《导数知识点复习》.ppt

导数 1 平均变化率 函数y f x 的定义域为D x1 x2 D f x 从x1到x2平均变化率为 割线的斜率 2 定义 函数y f x 在x x0处的瞬时变化率是 称为函数y f x 在x x0处的导数 记作 或 即 3 在不致发生混淆时 导函数也简称导数 函数导函数 由函数f x 在x x0处求导数的过程可以看到 当x x0时 f x0 是一个确定的数 那么 当x变化时 便是x的一个函数 我们叫它为f x 的导函数 即 f x 在x x0处的导数 f x 的导函数 x x0时的函数值 关系 4 5 导数的运算法则 法则1 两个函数的和 差 的导数 等于这两个函数的导数的和 差 即 法则2 两个函数的积的导数 等于第一个函数的导数乘第二个函数 加上第一个函数乘第二个函数的导数 即 法则3 两个函数的商的导数 等于第一个函数的导数乘第二个函数 减去第一个函数乘第二个函数的导数 再除以第二个函数的平方 即 6 f x 0 f x 0 定义 一般地 设函数y f x 在某个区间 a b 内有导数 如果在这个区间内 0 那么函数y f x 在为这个区间内的增函数 如果在这个区间内 0 那么函数y f x 在为这个区间内的减函数 由上我们可得以下的结论 如果在某个区间内恒有 则为常数 7 2 求函数单调性的一般步骤 求函数的定义域 求函数的导数f x 解不等式f x 0得f x 的单调递增区间 解不等式f x 0得f x 的单调递减区间 8 结论 若x0满足f x 0 且在x0的两侧的导数异号 则x0是f x 的极值点 f x0 是极值 并且如果f x 在x0两侧满足 左正右负 则x0是f x 的极大值点 f x0 是极大值 如果f x 在x0两侧满足 左负右正 则x0是f x 的极小值点 f x0 是极小值 极大值与极小值统称为极值 从曲线的切线角度看 曲线在极值点处切线的斜率为0 并且 曲线在极大值点左侧切线的斜率为正 右侧为负 曲线在极小值点左侧切线的斜率为负 右侧为正 9 四 探索思考 导数值为0的点一定是函数的极值点吗 可导函数的极值点一定是它导数为零的点 反之函数的导数为零的点 不一定是该函数的极值点 例如 函数y x3 在点x 0处的导数为零 但它不是极值点 原因是函数在点x 0处左右两侧的导数都大于零 因此导数为零的点仅是该点为极值点的必要条件 其充分条件是在这点两侧的导数异号 10 一般地 求函数y f x 的极值的方法是 1 如果在x0附近的左侧f x 0右侧f x 0 那么f x0 是极大值 2 如果在x0附近的左侧f x 0 那么f x0 是极小值 解方程f x 0 当f x 0时 11 一般地 求函数y f x 在 a b 上的最大值与最小值的步骤如下 求y f x 在 a b 内的极值 极大值与极小值 将函数y f x 的各极值与端点处的函数值f a f b 比较 其中最大的一个为最大值 最小的一个为最小值 求函数的最值时 应注意以下几点 1 函数的极值是在局部范围内讨论问题 是一个局部概念 而函数的最值是对整个定义域而言 是在整体范围内讨论问题 是一个整体性的概念 2 闭区间 a b 上的连续函数一定有最值 开区间 a b 内的可导函数不一定有最值 但若有唯一的极值 则此极值必是函数的最值 12 3 函数在其定义域上的最大值与最小值至多各有一个 而函数的极值则可能不止一个 也可能没有极值 并且极大值 极小值 不一定就是最大值 最小值 但除端点外在区间内部的最大值 或最小值 则一定是极大值 或极小值 4 如果函数不在闭区间 a b 上可导 则在确定函数的最值时 不仅比较该函数各导数为零的点与端点处的值 还要比较函数在定义域内各不可导的点处的值