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试卷第 1 页 总 4 页 外 装 订 线 学校 姓名 班级 考号 内 装 订 线 选修选修 2 3 第一章计数原理练习题第一章计数原理练习题 第第 I I 卷 选择题 卷 选择题 评卷人得分 一 选择题 题型注释 一 选择题 题型注释 1 在二项式的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大 则展开式中含项 1 nx x 2 x 的系数是 A 56 B 35 C 35 D 56 2 学校计划利用周五下午第一 二 三节课举办语文 数学 英语 理综 4 科的专题 讲座 每科一节课 每节至少有一科 且数学 理综不安排在同一节 则不同的安排 方法共有 A 36 种 B 30 种 C 24 种 D 6 种 3 设集合 那么集合中满足条 12345 1 0 1 1 2 3 4 5 i Ax x x x xxi A 件 的元素个数为 12345 13xxxxx A B C D 6090120130 4 设已知均为整数 若和被除所得的余数相同 则称和对 a b m0m abmab 模同余 记为 若 且m mod abm 01224040 40404040 222aCCCC 则的值可以是 mod10 ab b A 2011 B 2012 C 2013 D 2014 5 现有 4 名教师参加说课比赛 共有 4 道备选题目 若每位教师从中有放回地随机选 出一道题目进行说课 其中恰有一道题目没有被这 4 位教师选中的情况有 A 288 种 B 144 种 C 72 种 D 36 种 6 用红 黄 蓝等 6 种颜色给如图所示的五连圆涂色 要求相邻两个圆所涂颜色不能 相同 且红色至少要涂两个圆 则不同的涂色方案种数为 A 610 B 630 C 950 D 1280 7 现安排甲 乙 丙 丁 戊 5 名同学参加上海世博会志愿者服务活动 每人从事翻 译 导游 礼仪 司机四项工作之一 每项工作至少有一人参加 甲 乙 丙不会开 车但能从事其他三项工作 丁 戊都能胜四项工作 则不同安排方案的种数是 A 240 B 126 C 78 D 72 8 如图 将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色 并使同一条棱上的两端异色 如果 只有 5 种颜色可供使用 则不同的染色方法总数为 试卷第 2 页 总 4 页 外 装 订 线 请 不 要 在 装 订 线 内 答 题 内 装 订 线 A 60 B 480 C 420 D 70 9 六名大四学生 其中 4 名男生 2 名女生 被安排到A B C三所学校实习 每所学 校 2 人 且 2 名女生不能到同一学校 也不能到C学校 男生甲不能到A学校 则不 同的安排方法为 A 24 B 36 C 16 D 18 10 将 1 2 3 9 这 9 个数字填在如图的 9 个空格中 要求每一行从左到右 每 一列从上到下分别依次增大 当 3 4 固定在图中的位置时 填写空格的方法为 A 6 种 B 12 种 C 18 种 D 24 种 第第 IIII 卷 非选择题 卷 非选择题 评卷人得分 二 填空题 题型注释 二 填空题 题型注释 11 设是大于 1 的自然数 的展开式为 na 0 n a x 1 n nx axaxaa 2 210 若点的位置如图所示 则 2 1 0 iaiA ii a 12 3 个单位从 4 名大学毕业生中选聘工作人员 若每个单位至少选聘 1 人 4 名大学 毕业生不一定都能选聘上 则不同的选聘方法种数为 用具体数字作答 13 用 0 1 2 3 4 这五个数字组成无重复数字的五位数 其中恰有一个偶数数字夹在 两个奇数数字之间 这样的五位数有 14 若 n的二项展开式中有且只有第五项的二项式系数最大 则 Cn0 Cn1 2 3 x x 1 2 Cn2 1 n Cnn 1 4 1 2n 15 1 3 32 399被 4 除 所得的余数为 试卷第 3 页 总 4 页 外 装 订 线 学校 姓名 班级 考号 内 装 订 线 评卷人得分 三 解答题 题型注释 三 解答题 题型注释 16 在二项式的展开式中 12 2 x x 1 求展开式中含项的系数 3 x 2 如果第项和第项的二项式系数相等 试求的值 3k2k k 17 已知 3x2 n的展开式中 各项系数和比它的二项式系数和大 992 求 2 3 x 1 展开式中二项式系数最大的项 2 展开式中系数最大的项 18 五个人站成一排 求在下列条件下的不同排法种数 1 甲必须在排头 2 甲 乙相邻 3 甲不在排头 并且乙不在排尾 4 其中甲 乙两人自左向右从高到矮排列且互不相邻 19 14 分 已知在 其中 n 15 的展开式中 3 nxx 1 求二项式展开式中各项系数之和 2 若展开式中第 9 项 第 10 项 第 11 项的二项式系数成等差数列 求 n 的值 3 在 2 的条件下写出它展开式中的有理项 试卷第 4 页 总 4 页 外 装 订 线 请 不 要 在 装 订 线 内 答 题 内 装 订 线 20 12 分 3 名教师与 4 名学生排成一横排照相 求 1 3 名教师必须排在一起的不同排法有多少种 2 3 名教师必须在中间 在 3 4 5 位置上 的不同排法有多少种 3 3 名教师不能相邻的不同排法有多少种 21 已知展开式的二项式系数之和为 256 n x m x 1 求 n 2 若展开式中常数项为 求的值 8 35 m 3 若展开式中系数最大项只有第 6 项和第 7 项 求的取值情况 n mx m 22 某地有 10 个著名景点 其中 8 个为日游景点 2 个为夜游景点 某旅行团要从这 10 个景点中选 5 个作为二日游的旅游地 行程安排为第一天上午 下午 晚上各一个 景点 第二天上午 下午各一个景点 1 甲 乙两个日游景点至少选 1 个的不同排法有多少种 2 甲 乙两日游景点在同一天游玩的不同排法有多少种 3 甲 乙两日游景点不同时被选 共有多少种不同排法 答案第 1 页 总 8 页 参考答案参考答案 1 A 解析 试题分析 因为二项式的展开式中恰好第 5 项的二项式系数最大 所以展开式有 1 nx x 9 项 即 展开式通项为 令 得8 n kkkkkkk k xCxxCT 28 8 8 81 1 1 228 k 则展开式中含项的系数是 3 k 2 x56 1 3 8 3 C 考点 二项式定理 2 B 解析 试题分析 先将语文 数学 英语 理综 4 科分成 3 组 每组至少 1 科 则不同的分法种 数为 其中数学 理综安排在同一节的分法种数为 1 故数学 理综不安排在同一节的 2 4 C 分法种数为 1 再将这 3 组分给 3 节课有种不同的分配方法 根据分步计数原理知 2 4 C 3 3 A 不同的安排方法共有 1 30 故选 B 2 4 C 3 3 A 考点 分步计数原理 排列组合知识 答案 D 解析 试题分析 分以下三种情况讨论 1 则上述五个数中有一个为 或 其余四个数为零 12345 1xxxxx 11 此时集合有A 11 52 C C 个元素 10 2 则上述五个数中有两个数为 或 其余三个数为零 12345 2xxxxx 11 其中这两个数的所有可能搭配有中 此时集合有个 2 24 A 2 5 440C 3 则上述五个数中有三个数为 或 其余两个数为零 12345 3xxxxx 11 其中这两个数的所有可能搭配有中 此时集合有个 3 28 A 3 5 880C 综上所述 集合共有个元素 故选 D A104080130 考点定位 本题考查分类计数原理 属于较难题 4 A 解析 试题分析 由可得 01224040 40404040 222aCCCC 4020 12 10 1 a 所以 由 02019191920 20202020 1010101CCCC 1 mod10 a mod10 ab 答案第 2 页 总 8 页 故选 A 考点 1 二项式定理 2 同余问题 5 B 解析 试题分析 从 4 题种选一道作为不被选中的题有 4 种 从 4 位教师中选 2 位 这两位是选 同样题目的有种 被选中两次的题目有 3 种方案 剩下的两位教师分别选走剩下的 2 4 6C 2 题 共种 4 6 3 2 144 考点 排列组合 6 B 解析 试题分析 采用分类原理 第一类 涂两个红色圆 共有 种 第二类 涂三个红色圆 共有 1111111111 4554555544 605A A A AA A AA A A 种 故共有 630 种 11 55 25A A 考点 排列 组合及简单计数问题 7 C 解析 试题分析 根据题意 分情况讨论 甲 乙 丙三人中有两人在一起参加除了开车的三 项工作之一 有种 甲 乙 丙三人各自 1 人参加除了开车的三项工 2112 3322 36C CC A 作之一即丁 戌两人一起参加开车工作时 有种 甲 乙 丙三人中有一 1 人与 3 3 6A 丁 戌中的一人一起参加除开车的三项工作之一 有种 由分类计数原 1112 3232 136C C C A 理 可得共有种 故选 C 3663678 考点 1 两个计数原理 2 排列组合的综合问题 8 C 解析 分两步 先将四棱锥一侧面三顶点染色 然后再分类考虑另外两顶点的染色数 用乘 法原理可求解 由题设 四棱锥 S ABCD 的顶点 S A B 所染的颜色互不相同 它们共有 5 4 3 60 种染色方 法 当 S A B 染好时 不妨设所染颜色依次为 1 2 3 若 C 染 2 则 D 可染 3 或 4 或 5 有 3 种染法 若 C 染 4 则 D 可染 3 或 5 有 2 种染法 若 C 染 5 则 D 可染 3 或 4 有 2 种染法 即当 S A B 染好时 C D 还有 7 种染法 故不同的染色方法有 60 7 420 种 一题多解 以 S A B C D 的顺序分步染色 第一步 S 点染色 有 5 种方法 第二步 A 点染色 与 S 在同一条棱上 有 4 种方法 第三步 B 点染色 与 S A 分别在同一条棱上有 3 种方法 第四步 C 点染色 也有 3 种方法 但考虑到 D 点与 S A C 相邻 需针对 A 与 C 是否同色进行 分类 当 A 与 C 同色时 D 点有 3 种染色方法 当 A 与 C 不同色时 因为 C 与 S B 也不同色 所 以 C 点有 2 种染色方法 D 点也有 2 种染色方法 答案第 3 页 总 8 页 由分步乘法计数原理 分类加法计数原理 得共有 5 4 3 1 3 2 2 420 种不同方法 方法技巧 涂色问题的两种解题方案 一是选择正确的涂色顺序 按步逐一涂色 这时用分步乘法计数原理逐一计数 二是根据涂色时用颜色的多少 进行分类处理 这时用分类加法计数原理进行计数 注意点 在分步涂色时 要尽量让相邻区域多的区域先涂 在分类涂色时要注意不相邻区域的 颜色可相同也可不同 这是所用颜色多少的依据 9 D 解析 女生的安排方法有 2 种 若男生甲到B学校 则只需再选一名男生到A学校 2 2 A 方法数是 3 若男生甲到C学校 则剩余男生在三个学校进行全排列 方法数是 1 3 C 6 根据两个基本原理 总的安排方法数是 2 3 6 18 3 3 A 10 A 解析 试题分析 每一行从左到右 每一列从上到下分别依次增大 1 2 9 只有一 种填法 5 只能填在右上角或左下角 5 填后与之相邻的空格可填6 7 8 任一 个 余下两个数字按从小到大只有一种方法 共有 2 3 6 种结果 故选 A 考点 计数原理 11 3 解析 试题分析 由图易知 则 即 012 1 3 4aaa 122 12 11 3 4 nn aCaC aa 解得 2 3 1 4 2 n a n n a 3a 考点 1 二项展开式的应用 12 60 解析 当 4 名大学毕业生全选时有 当 3 名大学毕业生全选时 即 3 3 2 2 1 3 1 4 A A CC 3 4 A 60 3 4 3 3 2 2 1 3 1 4 AA A CC 考点 排列 组合及简单计数问题 13 28 解析 若 0 夹在 1 3 之间 有 A22 3 A22 12 个 若 2 或 4 夹在 1 3 中间 考虑两 奇夹一偶的位置 有 2 2 2 2 2 16 个 所以共有 12 16 28 个 答案第 4 页 总 8 页 14 1 256 解析 由已知第 5 项的二项式系数最大 则 n 8 又 Cn0 Cn1 Cn2 1 nCnn n 8 1 2 1 4 1 2n 1 1 2 1 2 1 256 15 0 解析 1 3 32 399 3100 1 4 1 100 1 100 1 3 1 3 1 2 1 2 4100 C1001499 C10098 42 C10099 4 1 1 8 498 C1001497 C10098 25 1 2 显然能被 4 整除 故余数为 0 16 1 264 2 或 1k 3k 解析 试题分析 1 写出二项式的展开式的特征项 当x 的指数是 3 时 把 3 代入 整理出的值 就得到这一项的系数的值 2 根据上一问写出的特征项和第k 项和第项的二项式系数相等 表示出一个关于的方程 解方程即k32 kk 可 解题的关键是写出展开式的特征项 利用特征项的特点解决问题 注意代数式 的整理 特别是当分母上带有变量时 注意整理 试题解析 1 展开式第项 1r 123 6 22 11212 2 2 r r rrrr r TC xC x x 令 解得 3 63 2 r 2r 展开式中含项的系数为 3 x 22 12 2 264C 2 第项的二项式系数为 第项的二项式系数 3k 31 12 k C 2k 1 12 k C 311 1212 kk CC 故或 解得或 311kk 31112kk 1k 3k 考点 1 展开式项的系数 2 二项式系数 17 1 2 22 6 3 34 90 270Tx Tx 26 3 5 405Tx 解析 试题分析 解题思路 1 利用赋值法求出各项系数和 与二项式系数和求出值 利用二项式系数n 的性质求展开式中二项式系数最大的项 2 设出展开式中系数最大的项 利用 进行求解 11 55 11 55 33 33 rrrr rrrr CC CC 规律总结 解决二项式定理问题 要区分二项式系数与各项系数 如 答案第 5 页 总 8 页 的二项式系数为 系数为 405 226 424 33 55 3 405TCxxx 4 5 5C 试题解析 令 x 1 则展开式中各项系数和为 1 3 n 22n 又展开式中二项式系数和为 2n 22n 2n 992 n 5 1 n 5 展开式共 6 项 二项式系数最大的项为第 3 4 两项 T3 3 3x2 2 5 C 2 3 x 2 90 x6 T4 2 3x2 3 270 3 5 C 2 3 x 22 3 x 2 设展开式中第 r 1 项系数最大 则 Tr 1 5 r 3x2 r 3r 5 r C 2 3 x5 r C 10 4 3 r x r r 4 11 55 11 55 33 33 rrrr rrrr CC CC 7 2 9 2 即展开式中第 5 项系数最大 T5 3x2 4 405 4 5 C 2 3 x 36 3 x 考点 二项式定理 18 1 24 2 48 3 78 4 36 解析 试题分析 1 特殊元素 位置 法 首先排 排头 不动 再排其它 4 个位置有种共有 4 4 A 24 种 2 捆绑法 把甲 乙看成一个人来排有种 而甲 乙也存在顺序变化 所以甲 乙 4 4 A 相邻排法种数为种 3 对立法 甲在排头和乙在排尾的各种 其中甲在排头48 2 2 4 4 AA 4 4 A 且乙在排尾的有种 五个人站成一排的不同排法数是种 所以甲不在排头 并且乙不 3 3 A 5 5 A 在排尾的有种 4 插空法 先将其余 3 个全排列种 再将甲 782 3 3 4 4 5 5 AAA6 3 3 A 乙插入 4 个空位 2 4 43 6 2 C 种 所以 一共有种不同排法 36 2 4 3 3 CA 试题解析 1 特殊元素是甲 特殊位置是排头 首先排 排头 不动 再排其它 4 个位置 有种 所以共有 种 4 4 A24 4 4 A 把甲 乙看成一个人来排有种 而甲 乙也存在顺序变化 所以甲 乙相邻排法种数为 4 4 A 种 48 2 2 4 4 AA 3 甲不在排头 并且乙不在排尾排法种数为 种 先将其余 3 个全782 3 3 4 4 5 5 AAA 排列 再将甲 乙插入 4 个空位 2 4 43 6 2 C 所以 一共有种不同排6 3 3 A36 2 4 3 3 CA 法 答案第 6 页 总 8 页 考点 排列组合 19 1 2 n 14 3 2n 7 x 6 164x 5 91x 解析 试题分析 1 二项展开式中各项的系数和就是 由 012n nnnn CCCC 可得结果 2 由二项式系数 成等 2012 1 12 nn nnnn CCCC 8 n C 9 n C 10 n C 差数列 解得 n 14 3 可知 有理项中 8109 2 nnn CCC 4214 362 11414 rrr rr r TC xxC x 知应该是 6 的倍数 r 解 1 因为本题二项展开式中各项的系数就是各项的二项式系数 012 n nnnn CC CC 所以各项系数之和为 4 分 012 2 nn nnnn CCCC 2 其中 n 15 的展开式中第 9 项 第 10 项 第 11 项的二项式系数 3 nxx 分别是 6 分 8 n C 9 n C 10 n C 依题意得 写成 8109 2 nnn CCC 2 8 8 10 10 9 9 nnn nnn 7 分 化简得 90 n 9 n 8 2 10 n 8 即 n2 37n 322 0 解得 n 14 或 n 23 因为 n 15 所以 n 14 9 分 2 展开式的通项 11 分 4214 362 11414 rrr rr r TC xxC x 展开式中的有理项当且仅当 r 是 6 的倍数 12 分 0 r 14 所以展开式中的有理项共 3 项是 077 114 0 rTC xx 666 714 6 164rTC xx 14 分 1255 1314 12 91rTC xx 考点 1 二项式定理 2 等差数列 20 1 2 3 7201441440 解析 试题分析 1 捆绑法 将 3 名教师作为一整体与 4 名学生全排列有种 3 名教师各 5 5 A 自排列有 分步乘法原理 2 3 名教师排法有 4 个学生在 4 个位子上全排列共 3 3 A 3 3 A 有种 分步乘法原理 3 插空法 4 名学生共有种 形成 5 个空位由 3 个老师排 4 4 A 4 4 A 答案第 7 页 总 8 页 列有种 再用分步乘法原理 3 5 A 解 1 3 名教师的排法有 把 3 名教师作为一个整体与 4 个学生共 5 个元素的全排 3 3 A 列共有种 则共有 种 4 分 5 5 A 35 35 720A A 2 3 名教师的排法有 4 个学生在 4 个位子上的全排列共有种 则共有 3 3 A 4 4 A 种 8 分 34 34 144A A 3 12 分 43 45 1440A A 考点 1 分步乘法原理 2 排列组合 21 1 2 3 只能等于 2 8n 2 1 m m 解析 试题分析 1 根据二项式系数之和为 得 可求 2n 2256 n n 2 令二项式展开式中未知数的指数为 0 求出第几项 再令该项等于 即可求的 8 35 m 值 3 若展开式中系数最大项只有第 6 项和第 7 项 列出关于的不等