中考数学二轮复习 专题练习（下）几何问题—四边形的旋转 新人教版

4 4 四边形的旋转四边形的旋转 1 正方形的顶点在直线上 点是对角线 的交点 过点作于点 abcdamnoacbdooemn e 过点作于点 bbfmn f 1 如图 1 当 两点均在直线上方时 求 obmn2afbfoe 2 当正方形绕点顺时针旋转至图 2 图 3 的位置时 线段 之间又有怎样的数量 abcdaafbfoe 关系 解析 1 证明 如图 1 过点作于 bbgoe g 则四边形是矩形 bgefbfge efgb 四边形是正方形 abcdoaob oaob 90aoebog bgoe 90obgbog aoeobg 又 90aeoogb aoeobgaa aeog oebg oeef 2afbfaeefgeogoegeoe 2afbfoe 2 图 2 结论 2afbfoe 图 3 结论 2bfafoe 对于图 2 证明 过点作交延长线于 bbgoe oeg 则四边形是矩形 egbfbfge efgb 四边形是正方形 abcdoaob oaob 90aoebog bgoe 90obgbog aoeobg 又 90aeoogb aoeobgaa aeog oebg oeef 2afbfaeefgeogoegeoe 2afbfoe 若选图 3 其证明方法同上 2 如图 1 若四边形和都是正方形 显然图中有 abcdgfedagce agce 1 当正方形绕旋转到如图 2 的位置时 是否成立 如果成立请说明理由 如果不成立 gfeddagce 请说明理由 2 当正方形绕旋转到如图 3 的位置时 延长交于 交于 gfeddceaghadm 求证 agch 当 时 求的长 4ad 2dg ch 解析 1 成立 agce 证明 四边形 四边形是正方形 abcddefg gdde addc 90gdeadc 90gdaadeedc agdcedaa agce 2 类似 1 可得 agdcedaa gaddce 又 hmadmc 90ahmadc 即 agch 连接 交于 连接 geadpcg 四边形是正方形 gfed 2sin451gppd 3ap 10ag egad cdad egcda 以为底边的的高为 延长画高 cdcdga1pd cd agdacdacgcgdacdg sssss aaaa四边形 4 1 44104 1ch 8 10 5 ch 3 如图 1 正方形与正方形的边 在一条直线上 正方形以点 abcdaefgabaeabae aefg 为旋转中心逆时针旋转 设旋转角为 在旋转过程中 两个正方形只有点重合 其它顶点均不重合 连接 a a bedg 1 当正方形旋转至图 2 所示的位置时 求证 aefgbedg 2 当点在直线上时 连接 求的度数 cbefcfcd 3 如图 3 如果 求点到的距离 45 2ab 4 2ae gbe 解析 1 正方形与正方形 abcdaefg abad aeag 90badeag baedag abeadgaa be dg 2 当点在线段上时 作于 cbefhbe h aeef 90aebefhfeh rt abert ehfaa abeh befh ch ceehceabcebcbe chfh 45fce 45fcd 当点在的延长线上时 作于 cebfhbe h aeef 90aebefhfeh rt abert ehfaa abeh befh ch ceehceabcebcbe chfh 45fce 135fcd 3 连接 gbge 45dag 点在线段上 cae45baeaeg abgea 1 4 24 216 2 bgeage ss aa 作于 则 boac o 2 2 2 oaobab 在中 rt boea4 223 2oeaeoa 22 2 5beoboe 延长交于 gdbeh 由 得 abeadgaa agdaeb 90ghegae 1 2 bge be ghs a 22 1616 5 52 5 bge s gh be a 4 如图 1 所示 将一个边长为 2 的正方形和一个长为 2 宽为 1 的长方形拼在一起 构成一个大 abcdcefd 的长方形 现将小长方形绕点顺时针旋转至 旋转角为 abefcefdcce f d 1 当点恰好落在边上时 求旋转角的值 d ef 2 如图 2 为中点 且 求证 gbc 090 gde d 3 小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中 与能否全等 若能 直接写出旋转 cefdc dcd a cbd a 角的值 若不能 说明理由 解析 1 dcefa dcdcd e 1 sin 2 cece cdcd 30 2 为中点 gbc1gccece 90d cgdcgdcd 90dced cedcd d cgdce 又 cdcd gcde cd aa gd e d 3 能 或 135 315 解 四边形为正方形 abcd cb cd cd cd 与为等腰相等的两等腰三角形 bcd adcd a 当与为钝角三角形时 则旋转角 bcd adcd a 36090 135 2 当与为锐角三角形时 则旋转角 bcd adcd a 1 45 2 bcddcdbcd 即旋转角的值为或时 与全等 90 360315 2 315 135 dcd a cbd a 5 如图 1 为等腰直角三角形 是边上的一个动点 点与 不重合 abc90acb facfac 以为一边在等腰直角三角形外作正方形连接 cf cdef bfad 1 猜想图 1 中线段 的数量关系及所在直线的位置关系 直接写出结论 bfad 将图 1 中的正方形绕着点按顺时针 或逆时针 方向旋转任意角度 得到如图 2 图 3 的情形 cdef c 图 2 中交于点 交于点 请你判断 中得到的结论是否仍然成立 bfachado 2 将原题中的等腰直角三角形改为直角三角形 正方形改为矩形 abcabc90acb cdef 如图 4 且 交于点 交于点 连 cdef4ac 3bc cd 4 31cf bfachado 接 求的值 bdaf 22 bdaf 解析 1 bfad bfad 证明 为等腰直角三角形 abca90acb ac bc 四边形为正方形 cdef 90acdacb cfcd sas acfdbcaa bf ad 延长交于点 bfadg daccbf afgbfc 90agfbcf bf ad 仍然成立 bfad bfad 证明 是等腰直角三角形 abca90acb ac bc 四边形是正方形 cdef 90cdcffcd acbacf fcdacf 即 bcf acd bcfacdaa sas bfadcbfcad 又 bhcaho 90cbhbhc 90cadaho 90aoh bf ad 2 证明 连接df 四边形是矩形 cdef 90fcd 又 90acb acbfcd acbacf fcdacf 即 bcf acd 4ac 3bc cd 4 31cf 3 4 bccf accd bcfacdaa cbfcad 又 bhcaho 90cbhbhc 90cadaho 90aoh bf ad 90bodaob 222 bdobod 222 afoaof 222 aboaob 222 dfofod 222222 bdafobodoaof 22 abdf 在 rt 中 abc90acb 4ac 3bc 22222 3425abacbc 在中 rt fcda90fcd cd 4 31cf 22222 425 1 39 dfcdcf 22 bdaf 22 25 25 9 abdf 250 9 6 如图 在菱形和菱形中 点 在同一条直线上 abcdbefg60abcbef abe 是线段的中点 连结 pdfpgpc 1 求证 pgpc 3pgpc 2 将图 中的菱形绕点顺时针旋转 使菱形的对角线恰好与菱形的边在 befgbbefgbfabcdab 同一条直线上 其他条件不变 如图 1 中的结论是否还成立 如果成立 请说明理由 如果不成立请说明 理由 3 若图 中 将菱 形绕点顺时针旋转任意角度 其他条 0180abcbef befgb 件不变 如图 判断与的位置关系和数量关系 pgpc 解析 1 证明 如图 延长交于点 gpdch dcgfa pdhpfg 又 dphfpg dpfp dphfpgaa phpg dhfg 菱形 菱形 abcdbefgcdbc gbfg 即 chcg pchg pgpc chcg phpg 1 60 2 gcphcpdcb 3pgpc 2 证明 如图 延长交于点 连结 cpabhcghg dcafa cdphfp 又 dpfp cpdhpf cpdhpfaa cdhf cphp 又 bccd hfbc 在和中 cbgahfga bchf 60cbghfg bgfg cbghfgaa cghg cgbhgf pgpc cgbcghhgb hgffgbhgb 又 60cghfgb cghg 是等边三角形 cgha60pcg 3pgpc 3 pgpc tan 2 pc pg 如图 延长至 使 连结交于点 连结 cpmpmpc mfbencgmg 则 cpdmpfaa mfcdbc cdpmfp mf cdabaa 180abnbnfbnfmfg 又 180abncbg 又 cbgmfg bgfg cbgmfgaa cgmg cgbmgf pgpc cgmbgfbef 2 cgp tan 2 pc pg 7 如图 四边形和四边形均为正方形 连接与相交于点 abcdaefgbgdeh 1 试猜想的度数 并说明理由 bhd 2 将正方形绕点逆时针旋转 设的面积为 的面积为 abcda0180bae abea1 s adga 判断与的大小关系 并给予证明 2 s 1 s 2 s 3 若 设的面积为 将正方形绕点逆时针旋转一周 求的取 3ab 2ae dbeasabcdas 值范围 解析 1 猜想 理由如下 90bhd 90gaebad gabead 又 agae abad abgadeaa 12 又 34 132490 90bhd 2 当正方形绕点逆时针旋转时 和总保持相等 abcda0180bae 1 s 2 s 证明如下 由于 因此分三种情况 0180bae 当时 如图 1 090bae 过点作直线于点 bbm aem 过点作直线于点 ddn agn 90manbad mabnad 又 90amband abad ambandaa bmdn 又 aeag 1 2 1 2 ae bmag dn 12 ss 当时 如图 2 90bae aeag 90dagbae abad abeadgaa 12 ss 当时 如图 3 90180bae 和 一样 同理可证 12 ss 综上所述 在 2 的条件下 总有 12 ss 3 正方形在绕点旋转的过程中 它的对称中心的轨迹是以点为圆心 为半径的圆 如图 4 abcdaoaao 因为的边 故当点到的距离取得最大 最小值时 取得最大 最小值 dbea 3 2bd ebds 当在直线上时 取得最大值 1 o aes 1 2 s 最大 3 2 3 2 2 2 15 2 当在直线上时 取得最小值 2 o aes s 最小 1 2 3 2 3 2 2 2 3 2 故的取值范围是 s 3 2 s 15 2 8 如图 已知是等腰直角三角形 点是的中点 作正方形 使点 abca90bac dbcdefga 分别在和上 连接 cdgdeaebg 1 试猜想线段和的数量关系 请直接写出你得到的结论 bgae 2 将正方形绕点逆时针方向旋转一定角度后 旋转角度大于 小于或等于 如图 defgd0 360 通过观察或测量等方法判断 1 中的结论是否仍然成立 3 若 在 2 的旋转过程中 当为最大值时 求的值 2bcde aeaf 解析 1 bgae 证明 90bdgeda gdde adbd sas edgabdaa bgae 2 成立 如图 连接 ad 是等腰直角三角形 点是的中点 abca90bac dbc 且 90adb bdad 90bdgadbadgadgade dgde bdgadeaa bgae 3 由 2 知 故当最大时 也最大 bgae bgae 因为正方形在绕点旋转的过程中 点的轨迹是以点为圆心 为半径的圆 故当正方形 defgdgddg 旋转到点位于的延长线上 即正方形绕点逆时针方向旋转 时 最大 defggbcdefgd270 bg 如 图 若 则 2bcde 1ad 2ef 在中 rt aefa 2222222 122 3 1afaeefaddeef 13af 即在正方形旋转过程中 当为最大值时 defgae13af 9 如图 1 四边形是正方形 是边上的一个动点 点与 不重合 以为一边在正方 abcdgcdgcdcg 形外作正方形 连接 我们探究下列图中线段 线段的长度关系及所在直 abcdcefgbgdebgde 线的位置关系 1 猜想图 1 中线段 线段的长度关系及所在直线的位置关系 bgde 2 将图 1 中的正方形绕着点按顺时针 或逆时针 方向旋转任意角度 得到如图 2 如图 3 情 cefgc 形 请你通过观察 测量等方法判断 1 中得到的结论是否仍然成立 并选取图 2 证明你的判断 解析 1 bgde bgde 四边形和四边形是正方形 abcdcefg bcdc cgce 90bcdecg bcgdce 在和中 bcgadcea bcdcbcgdce cgce bcgdce sasaa bgde 延长交于点 bgdeh bcgdceaa cbgcde 又 90cbgbgc 90cdedgh 90dhg 即 bhde bgde 2 仍然成立 bgde bgde 在图 2 中证明如下 四边形 四边形都是正方形 abcdcefg bccd cgce 90bcdecg bcgdce bcgdce sasaa bgde cbgcde 又 bhcdho 90cbgbhc 90cdedho 90doh bgde 10 已知菱形是 由绕点顺时针旋转得到的 这两个菱形的边长都是 aefbabcdaa 1 如图 1 连接 求证 四边形为矩形 decfcdef 2 如图 2 连接 分别是边 上的两个动点 且满足 bdbebdada mnbdbe 判断的形状 并说明理由 dmnea amna 3 在 2 的条件下 当时 设的面积为 求的 最小值 2a amnass 解析 1 证明 如图 1 菱形是由菱形绕点顺时针旋转得到的 aefbabcda abbccdadaeefbf dabeab cdabaabefa cdef cdefa 12 四边形是平行四边 cdef adae dabeab abed 190 290 平行四边形是矩形 cdef 2 是等边三角形 理由 amna 证明 如图 2 菱形是由菱形绕点顺时针旋转得到的 aefbabcda abbccdadaeefbf dabeab cdabaabefa bdad adabbdbeae 为等边三角形 abda 60baebadabeaeb dmnea dmbma dmnedmbm nebm 在和中 abmaaena bmen abdaeb abae abmaen sasaa aman bamean 60banean 60banbamman aman 是等边三角形 amna 3 解 如图 2 作于 agmn g 是等边三角形 amna 60anm mnan sin60agan 11 sin60 22 amn smn agmn an a 2 1 sin60 2 amn san a 当最小时 最小 ans 时 最小 anbe an 90ane 2abaebea 1ne 在中 由勾股定理 得 rt anea 3an 2 133 3 3 224 amn s a最小 答 的最小值为 s 3 3 4 11 如图 1 四边形 为两个全等的矩形 且矩形的对角线交于点 点在上 abcdefghabcdeaeg 将矩形绕点顺时针旋转角 如图 2