全等三角形的判定方法

第 1 页 全等三角形的判定方法 考点精讲考点精讲 1 一般三角形全等的判定 1 如果两个三角形的三条边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简记为 SSS 2 如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等 那么这两个三角形全等 简记为 SAS 3 如果两个三角形的两角及其夹边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简记为 ASA 4 如果三角形的两角及其中一角的对边分别对应相等 那么这两个三角形全等 简 记为 AAS 2 直角三角形全等的判定 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等 可以简写成 斜边 直角边 或 HL 3 证明三角形全等的思路 1 已知两边Error 2 已知一边一角 Error 3 已知两角找任意一边 注 1 判定三角形全等必须有一组对应边相等 2 判定三角形全等时不能错用 SSA AAA 来判定 典例精析典例精析 例题例题 1 如图所示 结论 90EF BC AEAF 其中正确的有EMFN CDDN FANEAM ACNABM A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 思路导航 思路导航 因为 所以 EAB FAC 又因为90EF BC 所以 AEB AFC 所以 AC AB 在 ACN 和 ABM 中 因为 AEAF BC AB AC CAB CAB 所以 ACN ABM 正确 因为 EAB FAC 所以 EAB CAB FAC CAB 即 EAM FAN 正确 在 EAM 和 FAN 中 EAM FAN 所以 EAM FAN 所以 AEAF 90EF EMFN 正确 由已知条件不能判断出 故正确的个数是 3 个 CDDN 答案 答案 C 点评 点评 此类问题一般从结论出发 一一进行判断 找出相应的一对三角形 看看是否 能根据已知信息 寻求到三角形全等的条件 第 2 页 例题例题 2 如图 一个含 45 角的三角板 HBE 的两条直角边与正方形 ABCD 的两邻边重 合 过 E 点作 EF AE 交 DCE 的角平分线于 F 点 试探究线段 AE 与 EF 的数量关系 并说明理由 思路导航 思路导航 寻找线段 AE 与 EF 的数量关系 可将 AE EF 分别放到 HAE 和 CEF 中去考虑 根据条件可推导出这两个三角形两角和一边对应相等 从而可证出 HAE CEF 进而得到 AE EF 答案 答案 AE EF HBE 是一含 45 角的直角三形 H HEB 45 HB EB 又 四边形 ABCD 为正方形 B DCB DCE 90 AB CB HB AB EB CB 即 HA CE EF AE AEF 90 B HAE B AEB CEF AEF AEB HAE CEF 又 CF 平分 DCE ECF DCE 45 H 2 1 HAE CEF ASA AE EF 点评 点评 本题实际考查全等三角形的判定 学生要能把已知条件进行适当转换 从中找 到可以证明全等的条件 从而判定两三角形全等 得出结论 例题例题 3 如图 已知 Rt ABC Rt ADE ABC ADE 90 BC 与 DE 相交于点 F 连接 CD EB 1 图中还有几对全等三角形 请你一一列举 2 求证 CF EF 思路导航 思路导航 1 要找出全等三角形 可以从条件出发 根据图形特征进行猜想 先找 小三角形的全等 再找大三角形的全等 关键是能否找出符合三角形全等的条件 2 本 小题是构造全等三角形的过程 可以把要证明的线段放在相应的三角形中 由三角形全等 得到证明 第 3 页 答案 答案 1 ADC ABE CDF EBF 2 证法一 如图 连接 CE Rt ABC Rt ADE AC AE ACE AEC 又 Rt ABC Rt ADE ACB AED ACE ACB AEC AED 即 BCE DEC CF EF 证法二 如图 Rt ABC Rt ADE AC AE AD AB CAB EAD CAB DAB EAD DAB 即 CAD EAB ACD AEB CD EB ADC ABE 又 ADE ABC CDF EBF 又 DFC BFE CDF EBF CF EF 证法三 如图 连接 AF Rt ABC Rt ADE AB AD BC DE ABC ADE 90 又 AF AF 第 4 页 Rt ABF Rt ADF BF DF 又 BC DE BC BF DE DF 即 CF EF 点评 点评 解答此类问题 首先要准确找出全等三角形 根据图形观察猜想 然后找出符 合三角形全等的条件 要证明两条线段相等 通常可以先观察这两条线段是否在两个不同 的三角形中 如果是 则可通过证明两三角形全等来解决 总结提升总结提升 1 利用全等三角形证明线段相等或角相等时 常需要添加一些辅助线构造三角形 其目 的就是将某些满足条件的全等三角形从图中直接显现出来 2 证明直角三角形全等的方法有五种 SSS SAS ASA AAS HL 它们各自独立 解题时应注意选择合适的方法 当然 在解决一个问题时 有时会用到一种或多种三角形 全等的判定方法 3 在寻找三角形全等的条件时 我们可以在对应的条件上作相同的标记 避免重复和遗 漏 答题时间 答题时间 30 分钟 分钟 一 选择题 1 如图 在 ABC 和 DCB 中 若 ACB DBC 则不能证明两个三角形全等的条件 是 A ABC DCB B A D C AB DC D AC DB 2 如图 AB AD BC DC 则图中全等三角形共有 A 2 对 B 3 对 C 4 对 D 5 对 二 填空题 3 用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如下 则说明 A O B AOB 的依据是 三角形全等 则判定三角形全等的依据是 第 5 页 4 如图 已知 1 2 AC AD 增加下列条件 AB AE BC ED C D B E 其中能使 ABC AED 的条件有 个 5 如图 有两个长度相同的滑梯 即 BC EF 左边滑梯的高度 AC 与右边滑梯水平 方向的长度 DF 相等 则 ABC DFE 度 三 解答题 6 如图所示 AB AD BC CD AC BD 交于 E 由这些条件你能推出哪些结论 不 再添加辅助线 不再标注其他字母 不写推理过程 只要求你写出四个你认为正确的结论 7 一个风筝如图 两翼 AB AC 横骨 BE AC 于 E CF AB 于 F 问其中骨 AD 能 平分 BAC 吗 为什么 8 我们知道 两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等 那么在 什么情况下 它们会全等 1 阅读与证明 对于这两个三角形均为直角三角形 显然它们全等 对于这两个三角形均为钝角三角形 可证它们全等 证明略 第 6 页 对于这两个三角形均为锐角三角形 它们也全等 可证明如下 已知 ABC A1B1C1均为锐角三角形 AB A1B1 BC B1Cl C Cl 求证 ABC A1B1C1 请你将下列证明过程补充完整 证明 分别过点 B B1作 BD CA 于 D B1D1 C1A1于 D1 则 BDC B1D1C1 90 BC B1C1 C C1 BCD B1C1D1 BD B1D1 2 归纳与叙述 由 1 可得到一个正确结论 请你写出这个结论 9 两个大小不同的等腰直角三角板如图 所示放置 图 是由它抽象出的几何图形 B C E 在同一条直线上 连接 DC 1 请找出图 中的全等三角形 并给予说明 说明 结论中不得含有未标识的字母 2 试说明 DC BE 第 7 页 1 C 解析 SSA 不能判定三角形全等 2 B 解析 ADE ABE ADC ABC DEC BEC 3 SSS 解析 由作法易得 OD O D OC O C CD C D 依据 SSS 可判定 COD C O D 则 COD C O D 即 A O B AOB 全等三角形的对应角相等 4 3 解析 增加 AB AE 则 ABC AED SAS 增加 C D 则 ABC AED ASA 增加 B E 则 ABC AED AAS 5 90 解析 CAB EDF 90 ABC 与 DEF 为直角三角形 又 EF BC AC DF ABC DEF ABC DFE ABC ACB 90 6 1 ADC ABC 2 AC 平分 DCB 3 AC 平分 DAB 4 DE EB 5 DB AC 7 AD 能平分 BAC 解 由 1 2 得 B C 又 AB AC 故 ABE ACF 从而 AE AF 又 AD AD 故 Rt ADF Rt ADE 得 FAD EAD 8 1 证明 分别过点 B B1作 BD CA 于 D B1D1 C1A1于 D1 则 BDC B1D1C1 90 BC B1C1 C C1 BCD B1C1D1 BD B1D1 又 AB A1B1 BDC B1D1C1 90 ABD A1B1D1 A A1 又 AB A1B1 C C1 ABC A1B1C1 2 归纳与叙述 由 1 可得到一个正确结论 两边及其中一边的对角