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文档简介
5 3协方差和相关系数 问题对于二维随机变量 X Y 已知联合分布 边缘分布 这说明对于二维随机变量 除了每个随机变量各自的概率特性以外 相互之间可能还有某种联系 问题是用一个什么样的数去反映这种联系 数 反映了随机变量X Y之间的某种关系 可以证明协方差矩阵为半正定矩阵 若D X 0 D Y 0 称 为X Y的相关系数 记为 事实上 利用函数的期望或方差计算协方差 若 X Y 为离散型 若 X Y 为连续型 求cov X Y XY 解 例2设 X Y N 1 12 2 22 求 XY 解 若 X Y N 1 12 2 22 则X Y相互独立 X Y不相关 例3设 0 2 X cos Y cos 是给定的常数 求 XY 解 若 若 有线性关系 若 不相关 但 不独立 没有线性关系 但有函数关系 例4设X Y相互独立 且都服从N 0 2 U aX bY V aX bY a b为常数 且都不为零 求 UV 解 由 而 故 继续讨论 a b取何值时 U V不相关 此时 U V是否独立 但U N 0 2a2 2 V N 0 2a2 2 若a b UV 0 则U V不相关 且U V相互独立 协方差的性质 当D X 0 D Y 0时 当且仅当 时 等式成立 Cauchy Schwarz不等式 证5令 对任何实数t 即 等号成立 有两个相等的实零点 即 又显然 即 即Y与X有线性关系的概率等于1 这种线性关系为 完全类似地可以证明 当E X2 0 E Y2 0时 当且仅当 时 等式成立 相关系数的性质 Cauchy Schwarz不等式的等号成立 即Y与X有线性关系的概率等于1 这种线性关系为 若X Y是两个随机变量 用X的线性函数去逼近Y所产生的平均平方误差为 当取 平均平方误差最小 X Y不相关 X Y相互独立 X Y不相关 若X Y服从二维正态分布 X Y相互独立 X Y不相关 在例3中设 0 2 X cos Y cos 是给定的常数 求得 若 若 有线性关系 若 不相关 没有线性关系 但有其他关系 例5设 X Y N 1 4 1 4 0 5 Z X Y 求 XZ 解 例6设随机变量X的概率密度函数为 1 E X D X 2 求cov X X 问X与 X 是否不相关 3 问X与 X 是否独立 为什么 解 1 2 X与 X 不相关 3 显然 因而X与 X 不独立 例7设A B为随机试验E的两个事件 0 P A 1 0 P B 1 令 证明 若 XY 0 则随机变量X Y相互独立 证设 X Y 的联合分布为 由 即 即 由于事件A B相互独立 必有 也相互独立
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