函数的奇偶性(教案)

1 函数的奇偶性 一 知识回顾一 知识回顾 1 关于函数的奇偶性的定义关于函数的奇偶性的定义 定义说明 对于函数的定义域内任意一个 xfx 是偶函数 xfxf xf 奇函数 xfxf xf 注意 注意 函数的定义域关于原点对称的函数不一定是奇 偶 函数 但是反过来 一定成立 2 2 关于奇偶函数的图像特征 关于奇偶函数的图像特征 奇函数的图象关于 对称 偶函数的图象关于 对称 3 3 函数的奇偶性的几个性质 函数的奇偶性的几个性质 对称性 奇 偶 函数的定义域关于原点对称 整体性 奇偶性是函数的整体性质 对定义域内任意一个都必须成立 x 可逆性 是偶函数 xfxf xf 奇函数 xfxf xf 等价性 xfxf 0 xfxf xfxf 0 xfxf 奇函数的图像关于原点对称 偶函数的图像关于轴对称 y 可分性 根据函数奇偶性可将函数分类为四类 奇函数 偶函数 既是奇 函数又是偶函数 非奇非偶函数 4 4 函数的奇偶性的判断 函数的奇偶性的判断 判断函数的奇偶性大致有下列两种方法 第一种方法第一种方法 利用奇 偶函数的定义 主要考查是否与 相 xf xf xf 等 判断步骤如下 定义域是否关于原点对称 数量关系哪个成立 xfxf xfxf 判断与 xf 的关系 xf 偶函数 2 第二种方法 第二种方法 利用一些已知函数的奇偶性及下列准则 前提条件为两个函数的 定义域交集不为空集 两个奇函数的代数和是奇函数 两个偶函数的和是偶 函数 奇函数与偶函数的和既不非奇函数也非偶函数 两个奇函数的积为偶函 数 两个偶函数的积为偶函数 奇函数与偶函数的积是奇函数 5 5 关于函数按奇偶性的分类 关于函数按奇偶性的分类 全体实函数可按奇偶性分为四类 奇偶数 偶函数 既是奇函数也是偶 函数 非奇非偶函数 二 典型例题二 典型例题 考点考点 1 1 奇偶性的判定 奇偶性的判定 例 1 判断下列各函数是否具有奇偶性 xxxf2 3 24 32 xxxf 1 23 x xx xf 2 xxf 2 1 x xxxf 22 22 11 xxxf 解 为奇函数 为偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 为非奇非偶函数 既是奇函数也是偶函数 注 教材中的解答过程中对定义域的判断忽略了 例 2 判断函数的奇偶性 0 0 2 2 x x x x xf 0 0 0 0 0 0 22 22 2 为奇函数故总有 有时即当 有时即当 解 xfxfxf xfxxxfxx xfxxxfxx xff 练习 判断函数的单调性 1 x x0 x f x xx 函数定义域奇函数 非奇非偶函数定义域 定义域不关于原点对称 定义域关于 原点对称 xfxf 定义域不关于 举反例 3 考点考点 2 2 关于函数奇偶性的简单应用 关于函数奇偶性的简单应用 题型 1 利用定义解题 例 3 已知函数 若为奇函数 则 1 21 x f xa f xa 1 2 题型 2 利用奇偶性求函数值 例 4 已知且 那么 26 8 35 bxaxxxf10 2 f 2 f 练习 已知且 那么 27 42 6g xaxbx 3 27g 3 g 题型 3 利用奇偶性比较大小 例 5 已知偶函数在上为减函数 比较 的大小 xf 0 5 f 1 f 3 f 解 在上为减函数且为偶函数 xf 0 在上为增函数 f x 0 1 3 ff 5 f 练习 已知 f x 是定义在 上的偶函数 且在 0 上是增函数 设 a f 3 b f 2 c f 1 则 a b c 的大小关系是 D A c b a B b ca b D a b c 题型题型 4 利用奇偶性求解析式利用奇偶性求解析式 例 6 已知为偶函数 求的解 xf时当时当01 1 10 xxxfx xf 析式 练习 1 是定义在上的偶函数 且时 xf 0 x 则当 23 xxxf 0 x 时 xf 2 已知函数f x 是定义在 上的偶函数 当x 0 时 f x x x4 则 当 0 时 f x 4 题型题型 5 利用奇偶性讨论函数的单调性 利用奇偶性讨论函数的单调性 例 7 若是偶函数 讨论函数的单调区间 3 3 2 2 xkxkxf xf 练习 在上定义的函数是偶函数 且 若在区间R xf xfxf 2 xf 是减函数 则函数 2 1 xf A 在区间上是增函数 区间上是增函数 1 2 4 3 B 在区间上是增函数 区间上是减函数 1 2 4 3 C 在区间上是减函数 区间上是增函数 1 2 4 3 D 在区间上是减函数 区间上是减函数 1 2 4 3 题型题型 6 利用奇偶性求参数的值 利用奇偶性求参数的值 例 8 定义在 R 上的偶函数在是单调递减 若 xf 0 则的取值范围是如何 123 12 22 aafaafa 练习 已知奇函数是定义在上的减函数 若 xf 2 2 0 12 1 mfmf 求实数的取值范围 m 题型题型 7 利用图像解题 利用图像解题 例 9 设奇函数 f x 的定义域为 5 5 若当 x 0 5 时 f x 的图象如右图 则不等式的解是 0 xf 2 0 2 5 练习 练习 若函数f x 是定义在R上的偶函数 在上是减函数 且f 2 0 则 0 使得f x 0 的x的取值范围是 A 2 B 2 C 2 2 D 2 2 三 课后习题三 课后习题 1 下列说法中不正确的是 A 图象关于原点成中心对称的函数一定是奇函数 B 奇函数的图象一定经过原点 C 偶函数的图象若不经过原点 则它与 x 轴的交点的个数一定为偶数 D 图象关于 y 轴成轴对称的函数一定是偶函数 5 2 函数 x x yxyxxyxy 4 3 4 2 3 1 2 1 22 其中是非奇非偶函数的是 A 1 2 3 B 1 3 4 C 1 3 D 1 3 若是偶函数 则是 0 2 acbxaxxfcxbxaxxg 23 A 奇函数 B 偶函数 C 既是奇函数又是偶函数 D 非奇非偶函数 4 如果奇函数在区间 3 7 上是增函数且最小值是 5 则在 7 3 上 xf xf A 是增函数 最小值是 5 B 是增函数 最大值是 5 B 是减函数 最小值是 5 C 是减函数 最大值是 5 5 若y f x x R 是奇函数 则下列各点中 一定在曲线y f x 上的是 A a f a B sina f sina C lga f lg D a f a a 1 6 已知是R上的奇函数 则a 22 21 x x aa