二次函数中考(平行四边形)含答案

第 1 页 共 10 页 二次函数 二次函数 平行四边形平行四边形 1 如图 在平面直角坐标系 xOy 中 抛物线 y x m 2 m2 m 的顶点为 A 与 y 轴的交点为 B 连结 AB AC AB 交 y 轴于点 C 延长 CA 到点 D 使 AD AC 连结 BD 作 AE x 轴 DE y 轴 1 当 m 2 时 求点 B 的坐标 2 求 DE 的长 3 设点 D 的坐标为 x y 求 y 关于 x 的函数关系式 过点 D 作 AB 的平行线 与第 3 题确定的函数图象的另一个交点为 P 当 m 为何值时 以 A B D P 为顶点的四边形是平行四边形 解答 解 1 当 m 2 时 y x 2 2 1 把 x 0 代入 y x 2 2 1 得 y 2 点 B 的坐标为 0 2 2 延长 EA 交 y 轴于点 F AD AC AFC AED 90 CAF DAE AFC AED AF AE 点 A m m2 m 点 B 0 m AF AE m BF m m2 m m2 ABF 90 BAF DAE AFB DEA 90 ABF DAE 即 DE 4 3 点 A 的坐标为 m m2 m 第 2 页 共 10 页 点 D 的坐标为 2m m2 m 4 x 2m y m2 m 4 y 4 所求函数的解析式为 y x2 x 4 作 PQ DE 于点 Q 则 DPQ BAF 当四边形 ABDP 为平行四边形时 如图 1 点 P 的横坐标为 3m 点 P 的纵坐标为 m2 m 4 m2 m2 m 4 把 P 3m m2 m 4 的坐标代入 y x2 x 4 得 m2 m 4 3m 2 3m 4 解得 m 0 此时 A B D P 在同一直线上 舍去 或 m 8 当四边形 ABDP 为平行四边形时 如图 2 点 P 的横坐标为 m 点 P 的纵坐标为 m2 m 4 m2 m 4 把 P m m 4 的坐标代入 y x2 x 4 得 m 4 m2 m 4 解得 m 0 此时 A B D P 在同一直线上 舍去 或 m 8 综上所述 m 的值为 8 或 8 第 3 页 共 10 页 例二例二 已知抛物线的顶点为 A 2 1 且经过原点 O 与 x 轴的另一交点为 B 1 求抛物线的解析式 2 若点 C 在抛物线的对称轴上 点 D 在抛物线上 且以 O C D B 四点为顶点的四边形为平行四 边形 求 D 点的坐标 3 连接 OA AB 如图 在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P 使得 OBP 与 OAB 相似 若存 在 求出 P 点的坐标 若不存在 说明理由 A A BBOO xx yy 图 图 第 4 页 共 10 页 例三例三 2013 湘潭 如图 在坐标系 xOy 中 ABC 是等腰直角三角形 BAC 90 A 1 0 B 0 2 抛物线 y x2 bx 2 的图象过 C 点 1 求抛物线的解析式 2 平移该抛物线的对称轴所在直线 l 当 l 移动到何处时 恰好将 ABC 的面积分为相等的两部分 3 点 P 是抛物线上一动点 是否存在点 P 使四边形 PACB 为平行四边形 若存在 求出 P 点坐标 若不存在 说明理由 解答 解 1 如答图 1 所示 过点 C 作 CD x 轴于点 D 则 CAD ACD 90 OBA OAB 90 OAB CAD 90 OAB ACD OBA CAD 在 AOB 与 CDA 中 AOB CDA ASA CD OA 1 AD OB 2 OD OA AD 3 C 3 1 点 C 3 1 在抛物线 y x2 bx 2 上 第 5 页 共 10 页 1 9 3b 2 解得 b 抛物线的解析式为 y x2 x 2 2 在 Rt AOB 中 OA 1 OB 2 由勾股定理得 AB S ABC AB2 设直线 BC 的解析式为 y kx b B 0 2 C 3 1 解得 k b 2 y x 2 同理求得直线 AC 的解析式为 y x 如答图 1 所示 设直线 l 与 BC AC 分别交于点 E F 则 EF x 2 x x CEF 中 CE 边上的高 h OD x 3 x 由题意得 S CEF S ABC 即 EF h S ABC x 3 x 整理得 3 x 2 3 解得 x 3 或 x 3 不合题意 舍去 当直线 l 解析式为 x 3 时 恰好将 ABC 的面积分为相等的两部分 3 存在 第 6 页 共 10 页 如答图 2 所示 过点 C 作 CG y 轴于点 G 则 CG OD 3 OG 1 BG OB OG 1 过点 A 作 AP BC 且 AP BC 连接 BP 则四边形 PACB 为平行四边形 过点 P 作 PH x 轴于点 H 则易证 PAH BCG PH BG 1 AH CG 3 OH AH OA 2 P 2 1 抛物线解析式为 y x2 x 2 当 x 2 时 y 1 即点 P 在抛物线上 存在符合条件的点 P 点 P 的坐标为 2 1 例四例四 2013 盘锦 如图 抛物线 y ax2 bx 3 与 x 轴相交于点 A 1 0 B 3 0 与 y 轴相 交于点 C 点 P 为线段 OB 上的动点 不与 O B 重合 过点 P 垂直于 x 轴的直线与抛物线及线段 BC 分别交于点 E F 点 D 在 y 轴正半轴上 OD 2 连接 DE OF 1 求抛物线的解析式 2 当四边形 ODEF 是平行四边形时 求点 P 的坐标 3 过点 A 的直线将 2 中的平行四边形 ODEF 分成面积相等的两部分 求这条直线的解析式 不必 说明平分平行四边形面积的理由 第 7 页 共 10 页 解答 解 1 点 A 1 0 B 3 0 在抛物线 y ax2 bx 3 上 解得 a 1 b 2 抛物线的解析式为 y x2 2x 3 2 在抛物线解析式 y x2 2x 3 中 令 x 0 得 y 3 C 0 3 设直线 BC 的解析式为 y kx b 将 B 3 0 C 0 3 坐标代入得 解得 k 1 b 3 y x 3 设 E 点坐标为 x x2 2x 3 则 P x 0 F x x 3 EF yE yF x2 2x 3 x 3 x2 3x 四边形 ODEF 是平行四边形 EF OD 2 x2 3x 2 即 x2 3x 2 0 解得 x 1 或 x 2 P 点坐标为 1 0 或 2 0 3 平行四边形是中心对称图形 其对称中心为两条对角线的交点 或对角线的中点 过对称 中心的直线平分平行四边形的面积 因此过点 A 与 ODEF 对称中心的直线平分 ODEF 的面积 当 P 1 0 时 点 F 坐标为 1 2 又 D 0 2 设对角线 DF 的中点为 G 则 G 2 第 8 页 共 10 页 x y A O C B 第 26 题图 设直线 AG 的解析式为 y kx b 将 A 1 0 G 2 坐标代入得 解得 k b 所求直线的解析式为 y x 当 P 2 0 时 点 F 坐标为 2 1 又 D 0 2 设对角线 DF 的中点为 G 则 G 1 设直线 AG 的解析式为 y kx b 将 A 1 0 G 1 坐标代入得 解得 k b 所求直线的解析式为 y x 综上所述 所求直线的解析式为 y x 或 y x 例六例六 如图 抛物线经过三点 5 1 0 5 0 0 2 ABC 1 求抛物线的解析式 2 在抛物线的对称轴上有一点 P 使 PA PC 的值最小 求点 P 的坐标 3 点 M 为 x 轴上一动点 在抛物线上是否存在一点 N 使以 A C M N 四点构成的四边形为平行四边形 若存在 求点 N 的坐标 若不存在 请说明理由 解析 解 1 设抛物线的解析式为 2 yaxbxc 第 9 页 共 10 页 x y A O C B 第 26 题图 N P N MH M 根据题意 得 0 2550 5 2 abc abc c 解得 1 2 2 5 2 a b c 抛物线的解析式为 3 分 2 15 2 22 yxx 2 由题意知 点 A 关于抛物线对称轴的对称点为点 B 连接 BC 交抛物线的对称轴于点 P 则 P 点 即为所求 设直线 BC 的解析式为 ykxb 由题意 得解得 50 5 2 kb b 1 2 5 2 k b 直线 BC 的解析式为 6 分 15 22 yx 抛物线的对称轴是 2 15 2 22 yxx 2x 当时 2x 153 222 yx 点 P 的坐标是 7 分 3 2 2 3 存在 8 分 i 当存在的点 N 在 x 轴的下方时 如图所示 四边形 ACNM 是平行四边形 CN x 轴 点 C 与点 N 关于对称轴 x 2 对称 C 点的坐标为 点 N 的坐标为 5 0 2 5 4 2 11 分 II 当存在的点在 x 轴上方时 如图所示 作轴于点 H 四边形是平行四边形 N N Hx ACM N ACM NN M HCA