2018年山东省枣庄市高考数学一模试卷(

第 1 页 共 23 页 2016 年山东省枣庄市高考数学一模试卷 理科 年山东省枣庄市高考数学一模试卷 理科 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 50 分 分 1 已知 i 为虚数单位 则 i2016 A 1B 1C iD i 2 已知全集 U 1 2 3 4 5 6 集合 A 2 4 5 B 1 3 5 则 UA B A 1 B 3 C 1 3 5 6 D 1 3 3 已知 A 与 B 是两个事件 P B P AB 则 P A B A B C D 4 函数 f x 的定义域为 A 1 B 1 C 1 D 5 已知实数 x y 满足 若 z 2x y 的最大值为 3 则实数 a 的值为 A 1B 2C 1D 6 设 D 为 ABC 所在平面内一点 若 R 则 A 2B 3C 2D 3 7 函数 f x 2cos 2x sin sin2 x 为常数 且 k Z 图象的一个 对称中心的坐标为 A 0 B 0 0 C 0 D 0 8 函数 y 的图象大致为 第 2 页 共 23 页 A B C D 9 执行如图所示的程序框图 那么输出的 S 的值为 A 1B 4C D 10 若函数 f x x a 0 没有零点 则 a 的取值范围是 A B 2 C D 0 1 2 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 25 分 分 11 若 x m tanx 1 为真命题 则实数 m 的最大值为 12 若函数 f x x 1 x a 的最小值为 1 则实数 a 的值为 13 从 2 名语文老师 2 名数学老师 4 名英语老师中选派 5 人组成一个支教小组 则语文 老师 数学老师 英语老师都至少有一人的选派方法种数为 用数字作答 14 圆锥被一个平面截去一部分 剩余部分再被另一个平面截去一部分后 与半球 半径 为 r 组成一个几何体 则该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 若 r 1 则该几 何体的体积为 第 3 页 共 23 页 15 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线 C1 1 的渐近线与椭圆 C2 1 a b 0 交于第一 二象限内的两点分别为 A B 若 OAB 的外接圆的圆心 为 0 a 则双曲线 C1的离心率为 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 75 分 分 16 如图 在 ABC 中 点 D 在边 BC 上 BD 2 BA 3 AD C 45 1 求 B 的大小 2 求 ABD 的面积及边 AC 的长 17 一次测试中 为了了解学生的学习情况 从中抽取了 n 个学生的成绩 满分为 100 分 进行统计 按照 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 的分组作出频率分 布直方图 并作出样本分数的茎叶图 图中仅列出了得分在 50 60 90 100 的数据 1 求样本容量 n 和频率分布直方图中 x y 的值 2 在选取的样本中 从成绩是 80 分以上 含 80 分 的同学中随机抽取 3 名参加志愿者 活动 设 X 表示所抽取的 3 名同学中得分在 80 90 内的学生个数 求 X 的数学期望及 方差 18 如图 在四棱锥 ABCD A1B1C1D1中 侧棱 AA1 平面 ABCD 底面 ABCD 为菱形 ABC 120 AB AA1 2 AC BD O E F 分别是线段 A1D BC1的中点 延长 D1A1 到点 G 使得 D1A1 AG 1 证明 GB 平面 DEF 2 求直线 GD 与平面 DEF 所成角的正弦值 19 数列 an 满足 a1 1 a2 anan 1 是公比为的等比数列 第 4 页 共 23 页 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 3a2n 2n 7 Sn是数列 bn 的前 n 项和 求 Sn以及 Sn的最小值 20 已知抛物线 C y2 2px p 0 的焦点 F 在直线 2x y 2 0 上 1 求抛物线 C 的方程 2 已知点 P 是抛物线 C 上异于坐标原点 O 的任意一点 抛物线在点 P 处的切线分别与 x 轴 y 轴交于点 B E 设 求证 为定值 3 在 2 的条件下 直线 PF 与抛物线 C 交于另一点 A 请问 PAB 的面积是否存 在最小值 若存在 请求出最小值及此时点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 21 已知函数 f x x 1 a x 1 2 lnx a R 1 当 a 0 时 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 g x f x x 1 有一个极小值点和一个极大值点 求 a 的取值范围 3 若存在 k 1 2 使得当 x 0 k 时 f x 的值域是 f k 求 a 的取 值范围 注 自然对数的底数 e 2 71828 第 5 页 共 23 页 2016 年山东省枣庄市高考数学一模试卷 理科 年山东省枣庄市高考数学一模试卷 理科 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一 选择题 共一 选择题 共 10 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 50 分 分 1 已知 i 为虚数单位 则 i2016 A 1B 1C iD i 考点 虚数单位 i 及其性质 分析 利用 i4 1 即可得出 解答 解 i4 1 i2016 i4 504 1 故选 A 2 已知全集 U 1 2 3 4 5 6 集合 A 2 4 5 B 1 3 5 则 UA B A 1 B 3 C 1 3 5 6 D 1 3 考点 交 并 补集的混合运算 分析 根据全集 U 求出 A 的补集 找出 A 补集与 B 的并集即可 解答 解 全集 U 1 2 3 4 5 6 集合 A 2 4 5 UA 1 3 6 B 1 3 5 则 UA B 1 3 5 6 故选 C 3 已知 A 与 B 是两个事件 P B P AB 则 P A B A B C D 考点 条件概率与独立事件 分析 由条件概率的计算公式 代入数据计算可得答案 解答 解 由条件概率的计算公式 可得 P B A 故选 D 4 函数 f x 的定义域为 A 1 B 1 C 1 D 考点 函数的定义域及其求法 第 6 页 共 23 页 分析 根据函数成立的条件 即可求函数的定义域 解答 解 要使函数 f x 有意义 则 即 0 2x 1 1 即 1 2x 2 解得 x 1 故函数的定义域是 1 故选 C 5 已知实数 x y 满足 若 z 2x y 的最大值为 3 则实数 a 的值为 A 1B 2C 1D 考点 简单线性规划 分析 作出不等式组对应的平面区域 根据 z 的几何意义 利用数形结合即可得到 a 的 值 解答 解 不等式组对应的平面区域如图 由 z 2x y 得 y 2x z 平移直线 y 2x z 则由图象可知当直线 y 2x z 经过点 A 时直线 y 2x z 的截距最大 此时 z 最大 为 2x y 16 由 解得 即 A 2 1 此时点 A 在 x y a 即 2 1 a 解得 a 1 故选 A 第 7 页 共 23 页 6 设 D 为 ABC 所在平面内一点 若 R 则 A 2B 3C 2D 3 考点 平行向量与共线向量 分析 D 为 ABC 所在平面内一点 可得 B C D 三点共线 若 R 可得 化简与 比较 即可得出 解答 解 D 为 ABC 所在平面内一点 B C D 三点共线 若 R 化为 与 比较 可得 解得 3 则 3 故选 D 7 函数 f x 2cos 2x sin sin2 x 为常数 且 k Z 图象的一个 对称中心的坐标为 A 0 B 0 0 C 0 D 0 考点 三角函数中的恒等变换应用 分析 由三角函数公式化简可得 f x 2sin2x 由奇函数的对称性结合选项可得 解答 解 由三角函数公式化简可得 第 8 页 共 23 页 f x 2cos 2x sin sin2 x 2cos 2x sin sin 2x 2cos 2x sin sin 2x cos cos 2x sin cos 2x sin sin 2x cos sin 2x 2sin2x 满足 f x f x 即函数为奇函数 图象关于原点对称 故选 B 8 函数 y 的图象大致为 A B C D 考点 函数的图象 分析 先判断函数的奇偶性 再判断函数值的变化趋势 即可判断 解答 解 f x f x y 为奇函数 图象关于原点对称 当 x 时 y 0 当 0 x 时 y 0 故选 A 9 执行如图所示的程序框图 那么输出的 S 的值为 第 9 页 共 23 页 A 1B 4C D 考点 程序框图 分析 根据所给数值判定是否满足判断框中的条件 然后执行循环语句 一旦不满足条 件就退出循环 从而到结论 解答 解 由题意 模拟执行程序 可得 S 1 k 1 满足条件 k 2016 S 4 k 2 满足条件 k 2016 S k 3 满足条件 k 2016 S k 4 满足条件 k 2016 S 1 k 5 观察规律可知 S 的取值周期为 4 由 2016 504 4 可知 满足条件 k 2016 S k 2015 满足条件 k 2016 S k 2016 不满足条件 k 2016 退出循环 输出 S 的值为 故选 D 10 若函数 f x x a 0 没有零点 则 a 的取值范围是 A B 2 C D 0 1 2 考点 函数的零点与方程根的关系 分析 根据函数 f x 没有零点 等价为函数 y 与 y x 的图象没有交点 在同一坐标系中画出它们的图象 即可求出 a 的取值范围 解答 解 令 x 0 得 x 第 10 页 共 23 页 令 y 则 x2 y2 a 表示半径为 圆心在原点的圆的上半部分 y x 表示以 0 端点的折线 在同一坐标系中画出它们的图象 如图 根据图象知 由于两曲线没有公共点 故圆到折线的距离小于 1 或者圆心到折线的距离 大于半径 a 的取值范围为 0 1 2 故选 D 二 填空题 共二 填空题 共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 满分分 满分 25 分 分 11 若 x m tanx 1 为真命题 则实数 m 的最大值为 0 考点 全称命题 分析 求出正切函数的最大值 即可得到 m 的范围 解答 解 x m tanx 1 为真命题 可得 1 tanx 1 0 tanx 1 2 实数 m 的最大值为 0 故答案为 0 12 若函数 f x x 1 x a 的最小值为 1 则实数 a 的值为 0 或 2 考点 函数的最值及其几何意义 分析 函数 f x x 1 x a 的几何意义是点 x 与点 1 的距离及点 x 与点 a 的距离之 和 从而解得 解答 解 函数 f x x 1 x a 的几何意义是 点 x 与点 1 的距离及点 x 与点 a 的距离之和 故函数 f x x 1 x a 的最小值为 1 a 1 故 a 0 或 2 故答案为 0 或 2 第 11 页 共 23 页 13 从 2 名语文老师 2 名数学老师 4 名英语老师中选派 5 人组成一个支教小组 则语文 老师 数学老师 英语老师都至少有一人的选派方法种数为 44 用数字作答 考点 排列 组合的实际应用 分析 根据题意 按 4 种情况讨论 分别求出每种情况下的选派方法数目 最后由分步 计数原理计算可得答案 解答 解 根据题意 按 4 种情况讨论 2 名语文老师 2 名数学老师 1 名英语老师 有 C41 4 种 1 名语文老师 2 名数学老师 2 名英语老师 有 C21C42 12 种 2 名语文老师 1 名数学老师 2 名英语老师 有 C21C42 12 种 1 名语文老师 1 名数学老师 3 名英语老师 有 C21C21C43 16 种 则一共有 4 12 12 16 44 种选派方法 故答案为 44 14 圆锥被一个平面截去一部分 剩余部分再被另一个平面截去一部分后 与半球 半径 为 r 组成一个几何体 则该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示 若 r 1 则该几 何体的体积为 考点 由三视图求面积 体积 分析 由三视图知该几何体是一个组合体 上面是半球 下面是圆锥 由三视图求出 几何元素的长度 由球体 锥体体积公式求出几何体的体积 解答 解 由三视图知几何体是一个组合体 上面是半球 下面是圆锥 且球的半径是 1 圆锥的底面半径是 1 高为 2 几何体的体积 V 故答案为 15 在平面直角坐标系 xOy 中 双曲线 C1 1 的渐近线与椭圆 C2 1 a b 0 交于第一 二象限内的两点分别为 A B 若 OAB 的外接圆的圆心 为 0 a 则双曲线 C1的离心率为 第 12 页 共 23 页 考点 椭圆的简单性质 分析 由双曲线 C1 1 可得渐近线为 y x 与椭圆方程联立解得 A 利 用两点之间的距离公式可得 a 解得 利用双曲线 C1 的离心率 即可得出 解答 解 由双曲线 C1 1 可得渐近线为 y x 联立 解得 A 则 a 化为 b2 4ab a2 0 解得 2 双曲线 C1的离心率 故答案为 三 解答题 共三 解答题 共 6 小题 满分小题 满分 75 分 分 16 如图 在 ABC 中 点 D 在边 BC 上 BD 2 BA 3 AD C 45 1 求 B 的大小 2 求 ABD 的面积及边 AC 的长 考点 余弦定理的应用 分析 1 直接利用余弦定理化简求解即可 2 利用三角形的面积以及正弦定理求解即可 解答 解 1 在 ABD 中 由余弦定理 得 第 13 页 共 23 页 又 0 B 180 所以 B 60 2 在 ABC 中 由正弦定理 得 即 解得 17 一次测试中 为了了解学生的学习情况 从中抽取了 n 个学生的成绩 满分为 100 分 进行统计 按照 50 60 60 70 70 80 80 90 90 100 的分组作出频率分 布直方图 并作出样本分数的茎叶图 图中仅列出了得分在 50 60 90 100 的数据 1 求样本容量 n 和频率分布直方图中 x y 的值 2 在选取的样本中 从成绩是 80 分以上 含 80 分 的同学中随机抽取 3 名参加志愿者 活动 设 X 表示所抽取的 3 名同学中得分在 80 90 内的学生个数 求 X 的数学期望及 方差 考点 离散型随机变量的期望与方差 离散型随机变量及其分布列 分析 1 利用频率分布直方图 结合频率 能求出样本容量 n 和频率分布直方 图中 x y 的值 2 由题意 分数在 80 90 内的有 4 人 分数在 90 100 内的有 2 人 成绩是 80 分 以上 含 80 分 的学生共 6 人 从而抽取的 3 名同学中得分在 80 90 的学生人数 X 的 所有可能的取值为 1 2 3 分别求出相应的概率 由此能求出 X 的数学期望及方差 解答 解 1 由题意可知 样本容量 第 14 页 共 23 页 1 注 1 中的每一列式与计算结果均为 2 由题意 分数在 80 90 内的有 4 人 分数在 90 100 内的有 2 人 成绩是 80 分以上 含 80 分 的学生共 6 人 从而抽取的 3 名同学中得分在 80 90 的学生人数 X 的所有可能的取值为 1 2 3 所以 18 如图 在四棱锥 ABCD A1B1C1D1中 侧棱 AA1 平面 ABCD 底面 ABCD 为菱形 ABC 120 AB AA1 2 AC BD O E F 分别是线段 A1D BC1的中点 延长 D1A1 到点 G 使得 D1A1 AG 1 证明 GB 平面 DEF 2 求直线 GD 与平面 DEF 所成角的正弦值 考点 直线与平面所成的角 直线与平面平行的判定 分析 1 设 AC BD 交点为 O 以 O 为原点建立空间直角坐标系 根据各数量关系求 出和平面 DEF 的法向量 的坐标 只需证明即可得出 GB 平面 DEF 2 求出 计算 cos 于是直线 GD 与平面 DEF 所成角的正弦值等于 cos 解答 证明 1 以 O 为坐标原点 分别以为 x 轴 y 轴的正方向 建立空间 直角坐标 O xyz 在菱形 ABCD 中 AB AD BC 2 ABC 120 第 15 页 共 23 页 BD 2 O 为 AC 和 BD 的中点 又 AA1 平面 ABCD AA1 2 B 1 0 0 D 1 0 0 D1 1 0 2 E F 分别是线段 A1D BC1的中点 于是 设平面 DEF 的一个法向量 x y z 则 令 y 1 得 1 0 又 GB 平面 DEF GB 平面 DEF 2 2 2 cos 直线 GD 与平面 BEF 所成的角的正弦值为 cos 第 16 页 共 23 页 19 数列 an 满足 a1 1 a2 anan 1 是公比为的等比数列 1 求数列 an 的通项公式 2 设 bn 3a2n 2n 7 Sn是数列 bn 的前 n 项和 求 Sn以及 Sn的最小值 考点 数列递推式 数列与函数的综合 分析 1 可求得 从而可得隔项成等比数列 从而分别求通项公式 2 化简 从而利用拆项求和法求 Sn 讨论其单调性从而求最小值 解答 解 1 anan 1 是公比为的等比数列 即 a1 a3 a5 a7 a2k 1 是公比为的等比数列 a2 a4 a6 a8 a2k 是公比为的等比数列 当 n 为奇数时 设 n 2k 1 k N 当 n 为偶数时 设 n 2k k N 综上 2 第 17 页 共 23 页 Sn b1 b2 b3 bn 即 当 n 3 时 n 3 2 6 和都是关于 n 的增函数 当 n 3 时 Sn是关于 n 的增函数 即 S3 S4 S5 S1 S2 S3 20 已知抛物线 C y2 2px p 0 的焦点 F 在直线 2x y 2 0 上 1 求抛物线 C 的方程 2 已知点 P 是抛物线 C 上异于坐标原点 O 的任意一点 抛物线在点 P 处的切线分别与 x 轴 y 轴交于点 B E 设 求证 为定值 3 在 2 的条件下 直线 PF 与抛物线 C 交于另一点 A 请问 PAB 的面积是否存 在最小值 若存在 请求出最小值及此时点 P 的坐标 若不存在 请说明理由 考点 直线与圆锥曲线的综合问题 抛物线的标准方程 分析 1 抛物线 C 的焦点在 x 轴上 求出 p 2 由此能求出抛物线 C 的方 程 第 18 页 共 23 页 2 由点 P 是 C 上异于坐标原点 O 的任意一点 设 设切线 BP 的方 程为 由 得 ky2 4y kt2 4t 0 由此利用根的判别 式 切线方程 结合已知条件能证明 为定值 3 设直线 FP 的方程为 x my 1 由 得 由此利用韦达定 理 弦长公式得到 S PAB 令 则 f t 为偶函数 只需研究函数 f t 在 t 0 时 的最小值即可 利用导数性质能求出结果 解答 解 1 由题意 抛物线 C 的焦点在 x 轴上 在方程 2x y 2 0 中 令 y 0 得 x 1 于是 解得 p 2 所以 抛物线 C 的方程为 y2 4x 证明 2 由点 P 是 C 上异于坐标原点 O 的任意一点 设 设切线 BP 的斜率为 k 则切线 BP 的方程为 由 消去 x 并整理得 ky2 4y kt2 4t 0 由 k 0 考虑到判别式 16 4k kt2 4t 0 可得 4 kt 2 2 0 所以 kt 2 0 故切线 BP 的斜率 切线 BP 的方程为 即 在中 令 x 0 得 所以点 E 的坐标为 在中 令 y 0 得 所以点 B 的坐标为 第 19 页 共 23 页 所以 所以 故 为定值 解 3 由直线 FP 过点 F 1 0 设直线 FP 的方程为 x my 1 由 消去 x 得 由韦达定理 得 yAyP 4 所以 于是 令 则 f t 为偶函数 只需研究函数 f t 在 t 0 时的最小值即可 当 t 0 时 当时 f t 0 f t 为减函数 当时 f t 0 f t 为增函数 所以 当 t 0 时 函数 f t 在时取最小值 因为 f t 为偶函数 当 t 0 时 函数 f t 在时取最小 值 当时 点 P 的坐标为 当时 点 P 的坐标为 综上 PAB 的面积存在最小值 此时点 P 的坐标为或 第 20 页 共 23 页 21 已知函数 f x x 1 a x 1 2 lnx a R 1 当 a 0 时 求函数 f x 的单调区间 2 若函数 g x f x x 1 有一个极小值点和一个极大值点 求 a 的取值范围 3 若存在 k 1 2 使得当 x 0 k 时 f x 的值域是 f k 求 a 的取 值范围 注 自然对数的底数 e 2 71828 考点 利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数的极值 分析 1 求出函数的导数 解关于导函数的不等式 求出函数的单调区间即可 2 求出 g x 的导数 得到关于 a 的不等式组 解出验算即可 3 求出 f x 的导数 通过讨论 a 的范围确定函数的单调区间 得到关于 a 的不等式 解出即可 解答 解 1