直线与椭圆的位置关系练习题目与答案

直线与椭圆的位置关系练习 2 1 椭圆上的点到焦点的距离为 2 为的中点 则 为坐1 925 22 yx M 1 FN 1 MFONO 标原点 的值为 A 4 B 2 C 8 D 2 3 解 如图所示 设椭圆的另一个焦点为 由椭圆第一 2 F 定义得 所以102 21 aMFMF 821010 12 MFMF 又因为为的中位线 所以ON 21F MF 故答案为 A 4 2 1 2 MFON 2 若直线与椭圆恒有公共点 求实数的取值范围 1Rkkxy 1 5 22 m yx m 解法一 由可得 即 1 5 1 22 m yx kxy 05510 5 22 mkxxmk015 2 km 115 2 km 51 mm且 解法二 直线恒过一定点 1 0 当时 椭圆焦点在轴上 短半轴长 要使直线与椭圆恒有交点则5 mxmb 即1 m51 m 当时 椭圆焦点在轴上 长半轴长可保证直线与椭圆恒有交点即5 my5 a5 m 综述 51 mm且 解法三 直线恒过一定点 1 0 要使直线与椭圆恒有交点 即要保证定点在椭圆内部即 1 0 1 1 5 0 22 m 1 m 3 已知椭圆及直线 14 22 yxmxy 1 当为何值时 直线与椭圆有公共点 m 2 若直线被椭圆截得的弦长为 求直线的方程 5 102 3 解 1 把直线方程代入椭圆方程得 mxy 14 22 yx 14 2 2 mxx 即 解得0125 22 mmxx 020161542 22 2 mmm 2 5 2 5 m 2 设直线与椭圆的两个交点的横坐标为 由 1 得 1 x 2 x 5 2 21 m xx 5 1 2 21 m xx 根据弦长公式得 解得 方程为 5 102 5 1 4 5 2 11 2 2 2 mm 0 m xy 4 已知椭圆的左右焦点分别为 F1 F2 若过点 P 0 2 及 F1的直线交椭圆1 12 22 yx 于 A B 两点 求 ABF2的面积 4 解法一 由题可知 直线方程为 AB l022 yx 由可得 1 12 22 22 yx xy 0449 2 yy 9 104 4 21 2 2121 yyyyyy 9 104 2 1 2121 yyFFS 解法二 到直线 AB 的距离 2 F 5 54 h 由可得 又 1 12 22 22 yx xy 06169 2 xx 9 210 1 21 2 xxkAB 9 104 2 1 hABS 解法三 令则 其中 2211 yxByxA 11 exaAF 21 exaBF 2 2 2 ea 到直线 AB 的距离 2 F 5 54 h 由可得 1 12 22 22 yx xy 06169 2 xx 9 210 22 2121 xxeaexaexaAB 9 104 2 1 hABS 评述 在利用弦长公式 k 为直线斜率 或焦 21 2 21 2 1 11yy k xxkAB 左 半径公式时 应结合韦 22 212121 xxeaexaexaPFPFAB 达定理解 5 已知长轴为 12 短轴长为 6 焦点在轴上的椭圆 过它对的左焦点作倾斜解为x 1 F 的直线交椭圆于 两点 求弦的长 3 ABAB 5 分析 可以利用弦长公式求得 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 也可以利用椭圆定义及余弦定理 还可以利用焦点半径来求 解 法 1 利用直线与椭圆相交的弦长公式求解 因为 所 21 2 1xxkAB 4 1 21 2 21 2 xxxxk 6 a3 b 以 因为焦点在轴上 33 cx 所以椭圆方程为 左焦点 从而直线方程为 1 936 22 yx 0 33 F93 xy 由直线方程与椭圆方程联立得 设 为方程两根 所以083637213 2 xx 1 x 2 x 从而 13 372 21 xx 13 836 21 xx3 k 13 48 4 1 1 21 2 21 2 21 2 xxxxkxxkAB 6 已知中心在原点 长轴在 x 轴上的椭圆的两准线间的距离为 2 若椭圆被直线3 x y 1 0 截得的弦的中点的横坐标是 求椭圆的方程 3 2 6 解法一 令椭圆方程为 由题得 1 22 nmnymx 2211 yxByxA 3 2 2 21 xx 3 1 2 21 yy 由可得 1 1 22 nymx xy 012 2 nnxxnmmn nm n xx2 3 42 21 即 又即 32 2 2 c a 222 11 3 1 nmm 3 4 3 2 nm 椭圆方程为1 3 4 3 2 22 yx 解法二 令椭圆方程为 由题得 1 22 nmnymx 2211 yxByxA 3 2 2 21 xx 3 1 2 21 yy 由作差得 1 1 2 2 2 2 2 1 2 1 nymx nymx 21 21 21 21 yy xx yy xx n m mn2 又即 32 2 2 c a 222 11 3 1 nmm 3 4 3 2 nm 椭圆方程为1 3 4 3 2 22 yx 7 已知长方形 ABCD AB 22 BC 1 以 AB 的中点O为原点建立如图 8 所示的平面直角 坐标系xoy 求以 A B 为焦点 且过 C D 两点的椭圆的标准方程 过点 P 0 2 的直线l交 中椭圆于 M N 两点 是否存在直线l 使得以弦 MN 为直径的 圆恰好过原点 若存在 求出直线l的方程 若不存在 说明理由 7 解析 由题意可得点 A B C 的坐标分别为 1 2 0 2 0 2 设椭圆的标准方程是 01 2 2 2 2 ba b y a x 224 01220122 2 2 2 2 2 BCACa则 2 a 224 222 cab 椭圆的标准方程是 1 24 22 yx 由题意直线的斜率存在 可设直线l的方程为 02 kkxy 设 M N 两点的坐标分别为 2211 yxyx 联立方程 42 2 22 yx kxy 消去y整理得 04821 22 kxxk 有 2 21 2 21 21 4 21 8 k xx k k xx 若以 MN 为直径的圆恰好过原点 则ONOM 所以0 2121 yyxx 所以 022 2121 kxkxxx 即 0421 2121 2 xxkxxk 所以 04 21 16 21 14 2 2 2 2 k k k k O x y A B CD 图 8 即 0 21 48 2 2 k k 得 2 2 2 kk 所以直线l的方程为22 xy 或22 xy 所以存在过 P 0 2 的直线l 22 xy使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点 8 已知椭圆的中心在坐标原点 O 焦点在坐标轴上 直线 y x 1 与椭圆交于 P 和 Q 且 OP OQ PQ 求椭圆方程 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 10 8 解 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 设椭圆方程为 mx2 ny2 1 m 0 n 0 P x1 y1 Q x2 y2 由 得 m n 1 1 22 nymx xy x2 2nx n 1 0 4n2 4 m n n 1 0 即 m n mn 0 由 OP OQ 所以 x1x2 y1y2 0 即 2x1x2 x1 x2 1 0 1 0 m n 2 又 2 2 将 m n 2 代入得 nm n nm n 2 1 2 2 10 4 nm mnnm m n 4 3 由 式得 m n 或 m n 故椭圆方程为 y2 1 或x2 y2 1 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 1 2 3 2 3 2 1 2 2 x 2 3 2 3 2 1 9 椭圆 与直线交于 两点 且 其中 1 2 2 2 2 b y a x ab 01 yxPQOQOP 为坐标原点 O 1 求的值 22 11 ba 2 若椭圆的离心率满足 求椭圆长轴的取值范围 e 3 3 e 2 2 9 1 设 由 OP OQ x 1 x 2 y 1 y 2 0 2211 yxPyxP 又将 01 2 1 1 21212211 xxxxxyxy代入上式得 代入xy 1 1 2 2 2 2 b y a x 0 1 2 222222 baxaxba 2 0 22 2 21 ba a xx 代入 化简得 22 22 21 1 ba ba xx 2 11 22 ba 2 又由 1 知 3 2 2 1 2 1 1 3 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b a b a b a c e 12 2 2 2 a a b 长轴 2a 2 6 2 5 2 3 4 5 3 2 12 1 2 1 2 2 aa a 6 5 10 10 设直线 过点P 0 3 和椭圆顺次交于A B两点 若试求l xy 22 94 1 APPB 的取值范围 10 解 当直线 垂直于x轴时 可求得 l 1 5 当 与x轴不垂直时 设 直线 的方程为 代入椭l 2211 yxByxA l3 kxy y O 1 A 2 B 2 A 1 B M 1 F 0 F 2 F x 圆方程 消去得y 0455449 22 kxxk 解之得 49 59627 2 2 2 1 k kk x 因为椭圆关于y轴对称 点P在y轴上 所以只需考虑的情形 0 k 当时 0 k 49 59627 2 2 1 k kk x 49 59627 2 2 2 k kk x 所以 1 2 x x 5929 5929 2 2 kk kk 5929 18 1 2 kk k 2 5 929 18 1 k 由 解得 049180 54 22 kk 9 5 2 k 所以 5 1 5 929 18 11 2 k 综上 1 1 5 11 已知椭圆的一个焦点为F1 0 2 对应的准线2 方程为 且离心率e满足 成等差数列 9 2 4 y 24 33 e 1 求椭圆方程 2 是否存在直线l 使l与椭圆交于不同的两点 M N 且线段MN恰被直线平分 若存在 求出l的 1 2 x 倾斜角的范围 若不存在 请说明理由 10 1 解 解 依题意 e 2 2 3 2 9 22 2 2 44 a c c a 3 c 2 2 b 1 又 F1 0 2 对应的准线方程为2 9 2 4 y 椭圆中心在原点 所求方程为 22 1 1 9 xy 2 假设存在直线l 依题意l交椭圆所得弦MN被平分 1 2 x 直线l的斜率存在 设直线l y kx m 由消去y 整理得 k2 9 x2 2kmx m2 9 0 2 2 1 9 ykxm y x l与椭圆交于不同的两点M N 4k2m2 4 k2 9 m2 9 0 即m2 k2 9 0 设 M x1 y1 N x2 y2 12 2 1 292 xxkm k 2 9 2 k m k 把 代入 式中得 22 2 2 9 9 0 4 k k k k 或k 33 直线l倾斜角 2 3 223 12 的底边的底边 和和两边上中线长之和为两边上中线长之和为 30 求此三角形重心 求此三角形重心的轨的轨ABC 16 BCACABG 迹和顶点迹和顶点的轨迹 的轨迹 A 分析 分析 1 由已知可得 再利用椭圆定义求解 20 GBGC 2 由的轨迹方程 坐标的关系 利用代入法求的轨迹方程 GGAA 解 解 1 以所在的直线为轴 中点为原点建立直角坐标系 设点坐标为BCxBCG 由 知点的轨迹是以 为焦点的椭圆 且除去轴上两 yx 20 GBGCGBC 点 因 有 10 a8 c6 b 故其方程为 01 36100 22 y yx 2 设 则 yxA yxG 01 36100 22 y yx 由题意有代入 得的轨迹方程为 其轨迹是椭圆 3 3 y y x x A 01 324900 22 y yx 除去轴上两点 x 13 已知动圆已知动圆过定点过定点 且在定圆 且在定圆的内部与其相内切 求动的内部与其相内切 求动P 03 A 643 2 2 yxB 圆圆心圆圆心的轨迹方程 的轨迹方程 P 11 分析 分析 关键是根据题意 列出点 P 满足的关系式 解 解 如图所示 设动圆和定圆内切于点 动点到两定点 PBMP 即定点和定圆圆心距离之和恰好等于定圆半径 03 A 03 B 即 点的轨迹是以 为两焦点 8 BMPBPMPBPAPAB 半长轴为 4 半短轴长为的椭圆的方程 734 22 b1 716 22 yx 说明 说明 本题是先根据椭圆的定义 判定轨迹是椭圆 然后根据椭圆的标准方程 求轨迹的 方程 这是求轨迹方程的一种重要思想方法 14 已知椭圆已知椭圆 1 求过点 求过点且被且被平分的弦所在直线的方程 平分的弦所在直线的方程 1 2 2 2 y x 2 1 2 1 PP 2 求斜率为 求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程 的平行弦的中点轨迹方程 3 过 过引椭圆的割线 求截得的弦的中点的轨迹方程 引椭圆的割线 求截得的弦的中点的轨迹方程 12 A 4 椭圆上有两点 椭圆上有两点 为原点 且有直线为原点 且有直线 斜率满足斜率满足 PQOOPOQ 2 1 OQOP kk 求线段求线段中点中点的轨迹方程 的轨迹方程 PQM 12 分析 分析 此题中四问都跟弦中点有关 因此可考虑