小品2相声”，有ACA36(种)安排方法；同理，第三种情况也有36种安排方法，对于第二种情况，三个节目形成4个空，其形式为“小品1相声小品2”，有AA48(种)安排方法，故共有363648120(种)安排方法(2)由题意知，任取3张卡片，共有C种取法，其中取出的3张卡片是同一种颜色，有4C种取法，另外，只取出两张红色卡片有CC种取法，故所求的取法共有C4CCC5601672472(种)思维升华求解排列、组合问题的思路：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘具体地说，解排列、组合的应用题，通常有以下途径：(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置(3)先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数解答计数问题多利用分类讨论思想分类应在同一标准下进行，确保“不漏”“不重”跟踪演练2(1)在某真人秀活动中，村长给6位“萌娃”布置了一项搜寻空投食物的任务已知：食物投掷地点有远、近两处；由于Grace年纪尚小，所以她要么不参与该项任务，但此时另需一位“萌娃”在大本营陪同，要么参与搜寻近处投掷点的食物；所有参与搜寻任务的“萌娃”须均分成两组，一组去远处，一组去近处，则不同的搜寻方案有()A40种 B70种C80种 D100种(2)2名男生和5名女生排成一排，若男生不能排在两端又必须相邻，则不同的排法种数为()A480 B720C960 D1 440答案(1)A(2)C解析(1)Grace不参与该项任务，有CCC30(种)方案，Grace参与该项任务，有CC10(种)方案，故共有301040(种)不同的搜寻方案故选A.(2)把2名男生看成1个元素，和5名女生共6个元素进行全排列，又2名男生的顺序可调整，故共有AA种方法，其中男生在两端的情形共2AA种，故总的方法种数为AA2AA960.故选C.热点三二项式定理(ab)nCanCan1bCankbkCbn，其中各项的系数就是组合数C(k0,1，n)叫做二项式系数；展开式中共有n1项，其中第k1项Tk1Cankbk(其中0kn，kN，nN*)称为二项展开式的通项公式例3(1)设则二项式n的展开式中x2的系数为()A80 B90C120 D160(2)(2016天津)8的展开式中x7的系数为_(用数字作答)答案(1)D(2)56解析(1)因为所以(2x)6的展开式的通项令62，得k3，所以x2的系数为C23160.(2)8的通项Tk1C(x2)8kk(1)kCx163k，当163k7时，k3，则x7的系数为(1)3C56.思维升华(1)在应用通项公式时，要注意以下几点：它表示二项展开式的任意项，只要n与k确定，该项就随之确定；Tk1是展开式中的第k1项，而不是第k项；公式中，a，b的指数和为n，且a，b不能随便颠倒位置；对二项式(ab)n展开式的通项公式要特别注意符号问题(2)在二项式定理的应用中，“赋值思想”是一种重要方法，是处理组合数问题、系数问题的经典方法跟踪演练3(1)()10的展开式中系数为正数的有理项有()A1项 B2项C3项 D4项(2)设A37C35C33C3，BC36C34C321，则AB_.答案(1)B(2)128解析(1)()10展开式的通项为Tk1C()10k()k(其中kN且0k10)，所以k2,5,8时的项为有理项，且k2,8时的项的系数为正数，故满足条件的有2项，故选B.(2)AB37C36C35C34C33C32C31(31)727128.1某电视台一节目收视率很高，现要连续插播4个广告，其中2个不同的商业广告和2个不同的公益宣传广告，要求最后播放的必须是商业广告，且2个商业广告不能连续播放，则不同的播放方式有()A8种 B16种 C18种 D24种押题依据两个计数原理是解决排列、组合问题的基础，也是高考考查的热点答案A解析可分三步：第一步，最后一个排商业广告有A种；第二步，在前两个位置选一个排第二个商业广告有A种；第三步，余下的两个排公益宣传广告有A种根据分步乘法计数原理，可得不同的播放方式共有AAA8(种)故选A.2为配合足球国家战略，教育部特派6名相关专业技术人员到甲、乙、丙三所足校进行专业技术培训，每所学校至少一人，其中王教练不去甲校的分配方案种数为()A60 B120C240 D360押题依据排列、组合的综合问题是常见的考查形式，解决问题的关键是先把问题正确分类答案D解析6名相关专业技术人员到三所足校，每所学校至少一人，可能的分组情况为4,1,1；3,2,1；2,2,2.(1)对于第一种情况，由于王教练不去甲校，王教练自己去一个学校有C种，其余5名分成一人组和四人组有CA种，共CAC20(种)；王教练分配到四人组且该组不去甲校有CCA40(种)，则第一种情况共有204060(种)(2)对于第二种情况，王教练分配到一人组有CCAC40(种)，王教练分配到三人组有CCCA120(种)，王教练分配到两人组有CCCA80(种)，所以第二种情况共有4080120240(种)(3)对于第三种情况，共有CCCC60(种)综上所述，共有6024060360(种)分配方案3设(12x)7a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5a6x6a7x7，则代数式a12a23a34a45a56a67a7的值为()A14 B7C7 D14押题依据二项式定理作为选择题或填空题设计，属于必考试题，一般试题难度有所控制，考查常数项、指定项的系数、最值、系数和等类型，本题设问角度新颖、典型，有代表性答案A解析对已知等式的两边求导，得14(12x)6a12a2x3a3x24a4x35a5x46a6x57a7x6，令x1，有a12a23a34a45a56a67a714.故选A.4(12x)10的展开式中系数最大的项是_押题依据二项展开式中的系数是历年高考的热门话题，常考常新，本题通过求解系数最大的项，考查考生的运算求解能力答案15 360x7解析设第k1项的系数最大，由通项公式Tk1C2kxk，依题意知Tk1项的系数不小于Tk项及Tk2项的系数，即解得所以k，即k7.故最大的项为T8C27x715 360x7.A组专题通关1从8名女生和4名男生中，抽取3名学生参加某档电视节目，如果按性别比例分层抽样，则不同的抽取方法数为()A224 B112C56 D28答案B解析根据分层抽样，从8名女生中抽取2人，从4名男生中抽取1人，所以抽取2名女生1名男生的方法数为CC112.25人站成一排，甲、乙两人必须站在一起的不同排法有()A12种 B24种C48种 D60种答案C解析可先排甲、乙两人，有A2(种)排法，再把甲、乙两人与其他三人进行全排列，有A24(种)排法，由分步乘法计数原理，得一共有22448(种)排法，故选C.3(2016四川)设i为虚数单位，则(xi)6的展开式中含x4的项为()A15x4 B15x4C20ix4 D20ix4答案A解析由题可知，含x4的项为Cx4i215x4.故选A.4在二项式(x2)n的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为()A32 B32C0 D1答案C解析依题意得所有二项式系数的和为2n32，解得n5.因此，令x1，则该二项展开式中的各项系数的和等于(12)50，故选C.5已知(1x)(1x)2(1x)3(1x)na0a1xa2x2anxn，且a0a1a2an126，那么()n的展开式中的常数项为()A15 B15 C20 D20答案D解析令x1得a0a1a2an2222n22n121262n11282n127n6，又Tk1C()6k()kC(1)kx3k，所以由3k0得常数项为C20.故选D.6已知等比数列an的第5项是二项式(x)4展开式中的常数项，则a3a7_.答案36解析(x)4的展开式的通项为Tk1Cx42k，令42k0，得k2，常数项为C6，即a56.又an为等比数列，a3a7a6236.7冬季供暖时，供热公司将5名水暖工分配到3个不同的居民小区检查暖气管道，每名水暖工只去一个小区，且每个小区都要有人去检查，那么分配的方案共有_种答案150解析将5名水暖工分成2,2,1或3,1,1三组，共有C25(种)分法，将这三组水暖工分配到3个小区共有A6(种)分法，由分步乘法计数原理得分配方案共有256150(种)8某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各2名，分乘甲、乙两辆汽车，每车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自同一年级的乘坐方式共有_种答案24解析分类讨论，有2种情形孪生姐妹乘坐甲车，则有CCC12(种)乘车方式；孪生姐妹不乘坐甲车，则有CCC12(种)乘车方式根据分类加法计数原理得，共有24种乘车方式9已知(12x)6a0a1xa2x2a6x6，则|a0|a1|a2|a6|_(用数字作答)答案729解析|a0|a1|a2|a6|相当于(12x)6的展开式中各项系数绝对值的和，令x1，得|a0|a1|a2|a6|36729.10若(12x)2 016a0a1xa2 016x2 016，则的值为_答案1解析因为(12x)2 016a0a1xa2 016x2 016，令x，则(12)2 016a00.令x0，可得a01.所以1.B组能力提高11有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这三项任务，不同的选法有()A1 260种 B2 025种C2 520种 D5 040种答案C解析第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C种选派方法；第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C种选派方法根据分步乘法计数原理得不同的选派方法的种数为CCC2 520.12设aZ，且0a13，若512 015a能被13整除，则a等于()A0 B1 C11 D12答案B解析512 015a(521)2 015a522 015C522 014C522 013C521a，它能被13整除，显然a10，得a1，故选B.13某天连续有7节课，其中语文、英语、物理、化学、生物5科各1节，数学2节在排课时，要求生物课不排第1节，数学课要相邻，英语课与数学课不相邻，则不同排法的种数为()A408 B480C552 D816答案A解析数学在第(1,2)节，从除英语的4门课中选1门安排在第3节，剩下的任意排，故有CA96(种)，数学在第(2,3)节，从除英语，生物外的3门课中选1门安排在第1节，从除英语外剩下的3门课中再选1门安排在第4节，剩下的任意排，故有CCA54(种)，数学在(3,4)，(4,5)，(5,6)情况一样，当英语在第1节时，其他任意排，故有A24(种)，当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语的剩下的3门中选2门放在数学课前1节和后1节，剩下的任意排，有CAA36(种)，故有3(2436)180(种)，数学在第(6,7)节，当英语在第一节时，其他任意排，故有A24(种)，当英语不在第1节，从除英语，生物外的3门课中选一门安排在第1节，再从除英语的剩下的3门中选1门放在第5节，剩下的任意排，有CCA54(种)，故有245478(种)，根据分类加法计数原理，共有96