课时跟踪检测(四十一)　空间图形的基本关系与公理

课时跟踪检测 四十一 空间图形的基本关系与公理 第 组 全员必做题 1 若空间三条直线 a b c 满足 a b b c 则直线 a 与 c A 一定平行 B 一定相交 C 一定是异面直线 D 一定垂直 2 2014 聊城模拟 对于任意的直线 l 与平面 在平面 内必有直线 m 使 m 与 l A 平行 B 相交 C 垂直 D 互为异面直线 3 2013 广州模拟 若空间中有两条直线 则 这两条直线为异面直线 是 这两条直 线没有公共点 的 A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件 4 2013 新乡月考 已知异面直线 a b 分别在平面 内 且 c 那么直线 c 一定 A 与 a b 都相交 B 只能与 a b 中的一条相交 C 至少与 a b 中的一条相交 D 与 a b 都平行 5 若 P 是两条异面直线 l m 外的任意一点 则 A 过点 P 有且仅有一条直线与 l m 都平行 B 过点 P 有且仅有一条直线与 l m 都垂直 C 过点 P 有且仅有一条直线与 l m 都相交 D 过点 P 有且仅有一条直线与 l m 都异面 6 2014 三亚模拟 如图 正方形 ACDE 与等腰直角三角形 ACB 所在 的平面互相垂直 且 AC BC 2 ACB 90 F G 分别是线段 AE BC 的中点 则 AD 与 GF 所成的角的余弦值为 A B 3 6 3 6 C D 3 3 3 3 7 2013 沧州模拟 如图所示 在三棱柱 ABC A1B1C1中 AA1 底面 ABC AB BC AA1 ABC 90 点 E F 分别是棱 AB BB1的中点 则直线 EF 和 BC1所成的角是 A 45 B 60 C 90 D 120 8 2013 临沂模拟 过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A 作直线 l 使 l 与棱 AB AD AA1所成的角都相等 这样的直线 l 可以作 A 1 条 B 2 条 C 3 条 D 4 条 9 如图 平行六面体 ABCD A1B1C1D1中既与 AB 共面又与 CC1共面的棱有 条 10 如图是正四面体的平面展开图 G H M N 分别为 DE BE EF EC 的中点 在这个正四面体中 GH 与 EF 平行 BD 与 MN 为异面直线 GH 与 MN 成 60 角 DE 与 MN 垂直 以上四个命题中 正确命题的序号是 11 如图为正方体表面的一种展开图 则图中的四条线段 AB CD EF GH 在原正 方体中互为异面的对数为 对 第 11 题图 第 12 题图 12 如上图所示 正方体的棱长为 1 B C BC O 则 AO 与 A C 所成角的度 数为 第 组 重点选做题 1 A 是 BCD 所在平面外的一点 E F 分别是 BC AD 的中点 1 求证 直线 EF 与 BD 是异面直线 2 若 AC BD AC BD 求 EF 与 BD 所成的角 2 2013 许昌调研 如图 平面 ABEF 平面 ABCD 四边形 ABEF 与 四边形 ABCD 都是直角梯形 BAD FAB 90 BC 綊 AD BE 綊 1 2 FA G H 分别为 FA FD 的中点 1 2 1 求证 四边形 BCHG 是平行四边形 2 C D F E 四点是否共面 为什么 答 案 第 组 全员必做题 1 选 D a b b c a c 2 选 C 不论 l l 还是 l 与 相交 内都有直线 m 使得 m l 3 选 A 若两直线为异面直线 则两直线无公共点 反之不一定成立 4 选 C 若 c 与 a b 都不相交 则 c 与 a b 都平行 根据公理 4 则 a b 与 a b 异面 矛盾 5 选 B 对于 A 若正确 则 l m 这与已知矛盾 由此排除 A 对于 B 由于 l 和 m 有且只有一条公垂线 a 而过 P 有且只有一 条直线与直线 a 平行 故 B 正确 易知 C D 不正确 6 选 A 延长 CD 至 H 使 DH 1 连接 HG HF 则 HF AD HF DA 8 GF HG 610 cos HFG 8 6 10 2 6 8 3 6 7 选 B 连接 AB1 易知 AB1 EF 连接 B1C B1C 与 BC1交于点 G 取 AC 的中点 H 连接 GH 则 GH AB1 EF 设 AB BC AA1 a 连 接 HB 在三角形 GHB 中 易知 GH HB GB a 故所求的两直线 2 2 所成的角即为 HGB 60 8 选 D 如图 连接体对角线 AC1 显然 AC1与棱 AB AD AA1所 成的角都相等 所成角的正切值都为 联想正方体的其他体对角线 如 2 连接 BD1 则 BD1与棱 BC BA BB1所成的角都相等 BB1 AA1 BC AD 体对角线 BD1与棱 AB AD AA1所成的角都相等 同理 体对角线 A1C DB1也与棱 AB AD AA1所成的角都相等 过 A 点分别作 BD1 A1C DB1的平行线都满足题意 故这样 的直线 l 可以作 4 条 9 解析 依题意 与 AB 和 CC1都相交的棱有 BC 与 AB 相交且与 CC1平行有棱 AA1 BB1 与 AB 平行且与 CC1相交的棱有 CD C1D1 故符合条件的有 5 条 答案 5 10 解析 还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线 BD 与 MN 为异面直线 GH 与 MN 成 60 角 DE MN 答案 11 解析 平面图形的翻折应注意翻折前后相对位置的变化 则 AB CD EF 和 GH 在 原正方体中 显然 AB 与 CD EF 与 GH AB 与 GH 都是异面直线 而 AB 与 EF 相交 CD 与 GH 相交 CD 与 EF 平行 故互为异面的直线有且只有 3 对 答案 3 12 解析 A C AC AO 与 A C 所成的角就是 OAC OC OB AB 平面 BB CC OC AB 又 AB BO B OC 平面 ABO 又 OA 平面 ABO OC OA 在 Rt AOC 中 OC AC 2 22 sin OAC OC AC 1 2 OAC 30 即 AO 与 A C 所成角的度数为 30 答案 30 第 组 重点选做题 1 解 1 证明 假设 EF 与 BD 不是异面直线 则 EF 与 BD 共面 从而 DF 与 BE 共面 即 AD 与 BC 共面 所以 A B C D 在同一平面内 这与 A 是 BCD 所在平面外的一点相矛盾 故直线 EF 与 BD 是异面直 线 2 取 CD 的中点 G 连接 EG FG 则 EG BD 所以相交直线 EF 与 EG 所成的角 即为 异面直线 EF 与 BD 所成的角 在 Rt EGF 中 由 EG FG AC 求得 FEG 45 即异面直线 EF 与 BD 所成的角 1 2 为 45 2 解 1 证明 由题设知 FG GA FH HD 所以 GH 綊 AD 又 BC 綊 AD 1 2 1 2 故