高考排列组合典型例题

排列组合典型例题排列组合典型例题 例例 1 用 0 到 9 这 10 个数字 可组成多少个没有重复数字的四位偶数 分析 分析 这一问题的限制条件是 没有重复数字 数字 0 不能排在千位数上 个位数字只能是 0 2 4 6 8 从限制条件入手 可划分如下 如果从个位数入手 四位偶数可分为 个位数是 0 的四位偶做 个位数是 2 4 6 8 的四位偶数 这是因为零不能放在千位数上 由此解法一与二 如果从千位数入手 四位偶数可分为 千位数是 1 3 5 7 9 和千位数是 2 4 6 8 两类 由此得解法三 如果四位数划分为四位奇数和四位偶数两类 先求出四位个数的个数 用排除法 得 解法四 解法解法 1 当个位数上排 0 时 千位 百位 十位上可以从余下的九个数字中任选 3 个来排列 故有个 3 9 A 当个位上在 2 4 6 8 中任选一个来排 则千位上从余下的八个非零数字中任选一 个 百位 十位上再从余下的八个数字中任选两个来排 按乘法原理有 个 2 8 1 8 1 4 AAA 没有重复数字的四位偶数有 个 22961792504 2 8 1 8 1 4 3 9 AAAA 解法解法 2 当个位数上排 0 时 同解一有个 当个位数上排 2 4 6 8 中之一时 3 9 A 千位 百位 十位上可从余下 9 个数字中任选 3 个的排列数中减去千位数是 0 排列数得 个 2 8 3 9 1 4 AAA 没有重复数字的四位偶数有 个 22961792504 2 8 3 9 1 4 3 9 AAAA 解法解法 3 千位数上从 1 3 5 7 9 中任选一个 个位数上从 0 2 4 6 8 中任选 一个 百位 十位上从余下的八个数字中任选两个作排列有 个 2 8 1 5 1 5 AAA 干位上从 2 4 6 8 中任选一个 个位数上从余下的四个偶数中任意选一个 包括 0 在内 百位 十位从余下的八个数字中任意选两个作排列 有 个 2 8 1 4 1 4 AAA 没有重复数字的四位偶数有 个 2296 2 8 1 4 1 4 2 8 1 5 1 5 AAAAAA 解法解法 4 将没有重复数字的四位数字划分为两类 四位奇数和四位偶数 没有重复数字的四位数有个 3 9 4 10 AA 其中四位奇数有个 2 8 3 9 1 5 AAA 没有重复数字的四位偶数有 2 8 3 9 3 9 3 9 2 8 3 9 1 5 3 9 4 10 5510 AAAAAAAAA 2 8 3 9 54AA 2 8 2 8 536AA 2 8 41A 个2296 说明 说明 这是典型的简单具有限制条件的排列问题 上述四种解法是基本 常见的解法 要认真体会每种解法的实质 掌握其解答方法 以期灵活运用 典型例题二典型例题二 例例 2 三个女生和五个男生排成一排 1 如果女生必须全排在一起 可有多少种不同的排法 2 如果女生必须全分开 可有多少种不同的排法 3 如果两端都不能排女生 可有多少种不同的排法 4 如果两端不能都排女生 可有多少种不同的排法 解 解 1 捆绑法 因为三个女生必须排在一起 所以可以先把她们看成一个整体 这样同五个男生合一起共有六个元素 然成一排有种不同排法 对于其中的每一种排法 6 6 A 三个女生之间又都有对种不同的排法 因此共有种不同的排法 3 3 A4320 3 3 6 6 AA 2 插空法 要保证女生全分开 可先把五个男生排好 每两个相邻的男生之间留 出一个空档 这样共有 4 个空档 加上两边两个男生外侧的两个位置 共有六个位置 再 把三个女生插入这六个位置中 只要保证每个位置至多插入一个女生 就能保证任意两个 女生都不相邻 由于五个男生排成一排有种不同排法 对于其中任意一种排法 从上述 5 5 A 六个位置中选出三个来让三个女生插入都有种方法 因此共有种不同 3 6 A14400 3 6 5 5 AA 的排法 3 解法 1 位置分析法 因为两端不能排女生 所以两端只能挑选 5 个男生中的 2 个 有种不同的排法 对于其中的任意一种排法 其余六位都有种排法 所以共 2 5 A 6 6 A 有种不同的排法 14400 6 6 2 5 AA 解法 2 间接法 3 个女生和 5 个男生排成一排共有种不同的排法 从中扣除女 8 8 A 生排在首位的种排法和女生排在末位的种排法 但这样两端都是女生的排 7 7 1 3 AA 7 7 1 3 AA 法在扣除女生排在首位的情况时被扣去一次 在扣除女生排在未位的情况时又被扣去一次 所以还需加一次回来 由于两端都是女生有种不同的排法 所以共有 6 6 2 3 AA 种不同的排法 144002 6 6 2 3 7 7 1 3 8 8 AAAAA 解法 3 元素分析法 从中间 6 个位置中挑选出 3 个来让 3 个女生排入 有种不 3 6 A 同的排法 对于其中的任意一种排活 其余 5 个位置又都有种不同的排法 所以共有 5 5 A 种不同的排法 14400 5 5 3 6 AA 4 解法 1 因为只要求两端不都排女生 所以如果首位排了男生 则未位就不再受 条件限制了 这样可有种不同的排法 如果首位排女生 有种排法 这时末位 7 7 1 5 AA 1 3 A 就只能排男生 有种排法 首末两端任意排定一种情况后 其余 6 位都有种不同的 1 5 A 6 6 A 排法 这样可有种不同排法 因此共有种不同 6 6 1 5 1 3 AAA 36000 6 6 1 5 1 3 7 7 1 5 AAAAA 的排法 解法 2 3 个女生和 5 个男生排成一排有种排法 从中扣去两端都是女生排法 8 8 A 种 就能得到两端不都是女生的排法种数 6 6 2 3 AA 因此共有种不同的排法 36000 6 6 2 3 8 8 AAA 说明 说明 解决排列 组合 下面将学到 由于规律相同 顺便提及 以下遇到也同样处 理 应用问题最常用也是最基本的方法是位置分析法和元素分析法 若以位置为主 需先满足特殊位置的要求 再处理其它位置 有两个以上约束条件 往往是考虑一个约束条件的同时要兼顾其它条件 若以元素为主 需先满足特殊元素要求再处理其它的元素 间接法有的也称做排除法或排异法 有时用这种方法解决问题来得简单 明快 捆绑法 插入法对于有的问题确是适用的好方法 要认真搞清在什么条件下使用 典型例题三典型例题三 例例 3 排一张有 5 个歌唱节目和 4 个舞蹈节目的演出节目单 1 任何两个舞蹈节目不相邻的排法有多少种 2 歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的方法有多少种 解 解 1 先排歌唱节目有种 歌唱节目之间以及两端共有 6 个位子 从中选 4 个 5 5 A 放入舞蹈节目 共有中方法 所以任两个舞蹈节目不相邻排法有 43200 4 6 A 5 5 A 4 6 A 2 先排舞蹈节目有中方法 在舞蹈节目之间以及两端共有 5 个空位 恰好供 5 4 4 A 个歌唱节目放入 所以歌唱节目与舞蹈节目间隔排列的排法有 2880 种方法 4 4 A 5 5 A 说明 说明 对于 间隔 排列问题 我们往往先排个数较少的元素 再让其余元素插空排 列 否则 若先排个数较多的元素 再让其余元素插空排时 往往个数较多的元素有相邻 情况 如本题 2 中 若先排歌唱节目有 再排舞蹈节目有 这样排完之后 其中 5 5 A 4 6 A 含有歌唱节目相邻的情况 不符合间隔排列的要求 典型例题四典型例题四 例例 4 某一天的课程表要排入政治 语文 数学 物理 体育 美术共六节课 如果第 一节不排体育 最后一节不排数学 那么共有多少种不同的排课程表的方法 分析与解法分析与解法 1 6 六门课总的排法是 其中不符合要求的可 6 6 A 分为 体育排在第一书有种排法 如图中 数学排在最后一节 5 5 A 有种排法 如图中 但这两种排法 都包括体育排在第一书数学排在最后一节 如图 5 5 A 中 这种情况有种排法 因此符合条件的排法应是 4 4 A 种 5042 4 4 5 5 6 6 AAA 分析与解法分析与解法 2 根据要求 课程表安排可分为 4 种情况 1 体育 数学既不排在第一节也不排在最后一节 这种排法有种 4 4 2 4 AA 2 数学排在第一节但体育不排在最后一节 有排法种 4 4 1 4 AA 3 体育排在最后一节但数学不排在第一节 有排法种 4 4 1 4 AA 4 数学排在第一节 体育排在最后一节 有排法 4 4 A 这四类排法并列 不重复也不遗漏 故总的排法有 种 504 4 4 1 4 4 4 1 4 4 4 2 4 AAAAAA 分析与解法分析与解法 3 根据要求 课表安排还可分下述 4 种情况 1 体育 数学既不在最后也不在开头一节 有种排法 12 2 4 A 2 数学排在第一节 体育不排在最后一节 有 4 种排法 3 体育在最后一书 数学木在第一节有 4 种排法 4 数学在第一节 体育在最后一节有 1 种排法 上述 21 种排法确定以后 仅剩余下四门课程排法是种 故总排法数为 4 4 A 种 50421 4 4 A 下面再提出一个问题 请予解答 问题 有 6 个人排队 甲不在排头 乙不在排尾 问并肩多少种不同的排法 请读者完成此题 说明 说明 解答排列 组合问题要注意一题多解的练习 不仅能提高解题能力 而且是检 验所解答问题正确与否的行之有效的方法 典型例题五典型例题五 例例 5 现有辆公交车 位司机和位售票员 每辆车上需配 位司机和 位售票33311 员 问车辆 司机 售票员搭配方案一共有多少种 分析 分析 可以把辆车看成排了顺序的三个空 然后把名司机和名售票员分333 别填入 因此可认为事件分两步完成 每一步都是一个排列问题 解 解 分两步完成 第一步 把名司机安排到辆车中 有种安排方法 第二336 3 3 A 步把名售票员安排到辆车中 有种安排方法 故搭配方案共有336 3 3 A 种 36 3 3 3 3 AA 说明 说明 许多复杂的排列问题 不可能一步就能完成 而应分解开来考虑 即经适当地 分类成分或分步之后 应用分类计数原理 分步计数原理原理去解决 在分类或分步时 要尽量把整个事件的安排过程考虑清楚 防止分类或分步的混乱 典型例题六典型例题六 例例 6 下是表是高考第一批录取的一份志愿表 如果有所重点院校 每所院校有4 个专业是你较为满意的选择 若表格填满且规定学校没有重复 同一学校的专业也没有3 重复的话 你将有多少种不同的填表方法 学 校 专 业 1 1 2 2 1 2 3 1 2 分析 分析 填写学校时是有顺序的 因为这涉及到第一志愿 第二志愿 第三志愿的问题 同一学校的两个专业也有顺序 要区分出第一专业和第二专业 因此这是一个排列问题 解 解 填表过程可分两步 第一步 确定填报学校及其顺序 则在所学校中选出所43 并加排列 共有种不同的排法 第二步 从每所院校的个专业中选出个专业并确定 3 4 A32 其顺序 其中又包含三小步 因此总的排列数有种 综合以上两步 由分步计 2 3 2 3 2 3 AAA 数原理得不同的填表方法有 种 5184 2 3 2 3 2 3 3 4 AAAA 说明 说明 要完成的事件与元素的排列顺序是否有关 有时题中并未直接点明 需要根据 实际情景自己判断 特别是学习了后面的 组合 之后这一点尤其重要 选而且排 元 素之间有顺序要求 的是排列 选而不排 元素之间无顺序要求 的是组合 另外 较 复杂的事件应分解开考虑 典型例题七典型例题七 例例 5 名同学排队照相 7 1 若分成两排照 前排人 后排人 有多少种不同的排法 34 2 若排成两排照 前排人 后排人 但其中甲必须在前排 乙必须在后排 有多34 少种不同的排法 3 若排成一排照 甲 乙 丙三人必须相邻 有多少种不同的排法 4 若排成一排照 人中有名男生 名女生 女生不能相邻 有多少种不面的排743 法 分析 分析 1 可分两步完成 第一步 从人中选出人排在前排 有种排法 第二步 73 3 7 A 剩下的人排在后排 有种排法 故一共有种排法 事实上排两排与排成4 4 4 A 7 7 4 4 3 7 AAA 一排一样 只不过把第个位子看成第二排而已 排法总数都是 相当于个人的7 4 7 7 A7 全排列 2 优先安排甲 乙 3 用 捆绑法 4 用 插空法 解 1 种 5040 7 7 4 4 3 7 AAA 2 第一步安排甲 有种排法 第二步安排乙 有种排法 第三步余下的人排 1 3 A 1 4 A5 在剩下的个位置上 有种排法 由分步计数原理得 符合要求的排法共有5 5 5 A 种 1440 5 5 1 4 1 3 AAA 3 第一步 将甲 乙 丙视为一个元素 有其余个元素排成一排 即看成个元素45 的全排列问题 有种排法 第二步 甲 乙 丙三人内部全排列 有种排法 由分 5 5 A 3 3 A 步计数原理得 共有种排法 720 3 3 5 5 AA 4 第一步 名男生全排列 有种排法 第二步 女生插空 即将名女生插入4 4 4 A3 名男生之间的个空位 这样可保证女生不相邻 易知有种插入方法 由分步计数原45 3 5 A 理得 符合条件的排法共有 种 1440 3 5 4 4 AA 说明 说明 1 相邻问题用 捆绑法 即把若干个相邻的特殊元素 捆绑 为一个 大元 素 与其他普通元素全排列 最后再 松绑 将这些特殊元素进行全排列 2 不相邻问 题用 插空法 即先安排好没有限制条件的元素 然后再将有限制条件的元素按要求插入 排好的元素之间 典型例题八典型例题八 例例 8 从五个数字中每次取出三个不同的数字组成三位数 求所有三位数65432 的和 分析 分析 可以从每个数字出现的次数来分析 例如 当它位于个位时 即形如2 的数共有个 从四个数中选两个填入前面的两个空 当这些数相加时 2 4 A6543 由 所产生的和是 当位于十位时 即形如的数也有 那么当这些22 2 4 A2 2 4 A 数相加时 由 产生的和应是 当位于面位时 可同理分析 然后再依次2102 2 4 A2 分析的情况 6543 解 解 形如的数共有个 当这些数相加时 由 产生的和是 形如 2 4 A22 2 4 A 的数也有个 当这些数相加时 由 产生的和是 形如的数 2 4 A2102 2 4 A 也有个 当这些数相加时 由 产生的和应是 这样在所有三位数的和 2 4 A21002 2 4 A 中 由 产生的和是 同理由产生的和分别是 21112 2 4 A6543 1113 2 4 A 因此所有三位数的和是1114 2 4 A1115 2 4 A1116 2 4 A 26640 65432 111 2 4 A 说明 说明 类似于这种求 数字之和 的问题都可以用分析数字出现次数的办法来解 决 如 由四个数字组成没有重复数字的四位数 若所有这些四位数的各数位上x 5 4 1 的数字之和为 求数 本题的特殊性在于 由于是全排列 每个数字都要选用 故288x 每个数字均出现了次 故有 得 24 4 4 A288 541 24 x2 x 典型例题九典型例题九 例 9 计算下列各题 1 2 3 2 15 A 6 6 A 1 1 1 1 n n mn mn m n A AA 4 5 33 22 1nn 1 4 3 3 2 2 1 n n 解 解 1 2101415 2 15 A 2 720123456 6 6 6 A 3 原式 1 1 1 1 1 n mn mn n 1 1 1 1 n mn mn n 4 原式 1 3 4 2 3 1 2 nn 1 1 n 5 1 1 1 1 nnn n 1 4 3 3 2 2 1 n n 1 1 1 1 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 1 1 nnn 说明 说明 准确掌握好排列公式是顺利进行计算的关键 本题计算中灵活地用到下列各式 使问题解得简单 快 1 nnn 1 nnnn 1 1 1 1 nnn n 捷 典型例题十典型例题十 例例 10 六人排一列纵队 限定要排在的前面 与可以相邻 fedcba abab 也可以不相邻 求共有几种排法 对这个题目 四位同学各自给出了一ABCD 种算式 的算式是 的算式是 的算式是 A 6 6 2 1 AB 4 4 1 5 1 4 1 3 1 2 1 1 AAAAAA C 4 6 A 的算式是 上面四个算式是否正确 正确的加以解释 不正确的说明理由 D 4 4 2 6 AC 解 解 中很显然 在前的六人纵队 的排队数目与 在前的六人纵队 排队Aabba 数目相等 而 六人纵队 的排法数目应是这二者数目之和 这表明 的算式正确 A 中把六人排队这件事划分为占位 占位 其他四人占位这样三个阶段 然后用Bab 乘法求出总数 注意到占位的状况决定了占位的方法数 第一阶段 当占据第一个aba 位置时 占位方法数是 当占据第 2 个位置时 占位的方法数是 当b 1 5 Aab 1 4 A 占据第 5 个位置时 占位的方法数是 当 占位后 再排其他四人 他们有ab 1 1 Aab 种排法 可见的算式是正确的 4 4 AB 中可理解为从 6 个位置中选 4 个位置让占据 这时 剩下的两个位C 4 6 Afedc 置依前后顺序应是的 因此的算式也正确 ba C 中把 6 个位置先圈定两个位置的方法数 这两个位置让占据 显然 D 2 6 Cba 占据这两个圈定的位置的方法只有一种 要在的前面 这时 再排其余四人 ba ab 又有种排法 可见的算式是对的 4 4 AD 说明 说明 下一节组合学完后 可回过头来学习的解法 D 典型例题十一典型例题十一 例例 11 八个人分两排坐 每排四人 限定甲必须坐在前排 乙 丙必须坐在同一排 共有多少种安排办法 解法解法 1 可分为 乙 丙坐在前排 甲坐在前排的八人坐法 和 乙 丙在后排 甲 坐在前排的八人坐法 两类情况 应当使用加法原理 在每类情况下 划分 乙丙坐下 甲坐下 其他五人坐下 三个步骤 又要用到分步计数原理 这样可有如下算法 种 6408 5 5 1 4 2 4 5 5 1 2 2 4 AAAAAA 解法解法 2 采取 总方法数减去不命题意的所有方法数 的算法 把 甲坐在第一排的 八人坐法数 看成 总方法数 这个数目是 在这种前提下 不合题意的方法是 7 7 1 4 AA 甲坐第一排 且乙 丙坐两排的八人坐法 这个数目是 其中第一 5 5 1 4 1 3 1 2 1 4 AAACA 个因数表示甲坐在第一排的方法数 表示从乙 丙中任选出一人的办法数 表示 1 4 A 1 2 C 1 3 A 把选出的这个人安排在第一排的方法数 下一个则表示乙 丙中沿未安排的那个人坐在 1 4 A 第二排的方法数 就是其他五人的坐法数 于是总的方法数为 5 5 A 种 6408 5 5 1 4 1 3 1 2 1 4 7 7 1 4 AAACAAA 说明 说明 解法 2 可在学完组合后回过头来学习 典型例题十二典型例题十二 例例 12 计划在某画廊展出 10 幅不同的画 其中 1 幅水彩画 4 幅油画 5 幅国画 排 成一行陈列 要求同一品种的画必须连在一起 并且不彩画不放在两端 那么不同陈列方 式有 A B C D 5 5 4 4 AA 5 5 4 4 3 3 AAA 5 5 4 4 1 3 AAC 5 5 4 4 2 2 AAA 解 解 将同一品种的画 捆 在一起 注意到水彩画不放在两端 共有种排列 但 4 2 2 A 幅油画 5 幅国画本身还有排列顺序要求 所以共有种陈列方式 5 5 4 4 2 2 AAA 应选 D 说明 说明 关于 若干个元素相邻 的排列问题 一般使用 捆绑 法 也就是将相邻的 若干个元素 捆绑 在一起 看作一个大元素 与其他的元素进行全排列 然后 再 松 绑 将被 捆绑 的若干元素 内部进行全排列 本例题就是一个典型的用 捆绑 法来 解答的问题 典型例题十三典型例题十三 例例 13 由数字组成没有重复数字的六位数 其中个位数字小于十位数5 4 3 2 1 0 的个数共有 A 210 B 300 C 464 D 600 解法解法 1 直接法 分别用作十万位的排列数 共有种 所以其5 4 3 2 1 5 5 5 A 中个位数字小于十位数字的这样的六位数有个 3005 2 1 5 5 A 解法解法 2 间接法 取个数字排列有 而作为十万位的排列有 5 1 0 6 6 A0 5 5 A 所以其中个位数字小于十位数字的这样的六位数有 个 300 2 1 5 5 6 6 AA 应选 B 说明 说明 1 直接法 间接法是解决有关排列应用题的两种基本方法 何时使用直接法或 间接法要视问题而定 有的问题如果使用直接法解决比较困难或者比较麻烦 这时应考虑 能否用间接法来解 2 个位数字小于十位数字 与 个位数字大于十位数字 具有对称性 这两类的六 位数个数一样多 即各占全部六位数的一半 同类问题还有 6 个人排队照像时 甲必须站 在乙的左侧 共有多少种排法 典型例题十四典型例题十四 例例 14 用 这五个数字 组成没有重复数字的三位数 其中偶数共有 5 4 3 2 1 A 24 个 B 30 个 C 40 个 D 60 个 分析 分析 本题是带有附加条件的排列问题 可以有多种思考方法 可分类 可分步 可 利用概率 也可利用本题所提供的选择项分析判断 解法解法 1 分类计算 将符合条件的偶数分为两类 一类是 2 作个位数 共有个 另一类是 4 作个位数 2 4 A 也有个 因此符合条件的偶数共有个 2 4 A24 2 4 2 4 AA 解法解法 2 分步计算 先排个位数字 有种排法 再排十位和百位数字 有种排法 根据分步计数原 1 2 A 2 4 A 理 三位偶数应有个 24 2 4 1 2 AA 解法解法 3 按概率算 用这个数字可以组成没有重复数字的三位数共有个 其中偶点其中的51 560 3 5 A 因此三位偶数共有个 5 2 24 5 2 60 解法解法 4 利用选择项判断 用这个数字可以组成没有重复数字的三位数共有个 其中偶数少于奇51 560 3 5 A 数 因此偶数的个数应少于个 四个选择项所提供的答案中 只有符合条件 30A 应选 A 典型例题十五典型例题十五 例例 15 1 计算 8 8 3 3 2 2 1 1 832AAAA 2 求 的个位数字 3 2 1nSn 10 n 分析 分析 本题如果直接用排列数公式计算 在运算上比较困难 现在我们可以从和式中 项的特点以及排列数公式的特点两方面考虑 在 1 中 项可抽象为 2 中 项为 n n n n n n n n n n n n AAnAAnAnnA 1 1 1 11 当时 乘积中出现 5 和 2 积的个位数为 0 在加法123 2 1 nnnn5 n 运算中可不考虑 解 解 1 由 1 nnnAn n 原式 362879 1 9 8 9 2 3 1 2 2 当时 的个位数为 0 5 n123 2 1 nnnn 的个位数字与的个位数字相 3 2 1nSn 10 n 4 3 2 1 同 而 的个位数字为 3 33 4 3 2 1 n S 说明 说明 对排列数公式特点的分析是我们解决此类问题的关键 比如 求证 我们首先可抓等式右边的 1 1 1 1 4 3 3 2 2 1 nn n 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 nnnn n n n n n 左边右边 1 1 1 1 1 1 3 1 2 1 2 1 1 nnn 典型例题十六典型例题十六 例例 16 用共六个数字 组成无重复数字的自然数 1 可以组成多少543210 个无重复数字的位偶数 2 可以组成多少个无重复数字且被整除的三位数 33 分析 分析 位偶数要求个位是偶数且首位数字不能是 由于个位用或者不用数字 300 对确定首位数字有影响 所以需要就个位数