课时跟踪检测(五十七)　模拟方法

课时跟踪检测 五十七 模拟方法 第 组 全员必做题 1 用一平面截一半径为 5 的球得到一个圆面 则此圆面积小于 9 的概率是 A B C D 4 5 1 5 1 3 1 2 2 函数 f x x2 x 2 x 5 5 那么任取一点 x0 5 5 使 f x0 0 的概率是 A 1 B C D 2 3 3 10 2 5 3 如图 M 是半径为 R 的圆周上一个定点 在圆周上等可能的任取一 点 N 连接 MN 则弦 MN 的长度超过R 的概率是 2 A B C D 1 5 1 4 1 3 1 2 4 如图 圆的直径是正方形边长的一半 圆位于正方形的内部 现随意地将 飞镖掷向正方形内 则飞镖击中圆面部分的概率是 A B C D 1 6 1 3 12 16 5 2014 惠州调研 在区间 1 5 和 2 4 上分别取一个数 记为 a b 则方程 1 x2 a2 y2 b2 表示焦点在 x 轴上且离心率小于的椭圆的概率为 3 2 A B C D 1 2 15 32 17 32 31 32 6 2013 昆明质检 在区间 0 10 上任取一个实数 a 使得不等式 2x2 ax 8 0 在 0 上恒成立的概率为 7 2014 苏锡常镇四市一调 如图 边长为 2 的正方形内有一个半径为 1 的半圆 向正方形内任投一点 假设该点落在正方形内的每一点都是等可 能的 则该点落在半圆内的概率为 8 如图所示 图 2 中实线围成的部分是长方体 图 1 的平面展开图 其中四边形 ABCD 是边长为 1 的正方形 若向虚线围成的矩形内任意抛掷一质点 它落在长方体的平 面展开图内的概率是 则此长方体的体积是 1 4 9 已知袋子中放有大小和形状相同的小球若干 其中标号为 0 的小球 1 个 标号为 1 的小球 1 个 标号为 2 的小球 n 个 若从袋子中随机抽取 1 个小球 取到标号为 2 的小球 的概率是 1 2 1 求 n 的值 2 从袋子中不放回地随机抽取 2 个小球 记第一次取出的小球标号为 a 第二次取出 的小球标号为 b 记 a b 2 为事件 A 求事件 A 的概率 在区间 0 2 内任取 2 个实数 x y 求事件 x2 y2 a b 2恒成立 的概率 10 设 f x 和 g x 都是定义在同一区间上的两个函数 若对任意 x 1 2 都有 创新题 f x g x 8 则称 f x 和 g x 是 友好函数 设 f x ax g x b x 1 若 a 1 4 b 1 1 4 求 f x 和 g x 是 友好函数 的概率 2 若 a 1 4 b 1 4 求 f x 和 g x 是 友好函数 的概率 第 组 重点选做题 1 设不等式组Error 表示的平面区域为 D 在区域 D 内随机取一个点 则此点到坐标 原点的距离大于 2 的概率是 A B C D 4 2 2 6 4 4 2 在体积为 V 的三棱锥 S ABC 的棱 AB 上任取一点 P 则三棱锥 S APC 的体积大于 的概率是 V 3 答 案 第 组 全员必做题 1 选 B 依题意得截面圆面积为 9 的圆半径为 3 球心到该截面的距离等于 4 球的截 面圆面积小于 9 的截面到球心的距离大于 4 因此所求的概率等于 5 4 5 1 5 2 选 C 将问题转化为与长度有关的几何概型求解 当 x0 1 2 时 f x0 0 则所求 概率 P 2 1 5 5 3 10 3 选 D 由题意知 当 MN R 时 MON 所以所求概率为 2 2 2 2 2 1 2 4 选 D 设圆的半径为 1 则正方形的边长为 4 有正方形的面积为 16 圆的面积为 根据题意 飞镖击中圆面部分的概率即圆的面积与正方形的面积比 即其概率为 选 D 16 5 选 B 方程 1 表示焦点在 x 轴上且离心率小于的椭圆 x2 a2 y2 b2 3 2 故Error 即Error 化简得Error 又 a 1 5 b 2 4 画出满足不等式组的 平面区域 如图阴影部分所示 求得阴影部分的面积为 故所求的概率 P 15 4 S阴影 2 4 15 32 6 解析 要使 2x2 ax 8 0 在 0 上恒成立 只需 ax 2x2 8 即 a 2x 在 8 x 0 上恒成立 又 2x 2 8 当且仅当 x 2 时等号成立 故只需 a 8 因此 8 x16 0 a 8 由几何概型的概率计算公式可知所求概率为 8 0 10 0 4 5 答案 4 5 7 解析 由题知该点落在半圆内的概率为 S半圆 S正方形 8 答案 8 8 解析 设长方体的高为 h 由几何概型的概率计算公式可知 质点落在长方体的平 面展开图内的概率 P 解得 h 3 或 h 舍去 2 4h 2h 2 2h 1 1 4 1 2 故长方体的体积为 1 1 3 3 答案 3 9 解 1 依题意 得 n 2 n n 2 1 2 2 记标号为 0 的小球为 s 标号为 1 的小球为 t 标号为 2 的小球为 k h 则取出 2 个小球的可能情况有 s t s k s h t s t k t h k s k t k h h s h t h k 共 12 种 其中满足 a b 2 的有 4 种 s k s h k s h s 所以所求概率为 P A 4 12 1 3 记 x2 y2 a b 2恒成立 为事件 B 则事件 B 等价于 x2 y2 4 恒成立 x y 可 以看成平面中的点的坐标 则全部结果所构成的区域为 x y 0 x 2 0 y 2 x y R 而事件 B 构成的区域为 B x y x2 y2 4 x y 所以所求的概率为 P B 1 4 10 解析 1 设事件 A 表示 f x 和 g x 是 友好函数 则 f x g x x 1 2 所有的情 况有 x x x 1 x 1 x 4 x 4x 4x 4x 1 x 1 x 4 x 共 6 种且每种情况被取到的可能性相同 又当 a 0 b 0 时 ax 在 0 上递减 在 上递增 b x b a b a x 和 4x 在 0 上递增 1 x 1 x 对 x 1 2 可使 f x g x 8 恒成立的有 x x x 4x 1 x 1 x 4 x 1 x 故事件 A 包含的结果有 4 种 P A 故所求概率是 4 6 2 3 2 3 2 设事件 B 表示 f x 和 g x 是 友好函数 a 是从区间 1 4 中任取的数 b 是从区间 1 4 中任取的数 点 a b 所在区域是长为 3 宽为 3 的矩形区域 要使 x 1 2 时 f x g x 8 恒成立 需 f 1 g 1 a b 8 且 f 2 g 2 2a 8 b 2 事件 B 表示的点的区域是如图所示的阴影部分 P B 故所求的概率是 1 2 2 11 4 3 3 3 19 24 19 24 第 组 重点选做题 1 选 D 根据题意作出满足条件的几何图形求解 如图所示 正方形 OABC 及其内部为不等式组表示的区域 D 且区 域 D 的面积为 4 而阴影部分表示的是区域 D 内到原点距离大于 2 的区 域 易知该阴影部分的面积为 4 因此满足条件的概率是 4 4 2 解析 由题意可知 三棱锥 S ABC 的高与三棱锥 S APC 的高相