南京市2016届高三年级第三次模拟考试数学及全部答案

高三数学试卷 第 1 页 共 15 页 南京市 2016 届高三 年级第 三 次模拟考试 数 学 意事项 ： 1 本试卷共 4 页，包括填空题（第 1 题 第 14 题）、解答题（第 15 题 第 20 题）两部分本试卷满分 为 160 分 ， 考试 时 间为 120 分钟 2答题前， 请 务必将自己的 姓名、学校、 班级、 学号 写在答题 纸的密封线内试题的答案写在答题纸 上对应题目的答案空格内 考试结束后，交回答题 纸 参考公式 样本数据 ， 方差 1n i 1n ( x )2，其中 x 1n i 1n 一、填空题 （ 本大题共 14 小题 ， 每小题 5 分 ， 计 70 分 . 不需写出解答过程 ， 请把答案写在答题纸的指定位置上 ） 1已知全集 U 1， 2， 3， a， 集 合 M 1， 3若 2， 5，则实数 a 的值为 _ 2 设复数 z 满足 z(1 i) 2 4i，其中 i 为虚数单位 ， 则 复数 z 的共轭复数为 3 甲 、 乙两 位选手 参加射击选拔赛，其中连续 5 轮比赛的成绩（单位：环）如下 表 ： 选手 第 1 轮 第 2 轮 第 3 轮 第 4 轮 第 5 轮 甲 0 甲 、 乙两位选手中成绩最稳定 的 选手的方差是 _ 4 从 2 个白球， 2 个红球， 1 个黄球这 5 个球中随机取出两个球，则 取出的 两球 中恰有一个红 球的概率是 _ 5执行 如图 所示 的 伪代码， 输出的结果 是 6已知 ， 是两个不同的平面， l， m 是两条不同直线， l ， m 给出下列命题： l m； l m； m l ； l m 其中正确的命题是 _ (填 写 所有正确命题的 序号 ) 7 设数列 前 n 项和 为 满足 22， 则 S 1 I 2 S 100 I I 2 S S I I （第 5 题图） 高三数学试卷 第 2 页 共 15 页 8 设 F 是双曲线的一个焦点，点 P 在 双曲线 上， 且 线段 中点恰为 双曲线 虚轴的一个端点，则 双曲线 的离心率为 _ 9 如图， 已知 A， B 分别是函数 f(x) 3 0)在 y 轴右 侧 图 象 上的第一个最高点和 第一个 最低点，且 2，则该函数 的周期是 _ 10已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数， 当 x 0 时， f(x) 2x 2，则不等式 f(x 1) 2 的解集是_ 11 如图，在梯形 ， 4， 3， 2， 2 若 3， 则 _ 12 在平面直角坐标系 ， 圆 M： (x a)2 (y a 3)2 1(a 0)， 点 N 为圆 M 上任意一点 若以 N 为圆心 ， 半径的圆 与圆 M 至多有一个公共点 ， 则 a 的最小值为 _ 13 设 函数 f(x)x 1 x a， x 1， x a，g(x) f(x) b 若存在实数 b，使得函数 g(x)恰 有 3 个零点，则实数 a 的取值范围为 _ 14 若实数 x， y 满足 21，则 x 222_ 二、解答题 （ 本大题共 6 小题，计 90 分 证明过程或演算步骤 ， 请把答案写在答题纸的指定区域内 ） 15 (本小题满分 14 分 ) 在 ， 已知 a， b， c 分别为 角 A， B， C 的对边 若 向量 m (a， 向量 n (c)，且 m n 3 （ 1）求 值； （ 2）若 a， b， c 成等比数列，求 11 O y x A B （第 9 题图） A B C D M （第 11 题图） 高三数学试卷 第 3 页 共 15 页 16 (本小题满分 14 分 ) 如图 ， 在直 三棱柱 ， D 为 棱 一 点 （ 1） 若 D 为 棱 中点， 求证：平面 面 （ 2）若 面 17 (本小题满分 14 分 ) 如图， 在平面直角坐标系 ， 已知椭圆 C： 1(a b 0)的离心率为22 ， 点 (2， 1)在椭圆 C 上 （ 1）求椭圆 C 的方程； （ 2） 设 直线 l 与圆 O： 2 相切 ， 与椭圆 C 相 交于 P， Q 两点 若 直 线 l 过椭圆 C 的右焦点 F，求 面积； 求证： （第 16 题图） A B C D 1 x y F P Q （ 第 17 题图 ） 高三数学试卷 第 4 页 共 15 页 18 (本小题满分 16 分 ) 如图，某 森林 公园 有一 直角梯形 区域 其 四条边均为道路， 90，5 千米， 8 千米， 3 千米 现甲、乙两 管理 员同时从 A 地出发匀速前往 D 地 ，甲的路线是 度为 6 千米 /小时，乙的路线是 度为 v 千米 /小时 （ 1）若 甲、乙 两 管理 员 到达 D 的时间相差不超过 15 分钟，求 乙的速度 v 的 取值 范围； （ 2） 已知 对讲机 有效通话 的最大 距离是 5 千米 若 乙 先到达 D， 且 乙 从 A 到 D 的过程中 始终 能 用 对讲机 与甲 保持 有效通话，求 乙的速度 v 的 取值 范围 19 (本小题满分 16 分 ) 设函数 f(x) m(m 0) （ 1）当 m 1 时，求函数 f(x)的单调 减 区间； （ 2） 设 g(x) |f(x)|， 求函数 g(x)在区间 0， m上 的最大值； （ 3）若 存在 t 0，使得 函数 f(x)图 象 上有且仅有两个不同的点， 且 函数 f(x)的 图象 在这两点 处 的两条切线都经过点 (2， t)，试求 m 的取值范围 20 (本小题满分 16 分 ) 已知数列 前 n 项的和为 n （ 1）若 首项 为 a，公差为 d 的等差数列 ，其中 a， d 均为正数 当 32等差数列时，求 求证：存在唯一的正整数 n，使得 （ 2）设数列 公比为 q(q 2)的等比数列，若存在 r， t(r， t N*， r t)使得 t 2r 2，求 q 的值 （第 18 题图） C B A D 高三数学试卷 第 5 页 共 15 页 南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数学参考答案及评分标准 说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 一、填空题（本大题共 14 小题，每小题 5 分，计 70 分 . 不需写出解答过程，请把答案写在答题纸的指定位置上） 1 5 2 3 i 3 4 35 5 8 6 7 4 8 5 9 4 10 1， 3 11 32 12 3 13 ( 1 12) 14 24 二、解答题（ 本大题共 6 小题，计 90 分 明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内） 15 (本小题满分 14 分 ) 解：（ 1）因为 m n 3以 3 由正弦定理，得 33分 所以 C) 3以 3 因为 B 是 内角，所以 0，所以 13 7分 （ 2）因为 a， b， c 成等比数列，所以 由 正 弦 定 理 ， 得 9 分 因为 13， B 是 内角，所以 223 1 1高三数学试卷 第 6 页 共 15 页 分 又 11 C) 13 24 1 4 分 16 (本小题满分 14 分 ) 证明 ： （ 1）因为 D 为 点，所以 2分 因为 直三棱柱， 所以 面 因为 面 以 4分 因为 B， 面 面 所以 面 因为 面 以平面 面 6分 (2)连结 O， 连结 以 O 为 点 8分 因为 面 面 面 平面 所以 12 分 因为 O 为 点，所以 D 为 点 ， 所以 1 1 4 分 17 (本小题满分 14 分 ) 解：（ 1）由题意，得 2 ，41， 解得 6， 3 所以椭圆的方程为 1 2 分 （ 2） 解法一 椭圆 C 的右焦点 F( 3， 0) 设切线方程为 y k(x 3)，即 y 3k 0， 高三数学试卷 第 7 页 共 15 页 所以 | 3k |1 2，解得 k 2，所以切线方程为 y 2(x 3) 4分 由方程组y 2(x 3)，1，解得x4 3 3 25 ，y 6 65 ，或x4 3 3 25 ，y 6 65 所以点 P， Q 的坐标分别为 (4 3 3 25 ， 6 65 )， (4 3 3 25 ， 6 65 )， 所以 6 65 6分 因为 O 到直线 距离为 2，所以 面积为 6 35 因为椭圆的对称性，当 切线方程为 y 2(x 3)时， 面积也为 6 35 综上所述， 面 积为 6 35 8分 解法二 椭圆 C 的右焦点 F( 3， 0) 设切线方程为 y k(x 3)，即 y 3k 0， 所以 | 3k |1 2，解得 k 2，所以切线方程为 y 2(x 3) 4分 把切线方程 y 2(x 3)代入椭圆 C 的方程，消去 y 得 58 3x 6 0 设 P(， Q(则有 835 由椭圆定义可得， 2a e( 2 622 8 35 6 65 6分 因为 O 到直线 距离为 2，所以 面积为 6 35 因为椭圆的对称性，当 切线方程为 y 2(x 3)时， 所以 面积为 6 35 综上所述， 面积为 6 35 8分 解法一： (i)若直线 斜率不存在，则直线 方程为 x 2或 x 2 高三数学试卷 第 8 页 共 15 页 当 x 2时， P ( 2， 2)， Q( 2， 2) 因为 0，所以 当 x 2时，同理可得 1 0分 (若直线 斜率存在，设直线 方程为 y m，即 y m 0 因为直线与圆相切，所以 |m| 1 2，即 22 将直线 程代入椭圆方程，得 (1 2426 0. 设 P(， Q( 则有 4 2261 212分 因为 (m)(m) (1 k2)km( (1 261 2(42 将 22 代入上式可得 0，所以 综上所 述， 14分 解法二： 设切点 T(则其切线方程为 2 0，且 x y 2 (i)当 0 时，则直线 直线方程为 x 2或 x 2 当 x 2时， P ( 2， 2)， Q( 2， 2) 因为 0，所以 当 x 2时，同理可得 1 0分 (当 0 时， 由方程组2 0，1，消去 y 得 (2x y)88 6y 0 设 P(， Q(则有 12 分 所以 (2 2 因为 x y 2， 代入上式可得 0，所以 综上所述， 14 分 18 (本小题满分 16 分 ) 高三数学试卷 第 9 页 共 15 页 解： (1)由题意，可得 12 千米 由题可知 |126 16v | 14， 2 分 解得 649 v 647 4 分 (2) 解法一：经过 t 小时 ， 甲、乙之间的距离的平方为 f(t) 由于先乙到达 D 地 ， 故 16v 2， 即 v 8 6分 当 0 5， 即 0 t 5 f(t) (6t)2 ( 2 6t (485 v 36) 因为 485 v 36 0， 所以当 t 5 f(t)取最大值 ， 所以 (485 v 36) (5v)2 25， 解得 v 154 9 分 当 5 13， 即 5v t 13v 时 ， f(t) (1 6t)2 9 (v 6) 2 (t 1v 6)2 9 因为 v 8， 所以 1v 6 5v， (v 6) 2 0， 所以当 t 13v 时 ， f(t)取最大值 ， 所以 (v 6) 2 (13v 1v 6)2 9 25， 解得 398 v 394 1 3 分 当 13 16， 13v t 16v 时 ， f(t) (12 6t)2 (16 ， 因为 12 6t 0， 16 0， 所以当 f(t)在 (13v ， 16v )递减，所以 当 t 13v 时 ， f(t)取最大值 ， (12 6 13v )2 (16 v 13v )2 25， 解得 398 v 394 因为 v 8， 所以 8 v 394 16 分 解法二：设经过 t 小时，甲、乙之间的距离的平方为 f(t) 由于先乙到达 D 地，故 16v 2，即 v 8 6 分 以 A 点为原点 ， x 轴建立直角坐标系 ， 当 0 5 时， f(t) (456t)2 (35 由于 (456t)2 (35 25，所以 (45v 6)2 (35v)2 25任意 0 t 5 所以 (45v 6)2 (35v)2 解得 v 154 9 分 高三数学试卷 第 10 页 共 15 页 当 5 13 时 ， f(t) (1 6t)2 32 由于 (1 6t)2 32 25，所以 4 1 6t 4 对任意 5v t 13v 都成立 ， 即v 6 5t， 3t v 6，对任意 5v t 13v 都成立 ， 所以v 6 5 3v 6，解得 398 v 394 1 3 分 当 13 16 即 13v t 16v ， 此时 f (t) (12 6t)2 (16 由 及 知 ： 8 v 394 ， 于是 0 12 6t 12 78v 12 78394 4， 又因为 0 16 3， 所以 f (t) (12 6t)2 (16 42 32 25 恒成立 综上 可知 8 v 394 1 6 分 19 (本小题满分 16 分 ) 解：（ 1）当 m 1 时， f(x) 1 f (x) 32x x(3x 2) 由 f (x) 0，解得 x 0 或 x 23 所以函数 f(x)的 减区间是 ( ， 0)和 (23， ) 2 分 （ 2） 依题意 m 0 因为 f(x) m， 所以 f (x) 32 x(3x 2m) 由 f (x) 0，得 x 2 x 0 当 0 x 2， f (x) 0，所以 f(x)在 (0， 2上为增函数； 当 2 x m 时 ， f (x) 0，所以 f(x)在 (2 m)上为减函数； 所以， f(x)极大值 f(2 427m 4 分 当 427m m，即 m 362 ， 27m 6 分 当 427m m，即 0 m 362 时， m 综上， 427m m 3 62 ，m 0 m 362 8 分 高三数学试卷 第 11 页 共 15 页 （ 3）设两切点的横坐标分别是 函数 f(x)在这两点的切线的方程分别为 y ( m) ( 32x y ( m) ( 32x 10 分 将 (2， t)代入两条切线方程，得 t ( m) ( 322 t ( m) ( 322 因为函数 f(x)图象上有且仅有两个不同的切点， 所以方程 t ( m) ( 322 x)有且仅有不相等的两个实根 12 分 整理得 t 2(6 m)4m 设 h(x) 2(6 m)4m， h (x) 62(6 m)x 4m 2(3x m)(x 2) 当 m 6 时， h (x) 6(x 2)2 0，所 以 h(x)单调递增，显然不成立 当 m 6 时， h (x) 0，解得 x 2 或 x 列表可判断单调性，可得当 x 2 或 x h(x)取得极值分别为 h(2) 3m 8，或 h( 12723m 要使得关于 x 的方程 t 2(6 m)4m 有且仅有两个不相等的实根， 则 t 3m 8， 或 t 12723m 1 4 分 因为 t 0， 所以 3m 8 0，（ *），或 12723m 0（ *） 解 （ *） ，得 m 83，解 （ *） ，得 m 9 3 6或 m 9 3 6 因为 m 0，所以 m 的范围为 (0， 83 9 3 6， ) 16 分 20 (本小题满分 16 分 ) 解：（ 1） 因为 32等差数列， 所以 43 43a 3 3(2a d) 4a 6 解得， 34 4 分 由 1 2， 得 a n 1)a (n 1) a (n 1)d， 高三数学试卷 第 12 页 共 15 页 整理得n 2 0，n 2 0，6 分 解得 1 1 8 n1 1 8 8 分 由于1 1 8 1 1 8 1 且 1 1 8 0 因此存在唯一的正整数 n，使得 1 2 1 0 分 （ 2）因为 1)t(1 q) 1)r(1 q) t 2r 2，所以 1 1t(t 2)1 1r(r 2) 设 f(n) 1 1n(n 2)， n 2， n N* 则 f(n 1) f(n) 2 1(n 1)(n 3)1 1n(n 2)1(q 1)2(q 2)n 3 2n 3n(n 1)(n 2)(n 3) ， 因为 q 2， n 2，所以 (q 1)2(q 2)n 3 3 1 0， 所以 f(n 1) f(n) 0，即 f(n 1) f(n)，即 f(n)单调递增 1 2 分 所以当 r 2 时， t r 2， 则 f(t) f(r)，即 1 1t(t 2)1 1r(r 2)，这与1 1t(t 2)1 1r(r 2)互相矛盾 所以 r 1，即 1 1t(t 2)13 1 4 分 若 t 3，则 f(t) f(3) 115 13 15 13 ， 即1 1t(t 2)13 ， 与 1 1t(t 2)13 相矛盾 于是 t 2，所以 18 13 ，即 35q 5 0 又 q 2，所以 q 5856 16 分 高三数学试卷 第 13 页 共 15 页 南京市 2016 届高三年级第三次模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 说明： 1本解答给出的解法供参考如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则 2对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分 3解答右端所注分 数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数 4只给整数分数，填空题不给中间分数 21【选做题】在 A、 B、 C、 D 四小题中只能选做 2 题，每小题 10 分，共计 20 分 请在 答卷卡指 定区域内 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修 4 1： 几何证明选讲 证明 ： (1)连接 因为 半圆 O 的切线 ， 所以 因为 圆 O 的直径 ， 所以 又因为 所以 所以 所以 平分线 5 分 (2)因为 H 是 点 ， 半圆 O 的半径为 2， 所以 3， 1 又因为 所以 C 3， 所以 3 在 ， 3， 1，所以 30 由 (1)可得 2 60， 所以 2 3 由 半圆 O 的切线 ， 所以 B， 所以 (2 3)2 12， 所以 2 10 分 B 选修 4 2：矩阵与变换 解：设曲线 C 上的任意一点 P(x， y)， P 在矩阵 A 1 2 1 0 对应的变换下得到点 Q(x， y) 则 1 2 1 0 xy ， 即 x 2y x， x y， 所以 x y， y x y2 5 分 高三数学试卷 第 14 页 共 15 页 代入 221，得 y2 2yx y2 2(x y2 )2 1， 即 x2 y2 2， 所以 曲线 方程为 2 10分 C 选修 4 4：坐标系与参数方程 解： M 的极坐标为 (1， 2)，故直角坐标为 M(0， 1)，且 P(2 所以 (2 (1)2 325， 1， 1 5 分 当 13时， 433 ， 此时 2 23 所以， 最大值是 433 ，此时点 P 的坐标是 (4 23 ， 13) 1 0 分 D选修 4 5：不等式选讲 解：函数定义域为 0， 4，且 f(x) 0 由柯西不等式得 52 ( 2)2( x)2 ( 4 x)2) (5 x 2 4 x)2， 5 分 即 27 4 (5 x 2 4 x)2， 所以 5 x 8 2x 6 3 当且仅当 2 x 5 4 x，即 x 10027 时，取等号 所以，函数 f(x) 5 x 8 2 3 10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题，每题 10 分，共计 20 分 22（本小题满分 1