求轨迹方程题型全归纳

1 求轨迹方程的六种常用方法求轨迹方程的六种常用方法 1 1 直接法 直接法 根据已知条件及一些基本公式如两点间距离公式 点到直线的距离公式 直线的斜率 公式等 直接列出动点满足的等量关系式 从而求得轨迹方程 例例 1 1 已知线段 直线相交于 且它们的斜率之积是 求点6 ABBMAM M 4 9 的轨迹方程 M 解 以所在直线为轴 垂直平分线为轴建立坐标系 则 ABxABy 3 0 3 0 AB 设点的坐标为 则直线的斜率 直线的M x yAM 3 3 AM y kx x BM 斜率 3 3 AM y kx x 由已知有 4 3 339 yy x xx 化简 整理得点的轨迹方程为M 22 1 3 94 xy x 练习 1 平面内动点到点的距离与到直线的距离之比为 2 则点的轨迹P 10 0 F4x P 方程是 2 设动直线 垂直于轴 且与椭圆交于 两点 是 上满足lx 22 24xy ABPl 的点 求点的轨迹方程 1PA PB P 3 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 在过其中一条直线且平行于另一条直线 的平面内的轨迹是 A 直线B 椭圆C 抛物线D 双曲线 2 2 2 定义法 定义法 通过图形的几何性质判断动点的轨迹是何种图形 再求其轨迹方程 这种方法叫做定 义法 运用定义法 求其轨迹 一要熟练掌握常用轨迹的定义 如线段的垂直平分线 圆 椭圆 双曲线 抛物线等 二是熟练掌握平面几何的一些性质定理 例 2 若为的两顶点 和两边上的中线长之和是 8 0 8 0 BC ABC ACAB30 则的重心轨迹方程是 ABC 解 设的重心为 则由和两边上的中线长之和是可得ABC G x yACAB30 而点为定点 所以点的轨迹为以 2 3020 3 BGCG 8 0 8 0 BC G 为焦点的椭圆 B C 所以由可得220 8ac 22 10 6abac 故的重心轨迹方程是ABC 22 1 0 10036 xy y 练习 4 方程表示的曲线是 22 2 1 1 2 xyxy A 椭圆 B 双曲线 C 线段 D 抛物线 3 点差法 点差法 圆锥曲线中与弦的中点有关的问题可用点差法 其基本方法是把弦的两端点 的坐标代入圆锥曲线方程 然而相减 利用平方差公式可得 1122 A x yB xy 12 xx 等关系式 由于弦的中点的坐标满足 12 yy 12 xx 12 yy AB P x y 12 2xxx 且直线的斜率为 由此可求得弦中点的轨迹方程 12 2yyy AB 21 21 yy xx AB 例 3 椭圆中 过的弦恰被点平分 则该弦所在直线方程为 22 1 42 xy 1 1 PP 解 设过点的直线交椭圆于 则有 1 1 P 11 A x y 22 B xy 22 11 1 42 xy 22 22 1 42 xy 3 可得 12121212 0 42 xxxxyyyy 而为线段的中点 故有 1 1 PAB 1212 2 2xxyy 所以 即 121212 12 2 21 0 422 xxyyyy xx 1 2 AB k 所以所求直线方程为化简可得 1 1 1 2 yx 230 xy 练习 5 已知以为圆心的圆与椭圆交于 两点 求弦的中点 2 2 P 22 2xym ABAB 的轨迹方程 M 6 已知双曲线 过点能否作一条直线 与双曲线交于两点 使 2 2 1 2 y x 1 1 Pl A B 为线段的中点 PAB 4 4 转移法 转移法 转移法求曲线方程时一般有两个动点 一个是主动的 另一个是次动的 当题目中的条件同时具有以下特征时 一般可以用转移法求其轨迹方程 某个动点在已知方程的曲线上移动 P 另一个动点随的变化而变化 MP 在变化过程中和满足一定的规律 PM 例 4 已知是以为焦点的双曲线上的动点 求的重心 P 12 F F 22 1 169 xy 12 FF P G 的轨迹方程 解解 设 重心 点 因为 G x y 00 P xy 12 4 0 4 0 FF 则有 故代入 3 0 00 3 0 44 y y x x yy xx 3 0 3 0 1 9 2 0 16 2 0 yx 得所求轨迹方程 2 2 9 1 0 16 x yy 4 例 5 抛物线的焦点为 过点作直线 交抛物线 两点 再以 2 4xy F 0 1 lAB 为邻边作平行四边形 试求动点的轨迹方程 AFBFAFBRR 解法一 转移法 设 平行四边形的中心为 R x y 0 1 FAFBR 1 22 x y P 将 代入抛物线方程 得 1ykx 2 440 xkx 设 则 1122 A x yB xy 2 1212 1212 16160 1 44 44 kk xxkxxk x xx x 222 2 121212 12 2 42 44 xxxxx x yyk 为的中点 消去得PAB 12 22 1 2 22 221 21 k yyy k xxx 34 4 2 ky kx k 由 得 故动点的轨迹方程为 2 4 3 xy 4x R 2 4 3 4 xyx 解法二 点差法 设 平行四边形的中心为 R x y 0 1 FAFBR 1 22 x y P 设 则有 1122 A x yB xy 2 11 4xy 2 22 4xy 由 得 12121212 4 4 l xxxxyyxxk 而为的中点且直线 过点 所以代PABl 0 1 12 1 1 3 2 2 2 2 l y xy xxx k x x 5 入 可得 化简可得 3 4 y x x 2 2 12 412 4 x xyy 由点在抛物线口内 可得 1 22 x y P 22 1 48 1 22 xy xy 将 式代入 可得 2 22 12 8 1 16 4 4 x xxx 故动点的轨迹方程为 R 2 4 3 4 xyx 练习 7 已知 在平面上动点满足 点是点关于直线 1 0 1 4 AB Q4QA QB PQ 的对称点 求动点的轨迹方程 2 4 yx P 5 5 参数法 参数法 求曲线的轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一 求符合某种条件的动点的轨迹方 程 其实质就是利用题设中的几何条件 通过 坐标互化 将其转化为寻求变量间的关系 在确定了轨迹方程之后 有时题目会就方程中的参数进行讨论 参数取值的变化使方程表 示不同的曲线 参数取值的不同使其与其他曲线的位置关系不同 参数取值的变化引起另 外某些变量的取值范围的变化等等 例 6 过点作直线 交双曲线于 两点 已知 2 0 M l 22 1xy AB OPOAOB 1 求点的轨迹方程 并说明轨迹是什么曲线 P 2 是否存在这样的直线 使矩形 若存在 求出 的方程 若不存在 lOAPBl 说明理由 解 当直线 的斜率存在时 设 的方程为 代入方程 得ll 2 0 yk xk 22 1xy 2222 1 4410kxk xk 因为直线 与双曲线有两个交点 所以 设 则l 2 10k 1122 A x yB xy 22 1212 22 441 11 kk xxx x kk 2 121212 22 44 2 2 44 11 kkk yyk xk xk xxkk kk 设 由 得 P x yOPOAOB 2 1212 22 44 11 kk x yxxyy kk 6 所以 代入可得 化简得 2 2 2 4 1 4 1 k x k k y k x k y 2 4 1 k y k 2 4 1 x y y x y 即 22 40 xyx 22 2 4xy 当直线 的斜率不存在时 易求得满足方程 故所求轨迹方程为l 4 0 P 其轨迹为双曲线 也可考虑用点差法求解曲线方程 22 2 4 0 xyy 2 平行四边为矩形的充要条件是即 OPAB0OA OB 1212 0 x xy y 当不存在时 坐标分别为 不满足 式kAB 2 3 2 3 当存在时 k 222 121212121212 2 2 1 2 4x xy yx xk xk xkx xkxxk 化简得 2222 2 22 1 14 24 40 11 kkkk k kk 2 2 1 0 1 k k 此方程无实数解 故不存在直线 使为矩形 lOPAB 练习 8 设椭圆方程为 过点的直线 交椭圆于点 是坐标原点 点1 4 2 2 y x 0 1 MlABO 满足 点的坐标为 当 绕点旋转时 求 P 2 1 OBOAOP N 2 1 2 1 lM 1 动点的轨迹方程 2 的最小值与最大值 P NP 9 设点和为抛物线上原点以外的两个动点 且 AB 2 4 0 ypx p OOAOB 过作于 求点的轨迹方程 OOMAB MM 6 6 交轨法 交轨法 若动点是两曲线的交点 可以通过这两曲线的方程直接求出交点的方程 也可以解方 程组先求出交点的参数方程 再化为普通方程 例 7 已知是椭圆中垂直于长轴的动弦 是椭圆长轴的两个端MN1 2 2 2 2 b y a x AB 点 求直线和的交点的轨迹方程 MANBP 解解 1 利用点的坐标作参数 令 则 11 M x y 11 N xy 而 设与的交点为 0 0 AaB a AMNB P x y 因为共线 所以 因为共线 所以 A M P ax y ax y 1 1 N B P ax y ax y 1 1 7 两式相乘得 而即代入 22 1 2 1 22 2 ax y ax y 1 2 2 1 2 2 1 b y a x 2 2 1 2 2 2 1 a xab y 得 即交点的轨迹方程为 2 2 22 2 a b ax x P1 2 2 2 2 b y a x 解解 2 利用角作参数 设 则 cos sin M ab cos sin N ab 所以 两式相乘消去 aa b ax y cos sin aa b ax y cos sin 即可得所求的点的轨迹方程为 P1 2 2 2 2 b y a x 练习 10 两条直线和的交点的轨迹方程是 01 yax 1 01 aayx 总结归纳总结归纳 1 要注意有的轨迹问题包含一定隐含条件 也就是曲线上点的坐标的取值范围 由曲 线和方程的概念可知 在求曲线方程时一定要注意它的 完备性 和 纯粹性 即轨迹若 是曲线的一部分 应对方程注明的取值范围 或同时注明的取值范围 x x y 2 轨迹 与 轨迹方程 既有区别又有联系 求 轨迹 时首先要求出 轨迹方程 然后再说明方程的轨迹图形 最后 补漏 和 去掉增多 的点 若轨迹有不同的情况 应分别讨论 以保证它的完整性 8 练习参考答案 1 22 2 1 1648 xy 2 解 设点的坐标为 则由方程 得P x y 22 24xy 2 4 2 x y 由于直线 与椭圆交于两点 故lAB22x 即 两点的坐标分别为AB 22 44 22 xx A xB x 22 44 0 0 22 xx PAy PBy 由题知即1PA PB 22 44 0 0 1 22 xx yy 即所以点的轨迹方程为 2 2 4 1 2 x y 22 26xy P 22 1 22 63 xy x 3 D 解析 在长方体中建立如图所示 1111 ABCDABC D 的空间直角坐标系 易知直线与是异面垂直的AD 11 DC 两条直线 过直线与平行的平面是面 AD 11 DCABCD 设在平面内动点满足到直线与ABCD M x yAD 的距离相等 作于 11 DC 1 MMMP 1 M 于 于 连结 易知MNCD N 11 NPDC PMP 平面 则有 MN 111 CDDC MPDC 1 MMMP 其中是异面直线与间的距离 即有 因此动 222 yxa aAD 11 DC 222 yxa 点的轨迹是双曲线 选 D M 4 A 5 解解 设 M x y 1122 A x yB xy 则 由 1212 2 2xxx yyy myx 2 1 2 2 1 myx 2 2 2 2 2 两式相减并同除以得 12 xx M O P B A y x 9 而 1212 1212 11 22 yyxxx xxyyy 12 12 AB yy k xx 又因为所以 2 2 PM y k x PMAB 1 ABPM kk 化简得点的轨迹方程 12 1 22 xy yx M240 xyxy 6 先用点差法求出 但此时直线与双曲线并无交点 所以这样的直线不存在 210 xy 中点弦问题 注意双曲线与椭圆的不同之处 椭圆不须对判别式进行检验 而双曲线必 须进行检验 7 解 设 则 Q x y 1 1 4 QAxy QBxy 由4 1 1 4 4 1 1 4 4QA QBxyxyxxyy 即 222 2 3xy 所以点的轨迹是以为圆心 以 3 为半径的圆 Q 0 2 C 点是点关于直线的对称点 PQ2 4 yx 动点的轨迹是一个以为圆心 半径为 3 的圆 其中是点P 000 Cxy 000 Cxy 关于直线的对称点 即直线过的中点 且与 0 2 C2 4 yx 2 4 yx 0 CC 0 CC 垂直 于是有即 0 0 00 2 21 0 20 24 22 y x yx 000 000 2408 21802 yxx yxy 故动点的轨迹方程为 P 22 8 2 9xy 8 解 1 解法一 直线 过点 设其斜率为 则 的方程为 l 0 1 Mkl1ykx 记 由题设可得点 的坐标 是方程组 11 yxA 22 yxBAB 11 yx 22 yx 1 4 1 2 2 y x kxy 的解 将 代入 并化 简得 所以于032 4 22 kxxk 4 8 4 2 2 21 2 21 k yy k k xx 是 4 4 4 2 2 2 1 22 2121 kk kyyxx OBOAOP 10 设点的坐标为则消去参数得 P yx 4 4 4 2 2 k y k k x k04 22 yyx 当不存在时 中点为坐标原点 也满足方程 所以点的轨迹方程为kAB 0 0 P 22 40 xyy 解法二 设点的坐标为 因 在椭圆上 所以 P yx 11 yxA 22 yxB 1 4 2 12 1 y x 1 4 2 22 2 y x 得 所以 0 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 0 4 1 21212121 yyyyxxxx 当时 有 21 xx 0 4 1 21 21 2121 xx yy yyxx 并且 将 代入 并整理得 1 2 2 21 21 21 21 xx yy x y yy y xx x 0 4 22 yyx 当时 点 的坐标为 这时点的坐标为 21 xx AB 0 2 0 2 P 0 0 也满足 所以点的轨迹方程为 P 2 2 1 2 1 11 164 y x 2 解 由点的轨迹方程知 即所以 P 2 1 16 x 11 44 x 12 7 6 1 34 4 1 2 1 2 1 2 1 222222 xxxyxNP 故当 取得最小值 最小值为时 取得最大值 最大值为 4 1 x NP 6 1 4 1 x当 NP