概率论公式总结

第一章第一章 P A B P A P B P AB 特别地 特别地 当当 A B 互斥时 互斥时 P A B P A P B 条件概率公式条件概率公式 概率的乘法公式概率的乘法公式 全概率公式 从原因计算结果全概率公式 从原因计算结果 Bayes 公式 从结果找原因公式 从结果找原因 第二章第二章 二项分布 二项分布 Bernoulli 分布 分布 X B n p BP ABP BAP BAPBPABP ABPAP n k kk BAPBPAP 1 n k kk ii k BAPBP BAPBP ABP 1 xk kXPxXPxF 1 0 yxF yYxXPyxF 泊松分布泊松分布 X P 概率密度函数概率密度函数 怎样计算概怎样计算概率率 均匀分布均匀分布 X U a b 指数分布指数分布 X Exp 1 0 1 nkppCkXP knkk n 1 0 ke k kXP k 1 dxxf bXaP b a dxxfbXaP 0 1 xexf x 1 bxa ab xf xfxF 分布函数分布函数 对离散型随机变量对离散型随机变量 对连续型随机对连续型随机变量变量 分布函数与密度函数的重要关系 分布函数与密度函数的重要关系 二元随机变量及其边缘分布二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法分布规律的描述方法 联合密度函数 联合分布函数 联合密度与边缘密度联合密度与边缘密度 x dttfxXPxF x dttfxXPxF yxf yxF 0 yxf 1 dxdyyxf dyyxfxfX dxyxfyfY 离散型随机变量的独立性离散型随机变量的独立性 连续型随机变量的独立性连续型随机变量的独立性 第三章第三章 数学期望数学期望 离散型随机变量 数离散型随机变量 数学期望定义学期望定义 连续型随机变量 连续型随机变量 数学期望定义数学期望定义 E a a 其中 其中 a 为常数为常数 E a bX a bE X 其中 其中 a b 为常数为常数 E X Y E X E Y X Y 为任意随机变量为任意随机变量 随机变量随机变量 g X 的数的数学期望学期望 常用公式常用公式 jYPiXPjYiXP yfxfyxf YX k kk PxXE dxxfxXE k kk pxgXgE ij ijip xXE dxdyyxxfXE 方差方差 定义式定义式 常用计算常用计算式式 常用公式常用公式 当当 X Y 相互独立时 相互独立时 YEXEYXE ij ijji pyxXYE dxdyyxxyfXYE YEXEXYEYX 独立时与当 dxxfXExXD 2 2 2 XEXEXD 2 YEYXEXEYDXDYXD YDXDYXD 方差的性质方差的性质 D a 0 其中 a 为常数 D a bX b2D X 其中 a b 为常数 当 X Y 相互独立时 D X Y D X D Y 协方差与相关系数协方差与相关系数 协方差的性质协方差的性质 独立与相关独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 YEXEXYEYXCov YDXD YXCov XY YEXEXYEYEYXEXE 2 2 XDXEXEXXCov YXabCovbYaXCov ZYCovZXCovZYXCov 第四章第四章 正态分正态分布布 标准正态分布的概率计算标准正态分布的概率计算 标准正态分布的概率计算公式标准正态分布的概率计算公式 aaZPaZP 1 aaZPaZP abbZaP 1 2 aaaaZaP 一般正态分布的概率计算一般正态分布的概率计算 一般正态分布的概率计算公式一般正态分布的概率计算公式 2 NX 2 2 2 2 1 x exf 2 XDXE 1 aa 1 0 2 N X ZNX a aXPaXP 1 a aXPaXP 第五章第五章 卡方分布卡方分布 t 分布分布 F 分布分布 正态总体条件下正态总体条件下 样本均值的分布 样本均值的分布 样本方差的分布 样本方差的分布 ab bXaP 1 0 2 1 2 nXNX n i i 则若 1 2 1 2 2 2 nYNY n i i 则若 21 2 1 2 2 1 2 nnF nV nU nVnU则若 2 n NX 1 0 N n X 1 1 2 2 2 n Sn 1 nt ns X 则若 1 0 2 nYNX nt nY X 两个正态总体的方差之比两个正态总体的方差之比 第六章第六章 点估计 参数的估计值为一个常数点估计 参数的估计值为一个常数 矩估计矩估计 最大似然估计最大似然估计 似然函数似然函数 均值的区间估计均值的区间估计 大样本结果大样本结果 1 1 21 2 2 2 1 2 2 2 1 nnF SS 1 i n i xfL 1 i n i xpL n zx 2 正态分布的分位点 大样本要求样本容量 代替准差通常未知 可用样本标标准差 样本均值 2 50 z nn s x n pp zp 1 2 正态分布的分位点 大样本要求样本容量 样本比例 2 50 z nn p 正态总体方差的区间估计正态总体方差的区间估计 两个正态总体均值差的置信区间两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知大样本或正态小样本且方差已知 两个正态总体方差比的置信区间两个正态总体方差比的置信区间 第七章第七章 已知准差小样本 正态总体 标 n zx 2 未知准差小样本 正态总体 标 n s ntx 1 2 分布的分位点的自由度为 tnnt1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 1 1 SnSn 卡方分布的分位点 样本方差 2 2 2 S 2 2 2 1 2 1 2 21 nn zxx 1 1 1 1 212 2 2 2 1 212 2 2 2 1 nnF SS nnF SS 假设检验的步骤假设检验的步骤 根据具体问题提出原假设 H0 和备择假设 H1 根据假设选择检验统计量 并计算检验统计值 看检验统计值是否落在拒绝域 若落在拒绝域则拒绝原假设 否则就不拒绝 原假设 不可避免的两类错误不可避免的两类错误 第 1 类 弃真 错误 原假设为真 但拒绝了原假设 第 2 类 取伪 错误 原假设为假 但接受了原假设 单个正态总体的显著性检验单个正态总体的显著性检验 单正态总体均值的检验 大样本情形 Z 检验 正态总体小样本 方差已知 Z 检验 正态总体小样本 方差未知 t 检验 单正态总体方差的检验 正态总体 均值未知 卡方检验 单正态总体均值的显著性检验单正态总体均值的显著性检验 统计假设的形式统计假设的形式 双边检验双边检验 左边检验左边检验 右边检验右边检验 0100 1 HH 0100 2 HH 0100 3 HH 单正态总体均值的单正态总体均值的 Z 检验检验 拒绝域拒绝域的代数表示的代数表示 双边检双边检验验 左边检左边检验验 右边检右边检验验 比例比例 特殊的均值的特殊的均值的 Z 检验检验 单正态总体均值的单正态总体均值的 t 检验检验 单正态总体方差的卡方检验单正态总体方差的卡