第五章 相似矩阵及二次型答案

1 线性代数习题集答案 第五章 相似矩阵及二次型 A 1 1 不是 2 是 2 1 10 2 15xy 3 1 2 123 111 210 111 123 010 001 100 010 4 1 1212 21 2 3 11 2 123123 111 1 2 3 101 200 3 12312 22 1 1 3 11 22 5 设是的特征值 则 0 A 0000 0 0 TT EAEAEAEA 所以也是的特征值 0 T A 6 设是对称矩阵 即 若与B合同 即可逆 使 A T AA AC T C ACB 也是对称矩阵 TTTTTT BC ACC A CC ACB B 7 反证 若的特征值均非零 可设为 A 的 n 个特征值 则A 12 n 得可逆 这与条件不可逆矛盾 所以必有特征值为 0 12 0 n A AAA 8 1212 21 1 1 11 P 11001 1010 0101 APPAPPE 9 2130aa 2 10 1 1 3 110 1101 PP AP 2 1 111100 101 020 110003 PP AP 11 1 1213016 2116 102 023026 6 0116 1253016 T PQQ AQ 2 131216 0 13026 2 6 131216 T QQ AQ 12 22 13121314232434 1 26243 3 xxx xx xx xx xx xx x 13 1 1 1232 3 113 2 124 3 243 x xxxx x 2 1 2 1234 3 4 01 21 20 1 2010 1 2100 0001 x x xxxx x x 14 配方法 1 11 222222 1234 33 44 1120 0101 2 1 44 00104 0001 yx yx fyyyy yx yx 配方法 2 11 222 22123 33 120 011 25 001 yx yxfyyy yx 配方法 3 1111 222 2222123 3333 110101 110 015 24 001001 xyzy xyzyfzzz xyzy 15 1 2 4 0 5 a 2 a 3 B 1 3 23 AEn 2 A 的特征值分别为 1 2 5 所以 A 可以相似对角化 且 10A 3 解空间的标准正交基为 12 12110 0210 12110 0210 与解空间正交的向量为 1212 10 01 10 11 kkk kR 4 2 3126AE 5 证明 TTTTT EA AAAAAEEA TTT EAEAEA AEA AEA A 1 0AEA 0100AAEA 所以 1 是A的特征值 6 特征值为 1 1 10 所以标准形为 曲 222 254 245 A 222 101xyz 面为旋转椭球面 7 提示 A正定正定 而 且 所以的所有特征值均大于 1 A 1 AA A 0A A 0 所以A正定 8 证明 A正定 可逆矩阵P 使 12 0 T ni APPdiagi 即 121212 11 TT nnn AP diagPP diagdiagP 4 1212 11 T T nn diagPdiagPU U 且U可逆 所以A合同于E 若 作 T AU U TTTT f xx Axx U UxUxUx 若 由U可逆 有0 x 0 0Uxf x 所以正定 所以A正定 f 9 证明 有正交变换 使得xQy 222222 11221121 max max nn nnini f xf Qyyyyyyyy 而 xQyy 11 maxmaxmax i xyi ff 另 不妨设 取 则 11 max n i 01 xe 0111 max n i f xf e 011 1 max max n i y ff x max11 max n ix f C 1 证明 000000000000 0 nTTTTTT xRxx Bxx xxA Axx xAxAx 由 所以B是正定矩阵 0 0000 0 0 TT x xAxAx 00 0 T x Bx 2 证明 1 由条件 由A B是实对称矩阵 所以存在正交矩阵Q R 成 1 PAP BP 立 由A与B相似 所以A与B具有相同的特征值重集 TT AB AQQ BPP 故可设 所以 A与B合同 AB TTTTT AQ PBP QP QB P Q 2 反例 13 32 A 11131095 01321152 B 22 37 117EAEB A与B的特征值重集不相同 所以A与B不相似 但A与B合同 3 证明 5 1 222 01AAor 2 0A AE nR ER AEER AR AENR AR AEn 设方程组的基础解系为 方程组的基础解系为 0AE x 12 r 0Ax 12 rrn 下证向量组 线性无关 12 r 12 rrn 设 1122rr 1122 0 rrrrnn 等式两边同时左乘矩阵A 有 1122 0 rrrrnn 得 12 0 rrn 1122 0 rr 所以向量组 线性无关 12 0 r 12 r 12 rrn 而是A的属于特征值 0 的特征向量 是A的属于特 12 r 12 rrn 征值 1 的特征向量 所以A的n个线性无关的特征向量 所以A可以相似对角化 3 由A的特征值为重集 所以A E的特征值为 1 或 2 即A的所有 0 1 nrr 特征值均大于 0 所以A是右逆矩阵 4 证明 设A的特征值为 B的特征值为 由 A 正定 B 12 n 12 n 半正定 有 0 0 ii i 11221212 nnnn ABAB 而 112