高考数学难点突破_难点15__三角函数的图象和性质

难点 15 三角函数的图象和性质 三角函数的图象和性质是高考的热点，在复习时要充分运用数形结合的思想，把图象和性质结合起来 难点磁场 ( )已知 、 为锐角，且 x( + 2) 0,试证不等式 f(x)= ) 2 对一切非零实数都成立 . 案例探究 例 1设 z1=m+(2 m2)i,z2=( +i,其中 m, , R，已知 的取值范围 . 命题意图：本题主要考查三角函数的性质，考查考生的综合分析问题的能力和等价转化思想的运用，属级题目 . 知识依托：主要依据等价转化的思想和二次函数在给定区间上的最值问题来解决 . 错解分析：考生不易运用等价转化的思想方法来解决问题 . 技巧与方法：对于解法一，主要运用消参和分离变量的方法把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题；对于解法二，主要运用三角函数的平方关系把所求的问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题 . 解法一： m+(2 m2)i=2(2 +2i,s o =1 2 2 1=2(41)289. 当 41时 取最小值89，当 1 时， 取最大值 2. 解法二： s o 2224 )22(4222 1. (3 4 ) 2 8 =0,设 t= 0 t 4, 令 f(t)=(3 4 )t+4 2 8 ,则0)4(0)0(424300 f(0) f(4) 0 0220434589或或89 0 或 0 2. 的取值范围是89， 2 . 例 2如右图，一滑雪运动员自 h=50m 高处 A 点滑至O 点，由于运动员的技巧 (不计阻力 )，在 O 点保持速率 以倾角 起跳，落至 B 点，令 ，试问， =30时， L 的最大值为多少？当 L 取最大值时， 为多大？ 命题意图：本题是一道综合性题目，主要考查考生运用数学知识来解决物理问题的能力 级题目 . 知识依托：主要依据三角函数知识来解决实际问题 . 错解分析：考生不易运用所学的数学知识来解决物理问题，知识的迁移能力不够灵活 . 技巧与方法：首先运用物理学知识得出目标函数，其次运用三角函数的有关知识来解决实际问题 . 解：由已知条件列出从 O 点飞出后的运动 方程： 20021s o sc o 由整理得： in,c o s 0 412222412 =动员从 A 点滑至 O 点，机械守恒有 :1 L)s 2)s 0 g v=200(m) 即 00(m),又412222. c o o sc o s,20 = =30 00 米，当 跳仰角为 30 . 例 3如下图，某地一天从 6时到 14时的温度变化曲线近似满足函数 y= x+ )+b. (1)求这段时间的最大温差 . (2)写出这段曲线的函数解析式 . 命题意图：本题以应用题的形式考查备考 中的热点题型，要求考生把所学的三角函数知识与实际问题结合起来分析、思考，充分体现了“以能力立意”的命题原则 级题目 . 知识依托：依据图象正确写出解析式 . 错解分析：不易准确判断所给图象所属的三角函数式的各个特定系数和字母 . 技巧与方法：数形结合的思想，以及运用待定系数法确定函数的解析式 . 解： (1)由图示，这段时间的最大温差是 30 10=20( )； (2)图中从 6 时到 14 时的图象是函数 y= x+ )+b 的半个周期的图象 . 221=14 6,解得 =8,由图示 A=21(30 10)=10， b=21(30+10)=20，这时y=10x+ )+20,将 x=6,y=10 代入上式可取 =43 y=10x+ 43 )+20,x 6,14 . 锦囊妙计 本难点所涉及的问题及解决的方法主要有： 类题目要求考生在熟练掌握三角函数图象的基础上要对三角函数的性质灵活运用 . 类题目要求考生具有较强的分析能力和逻辑思维能力 可以逐渐加强 . 此类题目要求考生具有较强的知识迁移能力和数学建模能力，要注意数形结合思想在解题中的应用 . 歼灭难点训练 一、选择题 1.( )函数 y= x 部分图象是 ( ) 2.( )函数 f(x)=+x)是 ( ) 二、填空题 3.( )函数 f(x)=(31) 在 ， 上的单调减区间为 _. 4.( )设 0，若函数 f(x)=2x 在4,3，上单调递增，则的取值范围是 _. 三、解答题 5.( )设二次函数 f(x)=x2+bx+c(b,c R),已知不论 、 为何实数恒有 f( 0和 f(2+ 0. (1)求证： b+c= 1； (2)求证 c 3； (3)若函数 f(的最大值为 8，求 b， c 的值 . 6.( )用一块长为 a，宽为 b(a b)的矩形木板，在二面角为 的墙角处围出一个直三棱柱的谷仓，试问 应怎样围才能使谷仓的容积最大？并求出谷仓容积的最大值 . 7.( )有一块半径为 R，中心角为 45的扇形铁皮材料，为了获取面积最大的矩形铁皮，工人师傅常让矩形的一边在扇形的半径上，然后作其最大内接矩形，试问：工人师傅是怎样选择矩形的四点的？并求出最大面积值 . 8.( )设6 x4，求函数 y=+ 最大值和最小值 . 9.( )是否存在实数 a，使得函数 y=a 5a23在闭区间 0，2上的最大值是 1？若存在，求出对应的 a 值；若不存在，试说明理由 . 参考答案 难点磁场 证明：若 x 0，则 + 2 、 为锐角， 02 2;02 2, 0 ) 0 ) 0 0 01,01, f(x)在 (0,+ )上单调递减， f(x) f(0)=2.若 x 0, + 2, 、 为锐角， 0 2 2,0 2 2,0 ), 0 ), 1, 1, f(x)在 ( ,0）上单调递增， f(x) f(0)=2,结论成立 . 歼灭难点训练 一、 数 y= 奇函数，图象不可能是 ，又当 x (0, 2)时， y 0. 答案： D f(x)=+x)=21+2 (1)221 2 1. 答案： D 二、 , 上， y= 单调递增区间是2,0及2, x)依 值的递增而递减 ,故2,0及2, 为 f(x)的递减区间 . 2 x2，得 f(x)的递增区间为2,2，由题设得 3: 4232,2,24,3 解得 三、 (1) 1 1 且 f( 0 恒成立， f(1) 0 1 2+ 3,且 f(2+ 0 恒成立 . f(1) 0. 从而知 f(1)=0 b+c+1=0. (2)由 f(2+ 0,知 f(3) 0, 9+3b+c b+c= 1, c 3. (3) f(=( 1 c)c=(21 c)2+c ( )21( c)2, 当 1 时， f( ,由 01 81 cb 得 b= 4,c=3. 图，设矩形木板的长边 地，并设 OA=x， OB=y，则 a2=x2+2222 . 0 , 1 0, 2a(当且仅当 x=y 时取“ =”号 )，故 此时谷仓的容积的最大值 21b=2c o c o s 2 木板短边着地时，谷仓的容积 V 的最大值 1 a b, 而当木板的长边着地，并且谷仓的底面是以 a 为底边的等腰三角形时，谷仓的容积最大，其最大值为41 下图，扇形 内接矩形是 ，设 ，则 5 ， 在 ， 1355 2 5 )形 P 2 5 )=22 45 )222 12且仅当 45 )=1,即 =， S 矩形 2工人师傅是这样选点的，记扇形为 扇形一半径 一边，在扇形上作角 P 为边与扇形弧的交点，自 P 作 N， Q，并作 M，则矩形 积最大值为2 12在4,6上， 1+0 和 1 0 恒成立，原函数可化为