测量专业已知两点求方位角

计算坐标与坐标方位角的基本公式 控制测量的主要目的是通过测量和计算求出控制点的坐标 控制 点的坐标是根据边长及方位角计算出来的 下面介绍计算坐标与坐 标方位角的基本公式 这些公式是矿山测量工中最基本最常用的公 式 一 坐标正算和坐标反算公式 1 坐标正算 根据已知点的坐标和已知点到待定点的坐标方位角 边长计算待 定点的坐标 这种计算在测量中称为坐标正算 如图 5 5 所示 已知 A 点的坐标为 A 到 B 的边长和 A x A y 坐标方位角分别为和 则待定点 B 的坐标为 AB S AB ABAB ABAB yyy xxx 5 1 式中 坐标增量 AB x AB y 由图 5 5 可知 ABABAB ABABAB Sy Sx sin cos 5 2 式中 水平边长 AB S 坐标方位角 AB 将式 5 2 代入式 5 1 则有 ABABAB ABABAB Syy Sxx sin cos 5 3 当 A 点的坐标 和边长及其坐标方位角为已知时 A x A y AB S AB 就可以用上述公式计算出待定点 B 的坐标 式 5 2 是计算坐标 增量的基本公式 式 5 3 是计算坐标的基本公式 称为坐标正 算公式 从图 5 5 可以看出是边长在 x 轴上的投影长度 是 AB x AB S AB y 边长在 y 轴上的投影长度 边长是有向线段 是在实地由 A 量到 AB S B 得到的正值 而公式中的坐标方位角可以从 0 到 360 变化 根据 三角函数定义 坐标方位角的正弦值和余弦值就有正负两种 情况 其正负符号取决于坐标方位角所在的象限 如图 5 6 所示 从式 5 2 知 由于三角函数值的正负决定了坐标增量的正负 其符号归纳成表 5 3 图 5 5 坐标计算 图 5 6 坐 标增量符号 表 5 3 坐标增量符号表 坐标增量的正负号坐标方位 角 所在象限 x y 0 90 90 180 180 27 0 270 36 0 例 1 已知 A 点坐标 100 00m 300 10m 边长 A x A y 100m 方位角 330 求 B 点的坐标 AB s AB B x B y 解 根据公式 5 3 有 msyy msxx ABABAB ABABAB 6 249330sin100 1 300sin 1 186330cos100100cos 2 坐标反算 由两个已知点的坐标计算出这两个点连线的坐标方位角和边长 这种计算称为坐标反算 由式 5 1 有 ABAB ABAB yyy xxx 5 4 该式说明坐标增量就是两点的坐标之差 在图 5 5 中 表示 AB x 由 A 点到达 B 点的纵坐标之差称纵坐标增量 表示由 A 点到 AB y B 点的横坐标之差称横坐标增量 坐标增量也有正负两种情况 它 们决定于起点和终点坐标值的大小 在图 5 5 中如果 A 点到 B 点的坐标已知 需要计算 AB 边的坐 标方位角和边长时 AB AB S 则有 AB AB AB AB AB x y xx yy tan AB AB AB AB AB yx S sincos 5 5 或 22 ABABAB yxS 公式 5 5 称为坐标反算公式 应当指出 使用公式 5 5 中第一式计算的角是象限角 R 应根据 x y 的正负号 确定 所在象限 再将象限角换算为方位角 因此公式 5 5 中的第一 式还可表示为 AB AB AB AB AB x y xx yy R arctanarctan 例 2 已知 300m 500m 500m 300m 求 A B A x A y B x B y 二点连线的坐标方位角和边长 AB AB S 解 由公式 5 5 有 1arctan 300500 500300 arctanarctan AB AB AB xx yy R 因为为正 为负 直线 AB 位于第四象限 所以 AB x AB y 45NWRAB 根据第四象限的坐标方位角与象限角的关系得 31545360 AB AB 边长为 myyxxS ABABAB 8 282 500300 300500 2222 坐标正算公式和坐标反算公式都是矿山测量中最基本的公式 应 用十分广泛 在测量计算时 由于公式中各元素的数字较多 测量规范对数字 取位及计算成果作了规定 例如图根控制点要求边长计算取至毫米 角度计算取至秒 坐标计算取至厘米 二 坐标方位角的推算公式 由公式 5 2 知 计算坐标增量需要边长和该边的坐标方位角 两个要素 其中边长是 在野外直接测量或通过三角学的公式计算得到的 坐标方位角则是 根据已知坐标方位角和水平角推算出来的 下面介绍坐标方位角的 推算公式 如图 5 7 所示 箭头所指的方向为 前进 方向 位于前进方向 左侧的观测角称为左观测角 简称左角 位于前进方向右侧的角称 为右观测角 简称右角 1 观测左角时的坐标方位角计算公式 在图 5 7 与 5 8 中 已知 AB 边的方位角为 为左观 AB 左 测角 需要求得 BC 边的方位角 是外业观测得到的水平角 BC 左 从图上可以看出已知方位角与左观测角之和有两种情况 即 AB 左 大于 180 或小于 180 图 5 7 中为大于 180 的情况 图 5 8 中为小于 180 的情况 图 5 7 坐标方位角推算 图 5 8 坐标方位角推算 从图 5 7 可知 BC 边的坐标方位角为 180 左 ABBC 从图 5 8 可知 BC 边的坐标方位角为 180 左 ABBC 综上所述两式则有 180 左后前 5 6 式 5 6 是按照边的前进方向 根据后一条边的已知方位角计 算前一条边方位角的基本公式 公式说明 导线前一条边的坐标方 位角等于后一条边的坐标方位角加上左观测角 其和大于 180 时应 减去 180 小于 180 时应加上 180 2 观测右角时的坐标方位角计算公式 从图 5 7 或图 5 8 可以看出 右左 360 将该式代入式 5 6 得 360 180 右后前 当方位角大于 360 时 应减去 360 方向不变 所以上式变为 180 右后前 5 7 上式说明 导线中 前一条边的坐标方位角等于后一条边的坐标 方位角减去右观测角 其差大于 180 时应减去 180 小于 180 时应加上 180 使用式 5 6 与 5 7 时 还应注意相应两条边的前进方向必须 一致 计算结果大于 360 时 则应减去 360 方向不变 例 3 图 5 9 为一条支导线 已知 A 点的坐标方位角 101 BA 28