第3章 《导数及其应用-3.4》 同步练习

第第3章章 导数及其应用导数及其应用 3 4 同步练习同步练习 一 填空题一 填空题 1 已知某生产厂家的年利润y 单位 万元 与年产量x 单位 万件 的函数关系式为y x3 81x 234 则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 1 3 解析 y x2 81 令y 0 得x 9 故x 9是函数的极大值点 所以厂家获 得最大年利润的年产量是9万件 答案 9万件 2 某商品一件的成本为30元 在某段时间内 若以每件x元出售 可卖出 200 x 件 当每件商品的定价为 元时 利润最大 解析 利润为S x x 30 200 x x2 230 x 6 000 S x 2x 230 由S x 0得x 115 这时利润达到最大 答案 115 3 已知某矩形广场面积为4万平方米 则其周长至少为 米 解析 设广场的长为x米 则宽为米 于是其周长为y 2 x x 0 40 000 x 40 000 x 所以y 2 1 令y 0 得x 200或x 200 舍去 当0 x 200时 y 0 当 40 000 x2 x 200时 y 0 故当x 200时 y取得最小值800 即矩形广场的周长至少为800米 答案 800 4 某厂要围建一个面积为512平方米的矩形堆料场 一边可以利用原有的墙壁 其他 三边要砌新墙 当砌新墙所用的材料最省时 堆料场的长和宽分别为 解析 设需建的矩形堆料场与原墙平行的一边边长为x米 其他两边边长为y米 则xy 512 所砌新墙的长L x 2y 2y y 0 令L 2 0 解得y 16 另一 512 y 512 y2 负根舍去 当0 y 16时 L 16时 L 0 所以当y 16时 函数取得极小值 也 就是最小值 此时x 32 512 16 答案 32米 16米 5 2013 江阴高二检测 某公司生产一种产品 固定成本为20 000元 每生产一单位 的产品 成本增加100元 若总收入R与年产量x 0 x 390 的关系是R x 400 x 0 x x3 900 390 则当总利润最大时 每年生产的产品单位数是 解析 由题意可得总利润P x 300 x 20 000 0 x 390 由P x 0 得 x3 900 x 300 当0 x0 当300 x 390时 P x 0 250 000 x 500 x 设总利润为y万元 则y x 1 200 x3 500 x 2 75 500 x3 1 200 x 2 75 求导数得 y x2 250 x 2 25 令y 0得x 25 故当x0 当x 25时 y 0 因此当x 25时 函数y取得极大值 也是最大值 答案 25 二 解答题二 解答题 9 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距m米 余下工程只需要建两端桥 墩之间的桥面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为256万元 距离为x米的相邻两墩之 间的桥面工程费用为 2 x万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑 x 其他因素 记余下工程的费用为y万元 1 试写出y关于x的函数关系式 2 当m 640米时 需新建多少个桥墩才能使y最小 解 1 设需要新建n个桥墩 n 1 x m 即n 1 因此 m x y f x 256n n 1 2 x x 256 1 2 x m x m xx m 2m 256 256m xx 2 由 1 知 f x mx 256m x2 1 2 1 2 x 512 m 2x2 3 2 令f x 0 得x 512 所以x 64 当0 x 64时 f x 0 f x 在区间 0 64 内为减 3 2 函数 当64 x0 f x 在区间 64 640 内为增函数 所以f x 在x 64处取得最小 值 此时 n 1 1 9 m x 640 64 即需新建9个桥墩才能使y最小 10 两县城A和B相距20 km 现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧上选择一点 AB C建造垃圾处理厂 其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关 对城A和城B的总影 响度为对城A与对城B的影响度之和 记C点到城A的距离为x km 建在C处的垃圾处理厂对 城A和城B的总影响度为y 统计调查表明 垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的 距离的平方成反比 比例系数为4 对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比 比例系数为k 当垃圾处理厂建在的中点时 对城A和城B的总影响度为0 065 AB 1 将y表示成x的函数 2 讨论 1 中函数的单调性 并判断上是否存在一点 使建在此处的垃圾处理厂对 AB 城A和城B的总影响度最小 若存在 求出该点到城A的距离 若不存在 说明理由 解 1 如图所示 由题意知AC BC BC2 400 x2 y 0 x 20 4 x2 k 400 x2 由题意知当x 10时 y 0 065 2 所以k 9 所以y表示成x的函数为y 0 x 20 4 x2 9 400 x2 2 由y 4 x2 9 400 x2 得y 8 x3 9 2x 400 x2 2 18x4 8 400 x2 2 x3 400 x2 2 令y 0 得18x4 8 400 x2 2 所以x2 160 即x 4或x 4 舍去 1010 当0 x 4时 18x4 8 400 x2 2 即y 0 10 所以函数在 0 4 内为单调递减函数 10 当4 x8 400 x2 2 即y 0 10 所以函数在 4 20 内为单调递增函数 10 所以当x 4时 即当C点到城A的距离为4 km时 函数y 0 x 20 1010 4 x2 9 400 x2 有最小值 11 某商场销售某种商品的经验表明 该商品每日的销售量y 单位 千克 与销售价格 x 单位 元 千克 满足关系式y 10 x 6 2 其中3 x 6 a为常数 已知销售价格 a x 3 为5元 千克时 每日可售出该商品11千克 1 求a的值 2 若该商品的成本为3元 千克 试确定销售价格x的值 使商场每日销售该商品所获 得的利润最大 解 1 因为x 5时 y 11 所以 10 11 a 2 a 2 2 由 1 可知 该商品每日的销售量y 10 x 6 2 2 x 3 所以商场每日销售该商品所获得的利润f x x 3 10 x 6 2 2 10 x 3 x 2 x 3 6 2 3 x 6 从而 f x 10 x 6 2 2 x 3 x 6 30 x 4 x 6 于是 当x变化时 f x f