圆锥曲线大题综合测试(含详细答案)

x y 1 A 2 A T G P M ON 圆锥曲线 1 设椭圆 22 2 1 2 xy M a 2a 的右焦点为 直线与轴交于点 若 11 2OFF A 其中 1 F2 2 2 a a xl xA 为坐标原点 O 1 求椭圆的方程 M 2 设是椭圆上的任意一点 EF为圆的任意一条直径 E F为直径的两个端点 PM 12 2 2 yxN 求的最大值 PFPE 2 2 已知椭圆 的一个焦点为 而且过点 E 22 22 10 xy ab ab 1 3 0F 1 3 2 H 求椭圆的方程 E 设椭圆的上下顶点分别为 是椭圆上异于的任一点 直线分别交轴于点E 12 A AP 12 A A 12 PA PAx 若直线与过点的圆相切 切点为 证明 线段的长为定值 并求出该定值 N MOT M NGTOT 3 已知圆 O 交轴于 A B 两点 曲线 C 是以 AB 为长轴 离心率为的椭圆 其左焦点为 F 若 P 是圆 O2 22 yxx 2 2 上一点 连结 PF 过原点 O 作直线 PF 的垂线交直线 x 2 于点 Q 求椭圆 C 的标准方程 若点 P 的坐标为 1 1 求证 直线 PQ 与圆 O 相切 试探究 当点 P 在圆 O 上运动时 不与 A B 重合 直线 PQ 与圆 O 是否保持相切的位置关系 若是 请证明 若不是 请说明理由 4 设 0 1 2 2 2 2 2211 ba b x x y yxByxA是椭圆上的两点 满足0 2211 a y b x a y b x 椭圆的离心率 2 3 e短轴长为 2 0 为坐标原点 1 求椭圆的方程 2 若直线 AB 过椭圆的焦点 F 0 c c 为半焦距 求直线 AB 的斜率 k 的值 3 试问 AOB 的面积是否为定值 如果是 请给予证明 如果不是 请说明理由 x y O P F Q AB 5 直线 l y mx 1 双曲线 C 3x2 y2 1 问是否存在 m 的值 使 l 与 C 相交于 A B 两点 且以 AB 为直 径的圆过原点 6 已知双曲线 C 22 22 1 0 0 xy ab ab 的两个焦点为 F1 2 0 F2 2 0 点 P 3 7 在曲线 C 上 1 求双曲线 C 的坐标 2 记 O 为坐标原点 过点 Q 0 2 的直线l与双曲线 C 相交于不同两点 E F 若 OEF 的面 积为2 2 求直线l的方程 7 已知椭圆 22 22 1 0 xy Cab ab 经过点 2 1 A 离心率为 2 2 过点 3 0 B的直线l与椭圆C交于不同的 两点 M N 1 求椭圆C的方程 2 设直线AM和直线AN的斜率分别为 AM k和 AN k 求证 AMAN kk 为定值 8 已知椭圆 22 122 1 0 xy Cab ab 的离心率为 2 2 直线 2 2lyx 与以原点为圆心 以椭圆 1 C的短 半轴长为半径的圆相切 求椭圆 1 C的方程 设椭圆 1 C的左焦点为 F1 右焦点为 F2 直线 1 l过点 F1 且垂直于椭圆的长轴 动直线 2 l垂直 1 l于点 P 线段 PF2的垂直平分线交 2 l于点 M 求点 M 的轨迹 C2的方程 若 AC BD 为椭圆 C1的两条相互垂直的弦 垂足为右焦点 F2 求四边形 ABCD 的面积的最小值 9 设F是椭圆C 的左焦点 直线l为其左准线 直线l与x轴交于点P 线段MN为椭圆的长 22 22 1 0 xy ab ab 轴 已知 8 2 MNPMMF 且 1 求椭圆C的标准方程 2 若过点P的直线与椭圆相交于不同两点A B求证 AFM BFN 2 求三角形ABF面积的最大值 10 如图 已知椭圆的中心在原点 焦点在轴上 长轴长是短轴长的 2 倍且经过点 平行于的直线 在x 2 1 MOMl 轴上的截距为 交椭圆于两个不同点 1 求椭圆的方程 2 求的取值范围 3 求证直线y 0 m m lAB m 与轴始终围成一个等腰三角形 MAMB x 11 已知椭圆C 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 左 右两个焦点分别为 上顶点 为正三角形 1 F 2 F 0 bA 21F AF 且周长为 6 1 求椭圆C的标准方程及离心率 2 为坐标原点 是直线上的一个动点 求的最小值 并求出此时点的坐标 OPAF1 2 POPF P 12 如图 设 P 是圆上的动点 PD x 轴 垂足为 D M 为线段 PD 上一点 且 22 2xy PD MD 点 A F1的坐标分别为 0 1 0 22 1 求点 M 的轨迹方程 2 求 MA MF1 的最大值 并求此时点 M 的坐标 13 如图 在平面直角坐标系中 椭圆的右焦点为 右准线为 xOy 2 2 1 2 x Cy Fl 1 求到点和直线 的距离相等的点的轨迹方程 FlG 2 过点作直线交椭圆于点 又直线交 于点 若 求线段的长 FC A BOAlT2OTOA AB 3 已知点的坐标为 直线交直线于点 且和椭圆的一个交点为点 M 000 0 xyx OM 0 0 1 2 x x y y NCP 是否存在实数 使得 若存在 求出实数 若不存在 请说明理由 2 OPOM ON y x l A F B O T 18 圆锥曲线答案 1解 解 1 由题设知 2 2 0 2 a A a 2 1 2 0Fa 1分 由 11 2OFAF 0 得 3分解得 2 2 22 2 2 2 2 a a a a 6 2 a 所以椭圆的方程为 4分 M 1 26 22 yx M 2 方法方法1 设圆的圆心为N 12 2 2 yxN 则则 6分 NFNPNFNP 7分 222 1NPNFNP 8分 NPNFNPNEPFPE 从而求的最大值转化为求的最大值 9分 PFPE 2 NP 因为是椭圆上的任意一点 设 00 P xy 10分 PM 所以 即 11分 1 26 2 0 2 0 yx 2 0 2 0 36yx 因为点 所以 12分 2 0N 12122 2 0 2 0 2 0 2 yyxNP 因为 0 22y 所以当时 取得最大值12 13分 1 0 y 2 NP 所以的最大值为11 14分 PFPE 2 由 可知 设 12 0 1 0 1AA 00 P xy 直线 令 得 1 PA 0 0 1 1 y yx x 0y 0 0 1 N x x y 直线 令 得 2 PA 0 0 1 1 y yx x 0y 0 0 1 M x x y 则 2 000 2 000 111 xxx OMON yyy 而 即 2 2 0 0 1 4 x y 22 00 4 1xy 4 ONOM 取线段 MN 的中点 Q 连接 GOGMGQ GMr 2222222 QGMQQGOQGMOGOT 22 MQOQMQOQMQOQ 4 ONOM 即线段 OT 的长为定值 2 l4 分 2 OT 3 7 14 分 解 因为 所以 c 1 则 b 1 2 2 2 ae 所以椭圆 C 的标准方程为 5 分 2 2 1 2 x y P 1 1 直线 OQ 的方程为 y 2x 点 Q 2 4 7 分 1 2 PF k 2 OQ k 又 即 OP PQ 故直线 PQ 与圆 O 相切 10 分1 PQ k 1 OP k 1kk PQOP 当点 P 在圆 O 上运动时 直线 PQ 与圆 O 保持相切 11 分 证明 设 则 所以 00 P xy 0 2x 22 00 2yx 0 0 1 PF y k x 0 0 1 OQ x k y 所以直线 OQ 的方程为所以点 Q 2 12 分 0 0 1x yx y 0 0 22x y 所以 又 13 分 0 022 000000 000000 22 22 2 2 2 2 PQ x y yyxxxx k xxyxyy 0 0 OP y k x 所以 即 OP PQ 故直线 PQ 始终与圆 O 相切 14 分1kk PQOP 4 9 解 1 3 2 2 3 1 2 2 22 ea a ba a c ebb椭圆的方程为1 4 2 2 x y 2 分 2 设 AB 的方程为3 kxy 由 4 1 4 32 0132 4 1 4 3 2 21 2 21 22 2 2 k xx k k xxkxxk x y kxy 4 分 由已知 4 3 4 3 4 1 3 3 4 1 0 2121 2 2121 2 21 2 21 xx k xx k kxkxxx a yy b xx k k kk k k 解得 4 3 4 32 4 3 4 1 4 4 22 2 2 7 分 3 当 A 为顶点时 B 必为顶点 S AOB 1 8 分 当 A B 不为顶点时 设 AB 的方程为 y kx b 4 2 042 4 1 4 2 21 222 2 2 k kb xxbkbxxk x y bkxy 得到 4 4 2 2 21 k b xx 0 4 0 4 21 21 21 21 代入整理得 bkxbkx xx yy xx42 22 kb 11 分 4 1644 4 2 1 2 1 2 22 21 2 2121 k bkb xxxxbxxbS1 2 4 2 b k 所以三角形的面积为定值 12 分 6 解 1 依题意2 c 222 22 97 1cab ab 且 解得 22 2 2ab 所以双曲线方程为 22 1 22 xy 4 分 2 依题意可知 直线l的斜率存在 设直线l的方程为 y kx 2 E 11 x y F 22 xy 由 y kx 2 及 22 1 22 xy 得 22 1 460kxkx 有两个交点 2 10k 又 22 1624 1 0kk 2 3k 33k 又 1212 22 46 11 k xxx x kk A且 2222 1212 22 424 1 41 11 k EFkxxx xk kk 8 分 O 点到直线的距离为 2 2 1 d k 又 1 2 2 2 SEF d 2 22 424 2 2 11 k kk k 2 直线l的方程为22yx 或22yx 12 分 7 解 1 由题意得 22 222 41 1 2 2 ab abc c a 解得6a 3b 故椭圆C的方程为 22 1 63 xy 5 分 2 由题意显然直线l的斜率存在 设直线l方程为 3 yk x 由 22 3 1 63 yk x xy 得 2222 12 121860kxk xk 7 分 因为直线l与椭圆C交于不同的两点M N 所以 4222 1444 12 186 24 1 0kkkk 解得11k 设M N的坐标分别为 11 x y 22 xy 则 2 12 2 12 12 k xx k 2 12 2 186 12 k x x k 11 3 yk x 22 3 yk x 9 分 AMAN kk 12 12 11 22 yy xx 10 分 1221 12 31 2 31 2 2 2 kxkxkxkx xx 1212 1212 2 51 124 2 4 kx xkxxk x xxx 222 222 2 186 51 12 124 12 186244 12 kkkkkk kkk 2 2 44 2 22 k k 所以 AMAN kk 为定值2 14 分 8 6 解 222 222 22 21 2 22 cab eeab aa 222 02 byxyxl 与圆直线 相切 22 2 2 2 4 8 2 bbba 椭圆 C1的方程是 22 1 84 xy 3 分 MP MF2 动点 M 到定直线 1 2lx 的距离等于它到定点 F2 2 0 的距离 动点 M 的轨 迹 C 是以 1 l为准线 F2为焦点的抛物线 点 M 的轨迹 C2的方程为 2 8yx 6 分 当直线 AC 的斜率存在且不为零时 设直线 AC 的斜率为 k 2211 yxCyxA 则直线 AC 的方程为 2 yk x 联立 22 2222 1 2 12 8880 84 xy yk xkxk xk 及得 所以 22 1212 22 888 1212 kk xxx x kk 2 2222 121212 2 32 1 1 1 4 12 k ACkxxkxxx x k 9 分 由于直线 BD 的斜率为 kk 1 1 用代换上式中的 k 可得 2 2 32 1 2 k BD k BDAC 四边形 ABCD 的面积为 22 22 116 1 2 2 12 k SACBD kk 12 分 由 222 2222 12 2 3 1 12 2 22 kkk kk 所以 22 64 122 1 9 Skkk 当时即时取等号 13 分 易知 当直线 AC 的斜率不存在或斜率为零时 四边形 ABCD 的面积8S 9 解 1 a 4 8MN 又 PM 2 MF 得 2 2 1 2 23101 32 a aaceeee 即或舍去 122 1 2 1 0132 2 2 222 2 2 cabc eceecaa c a MFPM舍去或即得又 1 1216 22 yx 椭圆的标准方程为 2 当AB的斜率为 0 时 显然 0 BFNAFM满足题意 当AB的斜率不为 0 时 设 2211 yxByxA AB方程为 8 myx 代入椭圆方程整理得 014448 43 22 myym 则 43 144 43 48 43 1444 48 2 21 2 21 22 m yy m m yymm 6622 2 2 1 1 2 2 1 1 my y my y x y x y kk BFAF 0 6 6 62 21 2121 mymy yyymy 0BFNAFMkk BFAF 从而 综上可知 恒有BFNAFM 3 43 472 2 1 2 2 12 m m yyPFSSS PAFPBFABF 33 1632 72 4 16 43 72 16 4 3 472 2 2 2 2 m m m m 当且仅当 3 28 4 16 43 2 2 2 m m m即 此时适合 0 的条件 取得等号 三角形 ABF 面积的最大值是 3 3 10 解析 1 设椭圆方程为 22 22 1 0 xy ab ab 则 22 2 41 1 ab ab 解得 2 2 8 2 a b 所以椭圆方程 22 1 82 xy 2 因为直线l平行于 OM 且在y轴上的截距为m 又 1 2 OM K 所以l的方程为 1 2 yxm 由 22 22 1 2 2240 1 82 yxm xmxm xy 因为直线l与椭圆交于AB 两个不同点 22 2 4 24 0 mm 所以m的取值范围是 22 0mmm 3 设直线M