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试卷第 1 页 总 6 页 外 装 订 线 学校 姓名 班级 考号 内 装 订 线 选修选修 2 3 第二章随机变量分布列练习题第二章随机变量分布列练习题 第第 I I 卷 选择题 卷 选择题 评卷人得分 一 选择题 题型注释 一 选择题 题型注释 1 设随机变量 服从正态分布 若 则 2 0 N 0 1 1pp 的值为 A 1 B l C D 1 2 1 2 2 设随机变量 又 5 则 E 和 D 的值分别是 5 0 5 B A 和 B 和 C 和 D 和 25 2 25 4 5 2 5 4 25 2 125 4 25 4 125 4 3 已知随机变量服从正态分布 则的X 2 2 N8 0 40 XP 4 XP 值等于 A 0 1 B 0 2 C 0 4 D 0 6 4 教育部直属师范大学免费师范毕业生一般回生源所在省份中小学校任教 今年春节 后 我校迎来了陕西师范大学数学系 5 名实习教师 若将 5 名实习教师分配到高一年 级的 3 个班实习 每班至少 1 名 最多 2 名 则不同的分配方案有 A 60 种 B 90 种 C 120 种 D 180 种 5 某班 50 名学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示 其中成绩分组区间 是 40 50 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 从样本成绩不低于 80 分的学生中随机选取 2 人 这 2 人中成绩在 90 分以上 含 90 分 的人数为 则 的数学期望为 A B C D 1 3 1 2 2 3 3 4 6 在高三的一个班中 有的学生数学成绩优秀 若从班中随机找出 5 名学生 那么 1 4 数学成绩优秀的学生数 B 5 则 P k 取最大值的 k 值为 1 4 A 0 B 1 C 2 D 3 7 一袋中有 5 个白球 3 个红球 现从袋中往外取球 每次任取一个记下颜色后放回 直到红球出现 10 次时停止 设停止时共取了 次球 则 P 12 试卷第 2 页 总 6 页 外 装 订 线 请 不 要 在 装 订 线 内 答 题 内 装 订 线 A 10 2 B 9 2 10 12 C 3 8 5 8 9 11 C 3 8 5 8 3 8 C 9 2 D 9 2 9 11 C 5 8 3 8 9 11 C 3 8 5 8 8 甲乙两人分别独立参加某高校自主招生面试 若甲 乙能通过面试的概率都是 2 3 则面试结束后通过的人数 X 的数学期望是 A B C 1 D 4 3 11 9 8 9 9 随机变量 X 的概率分布规律为 P X n n 1 2 3 4 其中 a 是常数 1 a n n 则 P X 的值为 1 2 5 2 A B C D 2 3 3 4 4 5 5 6 10 以下四个命题中 为了了解 800 名学生对学校某项教改试验的意见 打算从中抽取一个容量为的40 样本 考虑用系统抽样 则分段的间隔为 40 k 线性回归直线方程恒过样本中心 且至少过一个样本点 axby yx 在某项测量中 测量结果 若在内取值的概率为 则在 2 2 N 1 1 0 内取值的概率为 其中真命题的个数为 3 2 4 0 A B C D 0123 第第 IIII 卷 非选择题 卷 非选择题 评卷人得分 二 填空题 题型注释 二 填空题 题型注释 11 袋中有大小 质地均相同的 4 个红球与 2 个白球 若从中有放回地依次取出一个 球 记 6 次取球中取出红球的次数为 则 的期望 E 12 随机变量 的分布列如下 1 01 Pabc 其中 a b c 成等差数列 若 E 则 D 1 3 13 某篮球决赛在广东队与山东队之间进行 比赛采用 7 局 4 胜制 即若有一队先胜 4 场 则此队获胜 比赛就此结束 因两队实力相当 每场比赛两队获胜的可能性均 为 据以往资料统计 第一场比赛组织者可获得门票收入 40 万元 以后每场比赛门 1 2 票收入比上一场增加 10 万元 则组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于 390 万 元的概率为 14 某游戏的得分为 1 2 3 4 5 随机变量表示小白玩游戏的得分 若 4 2 则 小白得 5 分的概率至少为 试卷第 3 页 总 6 页 外 装 订 线 学校 姓名 班级 考号 内 装 订 线 15 商场经营的某种袋装大米质量 单位 kg 服从正态分布 任取一袋 2 10 0 1 N 大米 质量不足 9 8kg 的概率为 精确到 0 0001 评卷人得分 三 解答题 题型注释 三 解答题 题型注释 16 甲 乙两篮球运动员进行定点投篮 每人各投 4 个球 甲投篮命中的概率为 1 2 乙投篮命中的概率为 2 3 1 求甲至多命中 2 个且乙至少命中 2 个的概率 2 若规定每投篮一次命中得 3 分 未命中得分 求乙所得分数的概率分布和1 数学期望 17 某商场组织有奖竞猜活动 参与者需要先后回答两道选择题 问题 A 有三个选项 问题 B 有四个选项 但都只有一个选项是正确的 正确回答问题 A 可获奖金 25 元 正 确回答问题 B 可获奖金 30 元 活动规定 参与者可任意选择回答问题的顺序 如果第 一个问题回答正确 则继续答题 否则该参与者猜奖活动终止 假设一个参与者在回 答问题前 对这两个问题都很陌生 只能用蒙猜的办法答题 1 如果参与者先回答问题 A 求其获得奖金 25 元的概率 2 试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大 18 生产A B两种元件 其质量按测试指标划分为 指标大于或等于 82 为正品 试卷第 4 页 总 6 页 外 装 订 线 请 不 要 在 装 订 线 内 答 题 内 装 订 线 小于 82 为次品 现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测 检测结果统计如下 测试指标 70 76 76 82 82 88 88 94 94 100 元件A 81240328 元件B 71840296 试分别估计元件A 元件B为正品的概率 生产一件元件A 若是正品可盈利 50 元 若是次品则亏损 10 元 生产一件元 件B 若是正品可盈利 100 元 若是次品则亏损 20 元 在 的前提下 i 求生产 5 件元件B所获得的利润不少于 300 元的概率 ii 记X为生产 1 件元件A和 1 件元件B所得的总利润 求随机变量X的分布列 和期望 19 已知一个袋子里有形状一样仅颜色不同的 6 个小球 其中白球 2 个 黑球 4 个 现从中随机取球 每次只取一球 1 若每次取球后都放回袋中 求事件 连续取球四次 至少取得两次白球 的概率 2 若每次取球后都不放回袋中 且规定取完所有白球或取球次数达到五次就终止游 戏 记游戏结束时一共取球 X 次 求随机变量 X 的分布列与期望 20 某商场举行的 三色球 购物摸奖活动规定 在一次摸奖中 摸奖者从装有3个红 球 1个蓝球 6 个白球的袋中任意摸出 4 个球 根据摸出4个球中红球与蓝球的个数 设一 二 三等奖如下 奖级摸出红 蓝球个数获奖金额 一等奖3 红 1 蓝200 元 二等奖3 红 1 白50 元 试卷第 5 页 总 6 页 外 装 订 线 学校 姓名 班级 考号 内 装 订 线 三等奖2 红 1 蓝或 2 红 2 白10 元 其余情况无奖且每次摸奖最多只能获得一个奖级 1 求一次摸奖恰好摸到 1 个红球的概率 2 求摸奖者在一次摸奖中获奖金额X的分布列与期望 E X 21 某花店每天以每枝元的价格从农场购进若干枝玫瑰花 然后以每枝元的价格510 出售 如果当天卖不完 剩下的玫瑰花作垃圾处理 1 若花店一天购进枝玫瑰花 求当天的利润 单位 元 关于当天需求量17y 单位 枝 的函数解析式 nnN 2 花店记录了天玫瑰花的日需求量 单位 枝 整理得下表 100 日需求量14151617181920 频数10201616151310 假设花店在这天内每天购进枝玫瑰花 求这天的日利润 单位 元 的10017100 平均数 若花店一天购进枝玫瑰花 以天记录的的各需求量的频率作为各需求量发生17100 的概率 求当天的利润 单位 元 的分布列与数学期望 X 22 持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健康 汽车的尾气排放是造成雾霾天气的 重要因素之一 为此 某城市实施了机动车尾号限行 该市报社调查组为了解市区公众 对 车辆限行 的态度 随机抽查了 50 人 将调查情况进行整理后制成下表 试卷第 6 页 总 6 页 外 装 订 线 请 不 要 在 装 订 线 内 答 题 内 装 订 线 年龄 岁 15 25 25 35 35 45 45 55 55 65 65 75 频数 510151055 支持的人数 469634 请估计该市公众对 车辆限行 的支持率和被调查者的年龄平均值 若从年龄在 15 25 25 35 的被调查者中各随机选取两人进行追踪调查 记被选 4 人中不支持 车辆限行 的人数为 求随机变量的分布列 若在这 50 名被调查者中随机发出 20 份的调查问卷 记为所发到的 20 人中赞 成 车辆限行 的人数 求使概率取得最大值的整数 kP k 答案第 1 页 总 10 页 参考答案参考答案 1 D 解析 试题分析 由知 1 由正态分布 0 1 1pp 1 p 0 p 0 p 曲线的对称性知 故选 D 1 0 2 1 2 考点 正态分布 2 C 解析 试题分析 25 1 1 5 2 5 05 pnpDnpEB 并由关系 4 125 25 2 25 5 DDEE 考点 1 二项分布期望与方差的计算 2 满足线性关系两变量之间的期望与方差的 关系 3 A 解析 试题分析 由正态分布的特点 分布曲线关于均值 左右对称 2 u 则 且 04 0 8PX 2 08 01 4 0 XPXP 4 0 XPXP 故 1 0 4 XP 考点 正态分布曲线性质应用 4 B 解析 试题分析 先将 5 名实习教师分成 3 组有种 再将这 3 个组分配到三个班级有 2 2 1 1 2 3 2 5 A CCC 种 由分步计数原理得 其不同的分配方案有种 3 3 A90 3 3 2 2 1 1 2 3 2 5 A A CCC 考点 排列与组合 5 B 解析 由频率分布直方图知 3 0 006 10 0 01 10 0 054 10 10 x 1 解得 x 0 018 成绩不低于 80 分的学生有 0 018 0 006 10 50 12 人 成绩在 90 分以 上 含 90 分 的学生有 0 006 10 50 3 人 的可能取值为 0 1 2 P 0 2 9 2 12 C C P 1 P 2 6 11 11 39 2 12 CC C 9 22 2 3 2 12 C C 1 22 的分布列为 答案第 2 页 总 10 页 012 P 6 11 9 22 1 22 E 0 1 2 选 B 6 11 9 22 1 22 1 2 6 B 解析 依题意 5 k k 5 k 1 k 1且 5 k k 5 k C 3 4 1 4 1 5 k C 3 4 1 4 5 k C 3 4 1 4 5 k 1 k 1 解得 k k 1 故选 B 1 5 k C 3 4 1 4 1 2 3 2 7 B 解析 P 12 表示第 12 次为红球 前 11 次中有 9 次为红球 故 P 12 9 2 故选 B 9 11 C 3 8 5 8 3 8 8 A 解析 依题意 X 的取值为 0 1 2 且 P X 0 1 1 2 3 2 3 1 9 P X 1 1 1 2 3 2 3 2 3 2 3 4 9 P X 2 2 3 2 3 4 9 故 X 的数学期望 E X 0 1 2 故选 A 1 9 4 9 4 9 12 9 4 3 9 D 解析 由题意得 1 解得 a 2 a 6 a 12 a 20 a5 4 于是 P X P X 1 P X 2 a 故选 D 1 2 5 22 a 6 a2 3 5 6 10 B 解析 试题分析 由题意知本题是一个系统抽样 总体中个体数是 800 样本容量是 40 根 据系统抽样的步骤 得到分段的间隔 故 是假命题 800 20 40 k 线性回归直线方程恒过样本中心 但不一定过样本点 故 是假命题 ybxa x y 由于服从正态分布 则正态分布图象的对称轴为 2 2 N 0 2x 故在内取值的概率为 2 0 5 又由在内取值的概率为 则在内取值的概率为 1 0 1 1 2 0 4 答案第 3 页 总 10 页 故在内取值的概率为 故 是真命题 2 3 0 4 考点 线性回归方程 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义 11 4 解析 依题意得 的可能取值分别是 0 1 2 3 4 5 6 且每次取球取出红球的概率均 是 故 B 6 因此 E 6 4 4 42 2 3 2 3 2 3 12 5 9 解析 根据已知条件得 1 2 1 3 abc bac ac 解得 b a c 1 3 1 6 1 2 D 1 2 0 2 1 2 1 6 1 3 1 3 1 3 1 2 1 3 5 9 13 5 8 解析 依题意 每场比赛获得的门票收入数组成首项为 40 公差为 10 的等差数列 设 此数列为 an 则易知 a1 40 an 10n 30 Sn 由 1 2 n n aa 1070 2 nn Sn 390 得 n2 7n 78 n 6 若要获得的门票收入不少于 390 万元 则至少要比赛 6 场 若比赛共进行了 6 场 则前 5 场比赛的比分必为 2 3 且第 6 场比赛为领先一场 的球队获胜 其概率 P 6 5 若比赛共进行了 7 场 则前 6 场胜负为 3 5 C 1 2 5 16 3 3 其概率 P 7 6 门票收入不少于 390 万元的概率 P P 6 P 7 3 6 C 1 2 5 16 10 16 5 8 14 0 2 解析 设 1 2 3 4 5 的概率分别为 则由题意有 12345 P P P P P 对于 12345 23454 2PPPPP 12345 1PPPPP 1234 234PPPP 当越大时 其值越大 又 因此 所以 4 P 4 1P 1234 234PPPP 4 5 1 P 解得 55 4 1 54 2PP 5 0 2P 考点 随机变量的均值 数学期望 排序不等式 15 0 0228 答案第 4 页 总 10 页 解析 试题分析 设大米质量为 则 则 质量x 2 10 0 1 xN 9544 0 2 108 9 xP 不足的概率即 kg8 90228 0 2 9544 0 1 8 9 xP 考点 正态分布 16 1 2 18 11 3 20 E 解析 试题分析 1 数学期望是离散型随机变量的一个特征数 它反映了离散型随机变量取值 的平均水平 二项分布的期望和方差 若 则 pnB pnpDnpE 1 2 求随机变量的分布列的主要步骤 一是明确随机变量的取值 并确定随机变量服从何 种概率分布 二是求每一个随机变量取值的概率 三是列成表格 3 求出分布列后注意 运用分布列的两条性质检验所求的分布列是否正确 4 求解离散随机变量分布列和方差 首先要理解问题的关键 其次要准确无误的找出随机变量的所有可能值 计算出相对应的 概率 写成随机变量的分布列 正确运用均值 方差公式进行计算 试题解析 解 1 设 甲至多命中 2 个球 为事件 乙至少命中两个球 为事件 AB 由题意得 16 11 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 222 4 311 4 4 CCAP 2 分 9 8 3 2 3 1 3 2 3 1 3 2 433 4 222 4 CCBP 4 分 甲至多命中 2 个球且乙至少命中 2 个球的概率为 18 11 9 8 16 11 BPAP 6 分 2 4 0 4 8 12 分布列如下 4 04812 P 81 1 81 8 81 24 81 32 81 16 12 分 3 20 81 16 12 81 32 8 81 24 4 81 8 0 81 1 4 E 考点 1 求随机事件的概率 2 离散型随机变量的分布列和数学期望 17 1 参与者先回答问题 A 且获得奖金 25 元概率为 2 应该先答问题 A 再答问 1 4 题 B 解析 试题分析 随机猜对问题 A 的概率 随机猜对问题 B 的概率 1 1 3 P 2 1 4 P 1 设参与者先回答问题 A 且获得奖金 25 元为事件 M 由 即得解 12 131 1 344 P MPP 2 参与者回答问题的顺序有两种 分别讨论如下 答案第 5 页 总 10 页 先回答问题 A 再回答问题 B 参与者获奖金额可取 0 25 55 则有 1 2 0 1 3 PP 12 1 25 1 4 PPP 12 1 55 12 PPP 得到 130 12 E 先回答问题 B 再回答问题 A 参与者获奖金额可取 0 30 55 则有 2 3 0 1 4 PP 21 1 30 1 6 PPP 12 1 55 12 PPP 115 12 E 根据 得出结论 EE 试题解析 随机猜对问题 A 的概率 随机猜对问题 B 的概率 1 1 3 P 2 1 4 P 1 设参与者先回答问题 A 且获得奖金 25 元为事件 M 则 即参与者先回答问题 A 且获得奖金 25 元概率为 12 131 1 344 P MPP 1 4 2 参与者回答问题的顺序有两种 分别讨论如下 先回答问题 A 再回答问题 B 参与者获奖金额可取 0 25 55 则 1 2 0 1 3 PP 12 1 25 1 4 PPP 12 1 55 12 PPP 130 12 E 先回答问题 B 再回答问题 A 参与者获奖金额可取 0 30 55 则 2 3 0 1 4 PP 21 1 30 1 6 PPP 12 1 55 12 PPP 115 12 E 因为 所以应该先答问题 A 再答问题 B EE 考点 1 随机变量的数学期望 2 概率的应用 18 1 元件 A 为正品的概率为 元件 B 为正品的概率为 2 分布列 4 5 3 4 81 128 P 详见解析 108E X 解析 试题分析 本题主要考查二项分布 独立事件的概率 离散型随机变量的分布列和数学期 望等基础知识 考查学生的分析问题解决问题的能力 计算能力 第一问 由于指标大于或 等于 82 为正品 则元件 A 正品的概率为 元件 B 为正品的概率为 804 1005 P 答案第 6 页 总 10 页 第二问 设出 5 件中 B 中的正品数为 x 利用所获得的利润不少于 300 元 753 1004 P 计算出 x 再利用二项分布计算概率 第三问 利用第一问的结论 利用独立事件的概率 公式计算出每种情况的概率 列出分布列 利用 计算出数学期望 11nn EXx px p 试题解析 I 由题可知元件 A 为正品的概率为 元件 B 为正品的概率为 2 分 4 5 3 4 II i 设生产的 5 件元件 B 中正品数为 x 则有次品件 由题意知 5x 解得 设 生产的 5 件元件 B 所获得的利润不少于 30010020 5 300 xx 4 5x 元 为事件 C 则 6 分 445 5 31381 444128 P CC ii 随机变量 X 的所有取值为 150 90 30 30 则 433133411111 150 90 30 30 54554205455420 P XP XP XP X 所以随机变量 X 的分布列为 X1509030 30 P3 5 3 20 1 5 1 20 所以 随机变量X的期望为 3311 1509030 30 108 520520 E X 12 分 考点 二项分布 独立事件的概率 离散型随机变量的分布列和数学期望 19 1 27 11 2 随机变量 X 的分布列为 X2345 P 1 15 2 15 1 5 2 5 随机变量 X 的期望为 121210 2345 1515553 EX 解析 试题分析 1 由已知记事件表示 第 i 次取到白球 事件表示 连续 i A iN B 取球四次 至少取得两次白球 则 利用相互独立事件同时发生 12341234123412341234 B A A A AA A A AA A A AA A A AA A A A 的概率积公式进行计算 或者 由于每次取球后都放回袋中 所以每次取得白球的概率相 答案第 7 页 总 10 页 同 记随机变量表示连续取球四次 取得白球的次数 则 再利用次独立 1 4 3 B n 重复试验某事件恰有发生的概率公式进行计算 2 首先 k knkk n ppCkP 1 得到随机变量 X 的所有取值分别为 2 3 4 5 然后利用古典概率公式计算出随机变量 X 取每一个值时所对应的概率 从而可得随机变量 X 的分布列与期望 注意 每次取球后都 不放回袋中 试题解析 1 记事件表示 第 i 次取到白球 事件表示 连续取球四 i A iN B 次 至少取得两次白球 则 2 分 12341234123412341234 B A A A AA A A AA A A AA A A AA A A A 12341234123412341234 P BP A A A AP A A A AP A A A AP A A A AP A A A A 4 分 43 42416 4 66627 5 分 11 1 27 P BP B 或者 记随机变量表示连续取球四次 取得白球的次数 易知 2 分 1 4 3 B 则 5 分 0413 01 44 121211 21011 333327 PPPCC 2 易知 随机变量 X 的取值分别为 2 3 4 5 6 分 2 2 2 6 1 2 15 C P X C 11 24 2 6 12 3 415 C C P X C 10 分 12 24 3 6 11 4 35 C C P X C 1213 51 151555 P X 随机变量 X 的分布列为 X2345 P 1 15 2 15 1 5 2 5 随机变量 X 的期望为 12 分 121210 2345 1515553 EX 考点 1 相互独立事件同时发生的概率积公式 2 古典概型 分布列与数学期望 20 1 2 分布列见解析 2 1 3 14 XE 解析 答案第 8 页 总 10 页 试题分析 解题思路 1 利用超几何分布的概率公式求解即可 2 写出获奖金额X的所有可能取 值 利用古典概型的概率公式求出各自概率 列出表格 即得分布列 再利用期望公式求 其期望 规律总结 以图表给出的统计题目一般难度不大 主要考查频率直方图 茎叶图 频率分 布表给出 抽样方法要注意各自的特点 古典概型是一种重要的概率模型 其关键是正确 列举基本事件 试题解析 1 2 1 4 10 3 7 1 3 C CC 2 X01050200 P X 42 31 35 8 35 1 210 1 3 14 210 1 200 35 1 50 35 8 10 42 31 0 XE 考点 1 超几何分布 2 古典概型 3 随机变量的分布列与期望 21 1 2 单位 元 的分布列为 1085 17 85 17 nn y n nN X X55657585 P0 10 20 160 54 55 0 165 0 275 0 1685 0 5476 4E X 解析 试题分析 1 根据题意可知 利润应是当天需求量的分段函数 需对与购进量ynn 的大小关系进行分类讨论 当时 购进的玫瑰花全部都能卖出 利润1717n 当时 购进的玫瑰花卖出枝 余下的枝当做垃圾17 105 85y 17n n17n 处理 利润 2 通过 1 中得到的函数表 105 17 51085ynnn 达式可知 的取值有四种情况 再由条件中给出的频数分布表 结X55 65 75 85X 合条件利用频率来代替概率 可得 550 1P X 650 2P X 从而可得 750 16P X 850 54P X 单位 元 的分布列为X X55657585 P0 10 20 160 54 期望 55 0 165 0 275 0 1685 0 5476 4E X 答案第 9 页 总 10 页 试题解析 1 当时 购进的玫瑰花全部都能卖出 利润 17n 17 105 85y 当时 购进