集合的运算(交集、并集)

1 1 31 3 1 1 集合的运算集合的运算 交集 并集 交集 并集 上海市松江一中 潘勇 一 教学内容分析教学内容分析 本小节的重点是交集与并集的概念 只要结合图形 抓住 概念中的关键词 且 或 理解它们并不困难 可以借助 代数运算帮助理解 且 或 的含义 求方程组的解集是求 各个方程的解集的交集 求方程 的解集 则是 求方程 和 的解集的并集 本小节的难点是弄清交集与并集的概念及符号之间的联 系和区别 突破难点的关键是掌握有关集合的术语和符号 简 单的性质和推论 并会正确地表示一些简单的集合 利用数形 结合的思想 将满足条件的集合用维恩图或数轴一一表示出来 从而求集合的交集 并集 补集 这是既简单又直观且是最基 本 最常见的方法 要注意灵活运用 二 二 教学目标设计教学目标设计 理解交集与并集的概念 掌握有关集合运算的术语和符号 能用图示法表示集合之间的关系 会求给定集合的交集与并集 知道交集 并集的基本运算性质 发展运用数学语言进行表达 交流的能力 通过对交集 并集概念的学习 提高观察 比较 2 分析 概括等能力 三 教学重点及难点三 教学重点及难点 交集与并集概念 数形结合思想方法在概念理解与解题中运用 交集与并集概念 符号之间的区别与联系 四 教学流程设计四 教学流程设计 课堂小结并布置作业 五 教学过程设计五 教学过程设计 一 复习回顾一 复习回顾 思考并回答下列问题思考并回答下列问题 1 子集与真子集的区别 2 含有 n 个元素的集合子集与真子集的个数 概念 符号 图示 实例引入 交集 并集 性质 运用与深化 例题解析 巩固练习 3 3 空集的特殊意义 二 讲授新课二 讲授新课 关于交集关于交集 1 概念引入 概念引入 1 考察下面集合的元素 并用列举法表示 课本 p12 A B C 10 的正约数为xx 15 的正约数为xx 1510 的正公约数与为xx 解答 A 1 2 5 10 B 1 3 5 15 C 1 5 说明说明 启发学生观察并发现如下结论 C 中元素是 A 与 B 中 公共元素 2 用图示法表示上述集合之间的关系 2 10 1 5 3 15 2 概念形成 概念形成 交集定义交集定义 一般地 由集合 A 和集合 B 的所有公共元素所组成的集合 叫做 A 与 B 的交集 记作 A B 读作 A 交 B 即 A B x x A 且 x B 让学生用描述法表示 交集的图示法交集的图示法 AB 4 BBAABA BABA BA 请学生通过讨论并举例说明 3 概念深化 概念深化 交集的性质 补充 交集的性质 补充 由交集的定义易知 对任何集合 A B 有 A A A A U A A A B A A B B A B B A A B C A B C A B C A B AA B 4 例题解析 例题解析 例 1 已知 B 求 补充 21 xxA 02 xx BA 解 01 xxBA 说明说明 启发学生数形结合 利用数轴解题 求交集的实 质是找出两个集合的公共部分 例 2 设 A x x 是等腰三角形 B x x 是直角三角形 求 5 A B 补充 解 A B x x 是等腰三角形 x x 是直角三角形 x x 是等腰直角三角形 说明说明 此题运用文氏图 其公共部分即为 A B 例 3 设 A B 两个集合分别为 102 yxyxA 求 A B 并且说明它的意义 53 yxyxB 课本 p11 例 1 解 3 4 53 102 yx yx yxBA 说明说明 表示方程组的解的集合 也可以理解为两条一次 BA 函数的图像的交点的坐标集合 例 4 补充 设 A 1 2 3 B 2 5 7 C 4 2 8 求 A B C A B C A B C 解 A B C 1 2 3 2 5 7 4 2 8 2 4 2 8 2 A B C 1 2 3 2 5 7 4 2 8 1 2 3 2 2 A B C A B C A B C 2 三 巩固练习三 巩固练习 练习 1 3 1 6 关于并集关于并集 1 概念引入 概念引入 引例 考察下面集合的元素 并用列举法表示 A B C 02 xx 03 xx 0 3 2 xxx 答 A B 3 C 2 3 2 说明说明 启发学生观察并发现如下结论 C 中元素由 A 或 B 的 元素构成 2 概念形成 概念形成 并集的定义并集的定义 一般地 由所有属于 A 或属于 B 的元素组成的集合 叫做 A 与 B 的并集 记作 A B 读作 A 并 B 即 A B x x A 或 x B 并集的图示法并集的图示法 ABA BBA BBA ABA BBA 请学生通过讨论并举例说明 7 3 概念深化 概念深化 并集的性质 补 并集的性质 补 A A A A U U A A A A B B A B A B B A A B A B 当且仅当 A B 时 A B A B A B AB A 说明说明 交集与并集的区别 由学生回答 补 交集是属于 A 且属于 B 的全体元素的集合 并集是属于 A 或属于 B 的全体元素的集合 x A 或 x B 的 或 代表了三层含义 即下图所示 4 例题解析 例题解析 例 5 设 A 4 5 6 8 B 3 5 7 8 求 A B 补 充 解 A 4 5 6 8 B 3 5 7 8 则 A B 4 5 6 8 3 5 7 8 3 4 5 6 7 8 8 说明说明 运用文恩解答该题 用例举法求两个集合的并集 只需把两个集合中的所有元素不重复的一一找出写在大括号中 即可 例 6 设 A a b c d B b d e f 求 A B A B 课本 p12 例 2 解 A B b d 则 A B a b c d e f 例 7 设 A x x 是锐角三角形 B x x 是钝角三角 求 A B 补充 解 A B x x 是锐角三角形 x x 是钝角三角形 x x 是 斜三角形 例 8 设 A x 2 x1 或 x 1 求 A B 课本 P12 例 3 解 A B R 说明说明 本题是集合语言及运算与简单不等式相结合的问题 解题中应充分利用数形结合思想 体现抽象与直观的完美结合 例 9 已知 A x x 2k k Z 或 x B B x x 2k 1 k Z 求 A B 课本 P12 例 4 说明说明 解题的关键是读懂描述法表示集合的含义 9 三 巩固练习 三 巩固练习 1 3 2 补充练习补充练习 1 设 A x 1 x 2 B x 1 x 3 求 A B 解析 利用数轴 将 A B 分别表示出来 则阴影部分即为所 求 解 将 A x 1 x 2 及 B x 1 x 3 在数轴上表示出来 如图阴影部分即为所求 A B x 1 x 2 x 1 x 3 x 1 x 3 2 A 1 3 x B 1 且 A B 1 3 x 求 x 2 x 3 0 1 A 0 1 2 求 A 的个数 4 A x 2 x 4 B x x a A B x x2 P x x 3 则 x M 或 x P 是 x M P 的什么条件 x M 或 x P 是 x M P 的必要不充分条件 3 思考题 设集合 A 4 2m 1 m2 B 9 m 5 1 m 又 A B 9 求实数 m 的值 解 A B 9 A 4 2m 1 m2 B 9 m 5 1 m 2m 1 9 或 m2 9 解得 m 5 或 m 3 或 m 3 若 m 5 则 A 4 9 25 B 9 0 4 与 A B 9 矛盾 若 m 3 则 B 中元素 m 5 1 m 2 与 B 中元素互异矛盾 若 m 3 则 A 4 7 9 B 9 8 4 满足 A B 9 m 3 11 六 教学设计说明六 教学设计说明 1 注重数形结合 从集合 A 和 B 的文氏图中引出交集 并集 的概念在引出交集 并集的概念时 最好不要直接给出它们各 自概念的含义 建议结合图形 启发学生从集合 A 和集合 B 的文氏图中 寻找它们之间的联系 学生较为容易接受 理解 也较为深刻 为以后进行集合之间的交并运算打下基础 2 注意交集 并集概念的符号语言表示 提高学生的数学语 言表达能力 教材对于交集 并集的概念还给出了它们各自的 符号语言表示 即 对于符号语言的表示要注意它们的区 别和联系 抓住概念中的关键词 且 或 中的 且 字 它说明 的任一元素 都是 A 与 B 的公共元素 由 此可知 必是 A 与 B 的公共子集 即 式中的 或 字的意义 这一条件 包括下列三种情况 且 很明显 适合第 三种情况的元素 构成的集合就是 还要注意 A 与 B 的公共元素在 中只出现一次 因此 是由所有至 12 少属于 A B 两者之一的元素组成的集合 由定义可知 A 与 B 都是 的子集 联系到 都 是 A B 的子集 可得下面的关系式 3 运用对比教学的方法 使学生区分交 并集的概念 能正 确对集合之间求交与求并 教师在讲解了交集 并集的概念后 可以涉及一个表格 让学生填写内容 见下表 名 称交 集并 集 定 义 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的元素所组成的集合 叫做 A 与 B 的交集 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合 叫做 A 与 B 的并集 记 号 读作 A 交 B 读作 A 并 B 简 而 言 之 A 与 B 的公共元素组成的集合即 且 A 与 B 的所有元素组成的集合即 或 图 示 一般情形 阴影为 阴影为 性 质 13 4 可是当补充用图示法 即文氏图 表示集合之间的关系的 问题 用图示法表示集合之间的关系有两层意思 一方面