中考数学二轮复习 专题练习（上）常用辅助线—利用平移思想构造辅助线 新人教版

7 7 利用平移思想构造辅助线利用平移思想构造辅助线 1 1 已知 如图 中 点分别在边上 abca60bac de abac 交于 是的中点 交于 adae becdf120dfe pbcapbeq 求证 aqbq 答案 答案 见解析 解析 解析 连 接afde 120dfe 60bfdbae 又 fbdabe fbdabeaa bdbf beba bdebfaaa defdaf afeade 60bacadae 60adeaed 60afebae afebaeaa abqcaf 延长至 使 连接 则四边形是平行四边形 apmpmap bmcm abmc 120acbmabmafc 12060dfeafe 60120afdafb 120afcafb abfcafaa abfcaf afabab cfacbm afcabmaa cafbaq abqbaq aqbq 2 2 已知 如图 在中 分别以为边 向外作rt abca90b abac abca 正方形和正方形 连接 延长交于 acdeabgfefec baefh 1 若 求的长 2 tan 3 acb 12 abc s a ec 2 求证 2bcah 解析 解析 1 解 2 tan 3 ab acb bc 设 则2abk 3bck 1 12 2 abc sab bc a a 2324kk 舍去负值 2k 46abbc 22 2 13acabbc 22 26ecac 2 证明 过作 交延长线于 连接eemah ahhmf 90eambac 90acbbac eamacb 又90mabceaac emaabcaa mabcmeab afab meaf 又 meaf 四边形是平行四边形afme ahmh 2bcah 3 3 已知点是内一点 满足 以为邻边作平行四pabcaabpacp bppc 边形 求证 bpcqbaqcap 答案 答案 见解析 解析 解析 以为邻边作平行四边形 连接交于 连接appb apbddqbdo adbd 则 badabpacp dbap dbap 四边形是平行四边形 bpcq bqpcbqpc dbqapc dbqapcaa qdbcap dqbacp baddqb 又 dqbboq doaboqaa doao boqo 又 dobaoq dobaoqaa qdbbaq baqcap 4 4 在中 分别为延长线上的点 与rt abca90c de cbca be 的交点为 adp 1 若 在图 1 中画出符合题意的图形 直接写出的bdacaecd ape 度数 2 若 求的度数 利用图 2 作答 3acbd 3cdae ape 解析 解析 1 如图 1 45ape 说明 将平移到 连接 ef则四边形是平行四边形 aedfbfaefd efad aedf 又aecd dfcd aecd dfcd bdac acdbdf aa bfadefcdabfd 90cdaadf 90bfdadf 90dpf 90bfe 在中 rt befa bfef 45bef 又adef 45apebef 2 解法一 如图 2 将平移到 连接 ef则四边形是平行四边aedfbfaefd 形 adefadef 33acbdcdae 3 ac bd 3 cdcd aedf accd bddf 90c 18090bdfc cbdf acdbdfaa 3 adac bfbd 12 3 efad bfbf 13 90 23 90 bfad bfef 在中 rt befa 3 tan 3 bf bef ef 30apebef 解法二 如图 3 将平移到 连接 则四边形是平cadfafbfefacdf 行四边形 90c 四边形是矩形acdf 90afdcaf 1290 在中 rt aefa 3 tan3 3 aeae afcd 在中 rt bdfa 3 tan1 3 bdbd dfac 3130 即321290 90efb afdefb 又 3 cos30 2 dfaf bfef adfebfaa 45 435ape 330ape 5 5 1 在一个矩形纸片上按照图 1 的方式剪下 其中 将沿abcababc abca 着直线的方向依次进行平移变换 每次均移动的长度 得到了 acaccdea 和 如图 2 已知 长为 现以 和efgaghiaahai acaadaf 为三边构成一个新三角形 已知这个新三角形面积小于 求可能的最大整ah15 15a 数值 2 如图 3 已知 请利用2aabb cc 60aobboccoa 图形变换探究与 的大小关系 aobboccoa sss aaa 3 解析 解析 1 分别取的中点 连接 ceeggi pqr dpfqhr adafah 中 由平移变换的性质知 和都是等腰三abcaba bc cdeaefgaghia 角形 dpce fqeg hrgi 在中 rt ahra4ah aia 7 2 ara 222222 715 4 24 hraharaaa 2222 15 4 dpfqhra 222222 315 6 24 adapdpaaa 222222 515 10 24 afaqfqaaa 新三角形三边长为 6a10a4a 222 ahadaf 新三角形为直角三角形 其面积为 2 1 61015 2 aaa 2 1515 15a 2 15a 或通过转换得新三角形三边就是 即求的面积 或利用addiai daia 与相似 求的面积也可 haiahgiahaia 的最大整数值为a3 2 将沿方向平移个单位 得到 将沿方向平 boc a bb 2b de a coa aa a 移个单位 得到 2efaa 2odobb dobobbb 2ofoaafoaoaaa 又 60dof 是等边三角形dofa 2dfodof de efococ 三点共线def aobboccoaaobb deaefdof sssssss aaaaaaa 1 22 sin603 2 dof s a 3 aobboccoa sss aaa 6 6 如图 已知abc 1 请你在边上分别取两点 的中点除外 连结 写出bcdebcadae 使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件 并表示出面积相等的三角形 2 请你根据使 1 成立的相应条件 证明 abacadae 答案 答案 见解析 解析 解析 解 1 如图 和 和 bdcede abdaaceaabeaacda 2 证法一证法一 如图 分别过点作的平行线 两线相交于点 于db caea fdf 交于点 abg 所以 acefdb aecfbd 在和中 又 aecafbdacebd 可证 aecfbdaa 所以 acfd aefb 在中 agdaagdgad 在中 bfgabgfgfb 所以 0agdgad 0bgfgfb 所以 0agdgbgfgadfb 即 abfdadfb 所以 abacadae 证法二证法二 如图 分别过作的平行线 两线相交于点 于交ae cbca fefab 于点 连结 gbf 则四边形是平行四边形 feca 所以 feac afce 因为 bdce 所以bdaf 所以四边形是平行四边形 fbda 所以fbad 在中 在中 ageaagegae bfgabgfgfb 可推得 agegbgfgaefb 所以 abacadae 证法三证法三 如图 4 取的中点 连结并延长到点 使得 连结deoaoffoao 延长交于点 efcfaecfg 在和中 又 adoafeoaaodfoe doeo 可证 adofeoaa 所以adfe 因为 bdce doeo 所以 boco 同理可证abofcoaa 所以abfc 在中 acgaaccgaeeg 在中 efgaegfgef 可推得 accgegfgaeegef 即 accfaeef 所以 abacadae 7 7 现场学习 我们知道 若锐角的三角函数值为 则可通过计算器得到角 sinm 的大小 这时我们用来表示 记作 若 sinarcm sinarcm cosm 则记 若 则记 cosarcm tanm tanarcm 解决问题 如图 已知正方形 点是边上一动点 点在边或其延abcdeabfab 长线上 点在边上 连结 交点为 gadedfg h 1 如图 1 若 请直接写出 aebfgd ehf 2 如图 2 若 设 请判断当点在 2 5 efcd 2 5 gdae ehf e 上运动时 的大小是否发生变化 若发生变化 请说明理由 若不发生变化 abehf 请求出 1 h f g e d cb a 2 a b c d e g f h 解析 1 连接 cf cg 正方形abcd adbccd 90eadgdccbf 又aebfgd rt adert cdgrt bcf aaa adegcdfcb aedbfcdgc gcfced 90gcdgcb 90bcfgcb 三角形为直角三角形 且gcfgcfc 45gfcfgc 又aedafc edfc 45ehfhfc 2 答 不会变化 证明 如图 2 过点作交于 连接 ffmed cdmgm 4 3 2 1 m h f g e d c b a 2 正方形中 abcdabcd 四边形为平行四边形 efmd efdm defm 34 ehfhfm 22 55 efcdgdae 2 5 efgd cdae dmgd adae 90agdm dgmaedaa 2 5 gm de 12 2 5 gm fm 2390 12 34 1490 90gmf 在中 rt gfma 2 tan 5 gm fm 2 tan 5 arc 8 8 已知矩形和点 当点在上任一位置 如图 1 所示 时 易证得结abcdppbc 论 请你探究 2222 papcpbpd 1 当点分别在图 2 中的位置时 和又有怎样的数量关p 222 papbpc 2 pd 系 请你写出对上述情况的探究结论 并利用图 2 证明你的结论 2 当点分别在图 3 中的位置时 和又有怎样的数量关p 222 papbpc 2 pd 系 请你写出对上述情况的探究结论 并利用图 3 证明你的结论 3 请问在图 3 与三者之间的关系 并证明 pab s pcd s abcd s矩形 解析 1 结论是 2222 papcpbpd 方法一 n m p d cb a 如图 2 过点作于点 交于点 pmnad mbcn 因为 所以adbcamnad mnbc 在中 rt ampa 222 papmma 在中 rt bnpa 222 pbpnbn 在中 rt dmpa 222 pddmpm 在中 rt cnpa 222 pcpnnc 所以 222222 papcpmmapnnc 222222 pbpdpmdmbnpn 因为 所以四边形是矩形mnadmnncdcbc mncd 所以 同理 mdnc ambn 所以 22222222 pmmapnncpmdmbnpn 即 2222 papcpbpd 方法二 提示 过点作 连接 则四边形pphad phad dhch 对角线互相垂直 下面证明略pdhc h a bc d p 2 结论是 2222 papcpbpd 证明 如图所示 过点作 过点作 过点作ppfad ddfap d 于点 连接 depf ecf f e p d c b a 则四边形和四边形是平行四边形adfpbcfp apdf bpcf 在中 rt pde 222 pdpede 在中 rt def 2222 dfapefde 在中 rt pce 222 pcpece 在中 rt cef 2222 pbcfefce 222222 papcefdepece 222222 pbpdefcepede 2222 papcpbpd 3 结论 1 2 pabpcdabcd sss 矩形 f e a b c d p 过点分别作于点 于点ppeab epfcd f 1 2 abp sab pe a 1 2 pcd scd pf a 1111 2222 abppcd ssab pecd pfab pepfab ad aaaa abcd sab ad a 矩形 1 2 pabpcdabcd sss 矩形 9 在中 点为的中点 abcambc 1 如图 1 求证 1 2 amabac 2 延长到 使得 延长到 使得 连接 abdbdac aceceab de 如图 2 连接 若 请你探究线段与线段之间的数量关be60bac beam 系 写出你的结论 并加以证明 请在图 3 中证明 1 2 bcde 答案 答案 见解析 解析 解析 1 证明 如图 1 延长至 使得 连接amnmnam bncnmn mnambmcm 四边形是平行四边形abnc cnab 在中 acnaancnac 2amabac 1 2 amabac 2 2beam 证明 如图 2 过作交于 连接 则bbnae denmncn 160bac bdac ceab adae 是等边三角形adea edad 1260d 是等边三角形 bdna bddnbnac 四边形是平行四边形abnc 点为的中点 mbc 三点在一条直线上 且amn 2anam 在和中 edbaadna edad dd dbdn edbadnaa 2beanam 分两种情况 如图 3 当时abac 则 abacbdce 1 2 bcde 如图 4 当时abac 以为一组邻边作平行四边形bdbc bdfc 则 cfbdac bcfbac bcdf 又 ceab cefabcaa efbcdf 在中 defadfefde 即2bcde 1 2 bcde 综上所述 1 2 bcde 10 10 在中 点分别在边上 rt abca90abc 30c de abac 且 点为的中点 连接 点为的中点 连bdce facdfgdf 接 agbe 1 如图 1 求证 2beag 2 如图 2 延长交于点 过