第五节--二次型及其标准形.ppt

问题的提出 主要内容 二次型的概念 主要结论 第五节二次型及其标准形 合同矩阵 举例 在解析几何中 为了便于研究二次曲线 把方程化为标准形 的几何性质 我们可以选择适当的坐标旋转变换 ax2 bxy cy2 1 1 一 问题的提出 变量的二次齐次多项式的化简问题 1 式的左边是一个二次多项式 从代数学的 观点看 化标准形的过程就是通过变量的线性变 换化简一个二次齐次多项式 使它只含有平方项 这样一个问题 在许多理论问题或实际问题中常 会遇到 现在我们把这类问题一般化 讨论n个 于是 2 式可写成 二 二次型的概念 定义8称n个变量的二次齐次式 f x1 x2 xn a11x12 a22x22 annxn2 2a12x1x2 2a13x1x3 2an 1 nxn 1xn 2 为二次型 取aij aji 则 2aijxixj aijxixj ajixjxi f x1 x2 xn a11x12 a12x1x2 a1nx1xn a21x2x1 a22x22 a2nx2xn an1xnx1 an2xnx2 annxn2 若记A aij n n x x1 x2 xn T 则 关系 2 式所表示的二次型可以表示成 其中AT A为实对称矩阵 称A为二次型的矩 阵 称矩阵A的秩R A 为二次型的秩 这样 实二次型与实对称矩阵之间就建立起一一对应的 例22已知二次型 写出二次型的矩阵A 并求出二次型的秩 显然 解设f xTAx 则 例23已知二次型 写出二次型的矩阵A 并求出二次型的秩 单击这里求秩 解设f xTAx 则 的标准形中所含的项数即为该二次型的秩 定义如果一个二次型只含变量的平方项 则称这个二次型为标准形 或法式 对于二次型 我们讨论的主要问题是 寻求 可逆的线性变换x Cy 把二次型化为标准形 二次型的秩的意义是 一个二次型 如果标准形的系数只在1 1 0三个数中 取值 则称之为规范形 三 合同矩阵 1 定义 定义9设A和B是n阶方阵 若有可逆 矩阵C 使B CTAC 则称矩阵A与B合同 2 性质 定理任给可逆矩阵C 令B CTAC 如果A为对称矩阵 则B亦为对称矩阵 且 R B R A 此定理说明经可逆变换x Cy后 二次型的 矩阵由A变为与A合同的矩阵CTAC 且二次型 的秩不变 就是要使 要使二次型经可逆变换x Cy变成标准形 使CTAC为对角矩阵 也就是要使CTAC成为对角矩阵 因此 我们的主 要问题就是 对于对称矩阵A 寻求可逆矩阵C 由上节 结论应用于二次型 即有 有正交矩阵P 使P 1AP 即PTAP 把此 知 任给实对称矩阵A 总 四 主要结论 定理8任给二次型 总有正交变换x Py 使f化为标准形 其中 1 2 n是f的矩阵A aij 的特征值 f 1y12 2y22 nyn2 推论任给n元二次型f xTAx AT A 总有可逆变换x Cz 使f Cz 为规范形 例22用正交变换化下列二次型为标准形 并求出所作的非退化线性变换 即可逆变换 五 举例 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内容已结束 若想结束本堂课 请单击返回按钮 本节内