证题技巧之三——证明线段或角的和差倍分

证题技巧之三 证明线段或角的和差倍分 一 证明线段或角的倍分 1 方法 长 或大 折半 短 或小 加倍 2 判断 两种方法有时对同一个题都能使用 但存在易繁的问 题 因此 究竟是折半还是加倍要以有利于利用已知条件为准 3 添线 为折半或加倍而添 为折半或加倍后创造条件或 利于利用已知条件而添 4 传递 在加倍或折半后 还不易或不能证明结论 则要找与 被证二量有等量关系的量来传递 或者添加这个量来传递 此时 添线从两方面考虑 造等量 为证等量与被证二量相等而添 参 考例 4 例 5 例 6 例 1 AD 是 ABC 的中线 ABEF 和 ACGH 是分别以 AB 和 AC 为边向形外作的正方形 求证 FH 2AD 证明 延长 AD 至 N 使 AD DN 则 ABNC 是平行四边形 CN AB FA AC AH 又 FAH BAC 180 BAC ACN 180 FAH NCA FH AN FH 2AD 例 2 ABC 中 B 2 C AD 是高 M 是 BC 边上的中点 求证 DM AB 1 2 证明 取 AB 的中点 N 连接 MN DN 则 MN AC 1 C 2 B 2 2 1 1 DNM DM DN 又 AN DN ND DM AB 1 2 例 3 ABC 中 AB AC E 是 AB 的中点 D 在 AB 的延长 线上 且 DB AC 求证 CD 2CE 证明 过 B 作 CD 的中线 BF 则 BF AC A DBF 1 2 AB AC E 是 AB 的中点 BF AE 又 DB AC AEC BFD DF CE CD 2CE 作业 1 在 ABC 中 D 为 BC 的中点 E 为 AD 的中点 BE 的延 长线交 AC 于 F 求证 AF FC 1 2 2 AB 和 AC 分别切 O 于 B 和 C BD 是直径 求证 BAC 2 CBD 3 圆内接 ABC 的 AB AC 过 C 作切线交 AB 的延长线于 D DE 垂直于 AC 的延长线于 E 求证 BD 2CE 例 4 从平行四边形的钝角顶点 A 向 BC 边作垂线 垂足为 E BD 交 AE 于 F 且 FD 2AB 求证 ABD 2 DBC 证明 取 FD 的中点 M 连接 AM 则 AB FM MD AM 1 2 3 4 3 1 2 2 2 2 5 3 2 5 4 2 5 即 ABD 2 DBC 例 5 若圆内接四边形的对角线互相垂直 则圆心到四边形一 边的距离等于这边的对边的一半 分析 从图上看 OE 与 AD 之间没 有任何关系 这时我们就要想法找一 个量与他们俩都有关系的量 借助这 个量进行等量传递 但这个量也找不 到 于是我们就想法造这个量 证明 过 B 作直径 BF 连接 CF 则 OE CF 1 2 在 DHC 和 FCB 中 DHC FCB BDC F 1 2 AD CF AD 2OE 例 6 E 是正方形 ABCD 的 CD 边的中点 F 是 EC 的中点 求证 DAE FAB 1 2 证明 作 FAD 的平分线交 BC 于 H 交 DC 的延长线于 G 则 1 2 G FA FG 设正方形的边长为 a 则 AF2 AD2 DF2 AF a FG CG FG FC a 5 4 ABH GCH ADE 3 2 DAE FAB 1 2 作业 4 ABCD 是正方形 P 是 CD 上一点 AP PC BC M 是 CD 的中点 求证 BAP 2 MAD 5 ABC 中 AB AC D 是 AC 的中点 DE 平分 ADB 交 AB 于 E 圆 ADE 交 BD 于 F 求证 BF 2EF BF 2AE 6 求证 三角形任一顶点到垂心的距离等于外心到对边距离的 2 倍 二 证明三倍以外的倍分问题 1 方法 当是偶数倍时 采取折半再折半或折半传递 当是奇数倍时采用传递或减一传递 例 1 ABC 中 E 是 AB 的中点 D 是 AC 上一点 且 CD DA BD 交 CE 于 F 求证 FD BE 1 2 1 4 证明 作 EG AD 1 2 EG CD BG GD GEF DCF FD BE 1 4 例 2 ABC 中 C 是钝角 EC 垂直于 BC 交 AB 于 E 且 BE 2AC 求证 外角 ACD 3 B 证明 作 CF AB 则 1 B 2 A 取 BE 中点 G 连接 CG 则 B 4 A 3 3 2 4 2 ACD 2 1 3 B 例 3 E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 的中点 F 在 AD 上 且 AF AD FE 交 AC 于 G 求证 AG AC 1 3 1 5 证明 延长 FE 交 CB 的延长线于 H 则 AFE BHE AF BH AD 3AF CH 4AF AFG CHG CG 4AG AG AC 1 5 例 4 AB 是 O 的直径 弦 CD 交 AB 于 P 且 PC PO 求证 AC 1 3 BD 证明 连接 OC OD 则 1 C D 3 1 C 2 1 BOD 3 D 3 1 AC 1 3 BD 作业 7 ABC 中 AC 垂直 BC AD BC 交 BD 于 D BD 交 AC 于 E 且 ED 2AB 求证 ABE ABC 2 3 8 延长 O 的半径 OA 到 B 使 AB OA CD 切 O 于 D 且 CD 不 经过 AB 之间 BC CD 于 C 求证 ABC CAD 9 AB 弧 120 PA PB 切 O 于 A B O 分别切 AB 弧 PA PB 于 C D F 求证 O 的周长 O 的周长 1 3 三 证线段或角的和差 方法 1 在长者上截一短者 证明余者等于另一短者 方法 2 延长一短者 使其等于二短者之和 证明延长后与长 者相等 例 1 ABC 是圆内接正三角形 P 是 BC 弧上任一点 求证 PA PB PC 证明 在 AP 上截 AE PC 连接 BE 1 2 AB AC PC AE ABE CBP BE BP 3 4 60 BP BE EP PA PB PE 证法 2 在 AP 上截 AE PB 连接 CE 则 ACE BCP 根据 APC 60 可证 PEC 是正三角形 从而命题得证 证法 3 延长 BP 交 AC 的延长线于 E 则 BPA APC CPE 180 ACB BCP PCE 180 可证 PCE 是正三角形 继而可证 BEC APC 从而命题得证 证法 4 延长 BP 至 E 使 PE PC 连接 CE 从而可证 PCE 是 正三角形 继而可证 BEC APC 从而命题得证 右图可用于证 法 3 和证法 4 例 2 ABC 中 AB AC A 100 BD 是角平分线 求证 BD AD BC 证明 在 BC 上截 BE BD 则 3 4 A 100 AB AC ABC C 40 1 2 20 3 4 80 5 180 ADB 3 40 C DE EC 又 A B E D 四点共圆 AD ED BD AD BC 证法 2 延长 BD 至 E 使 DE AD 在 BC 上截 BF BA 则 ABD FBD AD FD DE ADB BDF 60 FDC 60 EDC CED CFD DEC DFC 80 FCE BC BE BD DE BD AD 作业 10 在 ABC 中 B 2 C AD 是角平分线 求证 AB BD AC 11 ABC 中 CE 是高 AB AC D 是 BC 延长线上一点 DF AB 于 F DM AC 交 AC 延长线于 M 求证 DM DF CE 12 E F 分别是正方形 ABCD 边 BC 和 CD 上的点且 EAF 45 求证 EF BE DF 方法 3 利用三角形的面积 判断 当结论中的三条线段分别 是底边相等的三个三角形的高时 考虑利用三角形的面积进行证明 例 3 求证 等腰三角形底边上任一点到两腰距离的和等于腰 上的高 已知 如图 AB AC PE AB PD AC CF AB 求证 CF PE PD 证明 S APB AB PE 1 2 S APC AC PD 1 2 S ABC S APB S APC AB CF AB PE AB PD 1 2 1 2 1 2 CF PE PD 方法 4 利用等量传递 例 4 如图 Rt ABC 中 A 90 AB AC MN 过 A BD MN 于 D CE MN 于 E 求证 DE BD CE 证明 1 2 90 2 3 90 1 3 AB AC ADB CEA DA CE BD AE DE DA AE BD CE 例 5 如图 G 是 ABC 的重心 直线 MN 过 G AD MN 于 D BE MN 于 E CF MN 于 F 求证 AD BE CF 证明 连接 AG 并延长交 BC 于 H 作 HI MN 于 I 则 HI BE CF 1 2 ADG HIG AD 2HI AD BE CF AG GH AD HI 2 1 例 6 定理 直角三角形内切圆的直径等 于两条直角边的和减斜边的差 已知 如图 Rt ABC 中 C 90 O 分别 切 BC CA AB 于 D E F 设 O 的直径是 d 求证 d AC BC AB 证明 连接 OE OD 则 CD CE d DC BC BD BC BF CE AC AE AC AF DC CE BC AC BF AF BC AC AB d AC BC AB 作业 13 求证 正三角形内任一点到三边的距离之和等于高 14 在 ABC 中 角平分线 BD CE 相交于 O 过 O 作 MN BC 分别交 AB AC 于 M N 求证 MN BM CN 15 MN 是平行四边形 ABCD 形外任一条直线 求证 一对角线 上两顶点到 MN 的距离之和等于另一条对角线上两顶点到 MN 的距离 之和 16 CD 是 Rt ABC 斜边上的高 求证 内切于 ABC CAD CBD 的三个圆的半径的和等于 CD 四 证线段或角的和差倍分 方法 1 先作出和差 再证明倍分 方法 2 先证明倍分 再计算和差 此法多用于证线段 方法 3 用计算的方法 纯代数法 证明和差倍分 此 法多用于证角 便于计算 注意 在证明角的和差倍分时 涉及到 的量比较多 往往用单一字母表示角进行计算 例 1 ABC 中 AB AC AD 是角平分线 M 是 BC 的中点 EM AD 交 AB 于 E 求证 BE AB AC 1 2 证明 在 AB 上截 AF AC 则 FC AD EM FC BF AB AC BM MC BE EF BE BF AB AC 1 2 1 2 例 2 梯形 ABCD 的腰 CD BA E F 是 AD BC 的中点 求证 EF BC AD 1 2 证明 作 EM AB 交 BC 于 M EN CD 交 BC 于 N 则 AE BM ED FN MN BC AD CD BA NE EM EF MF FN EF BC AD 1 2 证法二 延长 BA CD 相交于 O 连接 OF 交 AD 于 E 则 BF FC A E E D BF FC A E E D E 和 E 都是 AD 的中点 E 和 E 重合 OE AD OF BC 1 2 1 2 EF OF OE BC AD 1 2 1 2 EF BC AD 1 2 例 3 四边形 ABCD 中 DAB 和 ABC 的角平分线相交于 点 O 求证 O C D 1 2 证明 设 DAB ABC C D O 180 1 2 3