高三数学复习：推理与证明

1 高三数学复习 高三数学复习 推理与证明推理与证明 第一节第一节 合情推理与演绎推理合情推理与演绎推理 一 选择题 1 在古希腊毕达哥拉斯学派把 1 3 6 10 15 21 28 这些数叫做三角形数 因为这些数对 应 的点可以排成一个正三角形 如下图所示 则第 n 个三角 形 数为 A n B n n 1 1 2 C n2 1 D n n 1 1 2 2 凸 n 边形有 f n 条对角线 则凸 n 1 边形有 f n 1 条对角线数为 A f n n 1 B f n n C f n n 1 D f n n 2 3 设 f0 x cos x f1 x f0 x f2 x f1 x fn 1 x fn x n N 则 f2011 x A sin x B cos x C sin x D cos x 4 给出下面类比推理命题 其中 R 为实数集 C 为复数集 若 a b R 则 a b 0 a b 类比推出 若 a b C 则 a b 0 a b 若 a b c d R 则复数 a bi c di a c b d 类比推出 若 a b c d C 则复数 a bi c di a c b d 若 a b R 则 a b 0 a b 类比推出 若 a b C 则 a b 0 a b 若 a b R 则 a b 0 a 0 或 b 0 类比推出 若 a b C 则 a b 0 a 0 或 b 0 其中类比结论正确的个数是 A 0 B 1 C 2 D 3 5 如下图所示 面积为 S 的平面凸四边形的 第 i 条边的边长记为 ai i 1 2 3 4 此四边形内任一点 P 到第 i 边的距离记为 hi 若 i 1 2 3 4 4321 4321 aaaa k 则 ihi 类比以上性质 体积为 V 的三棱 4 i 1 2S k 锥的第 i 个面的面积记为 Si 此三棱锥内任一点 i 1 2 3 4 Q 到第 i 个面的距离记为 Hi 若 i 1 2 3 4 4321 4321 aaaa k 则 iHi 4 i 1 2 A B C D 4V k 3V k 2V k V k 二 填空题 6 有穷数列 an Sn为其前 n 项和 定义为数列 an 的 凯森 n SSSS T n n 321 和 如果有 99 项的数列 a1 a2 a3 a99的 凯森和 为 1000 则有 100 项的数列 1 a1 a2 a3 a4 a99的 凯森和 T100 7 在等比数列 an 中 若 a10 0 则有等式 a1 a2 an a1 a2 a19 n n 1 1 1 1 2 你能得 1 2 1 2 1 3 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 3 2 1 2 1 3 1 15 出怎样的结论 并进行证明 10 2009 年湖南卷 将正 ABC 分割成 n2 n 2 n N 个全等的小正三角形 图乙 图丙分 别 给出了 n 2 3 的情形 在每个三角形的顶点各放置一个数 使位于 ABC 的三边及平 行 于某边的任一直线上的数 当数的个数不少于 3 时 都分别成等差数列 若顶点 A B C 处的三个数互不相同且和为 1 记所有顶点上的数之和为 f n 则有 f 2 2 求 f 3 和 f n 3 参考答案参考答案 1 B 2 A 3 C 4 C 5 B 6 991 7 解析 由题设可知 如果 am 0 则有 a1 a2 an a1 a2 a2m 1 n n 2m 1 n N 成立 如果 m n p q 其中 m n p q 是正整数 对于等差数列 则有 am an ap aq 而对于等比数列 则 bmbn bpbq 所以可以得结论 若 bm 1 则有等式 b1b2 bn b1b2 b2m 1 n n 2m 1 n N 成立 在本题中 m 9 答案 b1b2 bn b1b2 b17 n n 证明略 1 2 1 3 12 1 n n 2 10 解析 当 n 3 时 如题图所示分别设各顶点的数用小写字母表示 即由条件知 a b c 1 x1 x2 a b y1 y2 b c z1 z2 c a x1 x2 y1 y2 z1 z2 2 a b c 2 2g x1 y2 x2 z1 y1 z2 6g x1 x2 y1 y2 z1 z2 2 a b c 2 即 g 而 f 3 a b c x1 x2 y1 y2 z1 z2 g 1 2 1 3 1 3 10 3 进一步可求得 f 4 5 由上知 f 1 中有三个数 f 2 中有 6 个数 f 3 中共有 10 个数 相 加 f 4 中有 15 个数相加 若 f n 1 中有 an 1 n 1 个数相加 可得 f n 中有 an 1 n 1 个数相加 且由 f 1 1 f 2 f 1 f 3 f 2 3 3 6 3 3 3 3 3 3 10 3 4 3 4 f 4 5 f 3 5 3 可得 f n f n 1 n 1 3 所以 f n f n 1 n 1 3 f n 2 n 1 3 n 3 f 1 n 1 3 n 3 n 1 3 3 3 n 1 3 n 3 n 1 3 3 3 2 3 1 3 n 1 n 2 1 6 第二节第二节 直接证明与间接证明直接证明与间接证明 一 选择题 1 已知函数 f x lg 若 f a b 则 f a 1 x 1 x A b B b C D 1 b 1 b 4 设 f x Error Error 则不等式 f x 2 的解集为 A 1 2 3 B 10 C 1 2 D 1 2 10 3 已知 f x 是奇函数 那么实数 a 的值等于 a 2x 1 2 2x 1 A 1 B 1 C 0 D 1 4 在等比数列 an 中 a1 2 前 n 项和为 Sn 若数列 an 1 也是等比数 列 则 Sn A 2n 1 2 B 3n C 2n D 3n 1 5 已知直线 l m 平面 且 l m m 给出下列四个命题 若 则 l m 若 l m 则 a 若 则 l m 若 l m 则 其中正确命题的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 二 填空题 6 函数 y loga x 3 1 a 0 a 1 的图象恒过定点 A 若点 A 在直线 5 mx ny 1 0 上 其中 mn 0 则 的最小值为 1 m 2 n 7 定义 a b 是向量 a 和 b 的 向量积 它的长度 a b a b sin 其中 为向 量 a 和 b 的夹角 若 u 2 0 u v 1 则 u u v 3 8 对大于或等于 2 的自然数 m 的 n 次方幂有如下分解方式 22 1 3 32 1 3 5 42 1 3 5 7 23 3 5 33 7 9 11 43 13 15 17 19 根据上述分解规律 则 52 若 m3 m N 的分解中最小的数是 21 则 m 的值为 三 解答题 9 用反证法证明 如果 a b 0 那么 ab 10 在数列 an 中 a1 2 an 1 4an 3n 1 n N 1 证明数列 an n 是等比数列 2 求数列 an 的前 n 项和 Sn 3 证明不等式 Sn 1 4Sn 对任意 n N 皆成立 参考答案参考答案 1 B 2 解析 令 2ex 1 2 x 2 解得 1 x2 x 2 解得 x 10 故选 C 答案 C 3 A 4 解析 因数列 an 为等比数列 则 an 2qn 1 因数列 an 1 也是等比数列 则 an 1 1 2 an 1 an 2 1 a 2an 1 anan 2 an an 2 2n 1 an an 2 2an 1 an 1 q2 2q 0 q 1 即 an 2 所以 Sn 2n 故选 C 答案 C 5 B 6 解析 函数 y loga x 3 1 a 0 a 1 的图象恒过定点 A 2 1 则 2 m 1 n 1 0 2m n 1 m n 0 即 2m n 1 m 2 n 1 m 2 n 4 4 2 8 答案 8 n m 4m n n m 4m n 7 2 8 1 3 5 7 9 5 3 9 证明 1 假设不大于 则或者0 b 0 a b ab 0 矛盾 即 bab 10 解析 1 证明 由题设 an 1 4an 3n 1 得 an 1 n 1 4 an n n N 又 a1 1 1 所以数列 an n 是首项为 1 且公比为 4 的等比数列 2 由 1 可知 an n 4n 1 于是数列 an 的通项公式为 an 4n 1 n 所以数列 an 的前 n 项和 Sn 4n 1 3 n n 1 2 3 证明 对任意的 n N Sn 1 4Sn 4 4n 1 1 3 n 1 n 2 2 4n 1 3 n n 1 2 3n2 n 4 0 1 2 所以不等式 Sn 1 4Sn 对任意 n N 皆成立 第三节第三节 数学归纳法数学归纳法 一 选择题 1 用数学归纳法证明 n 1 n 2 n n 2n 1 3 2n 1 从 k 到 k 1 左 端需增乘的代数式为 A 2k 1 B 2 2k 1 C D 2k 1 k 1 2k 3 k 1 解析 当 n 1 时 式子显然成立 当 n k k N 且 k 1 时 左边 k 1 k 2 k k 当 n k 1 时 左边 k 1 1 k 1 2 k 1 k k 1 k 1 k 2 k 3 k k k 1 k k 1 k 1 k 1 k 2 k k 2k 1 2k 2 k 1 k 1 k 2 k k 2 2k 1 答案 B 2 记凸 k 边形的内角和为 f k 则 f k 1 f k A B C D 2 2 3 2 答案 B 3 如果命题 P n 对 n k 成立 则它对 n k 1 也成立 现已知 P n 对 n 4 不成立 则下 列结论正确的是 A P n 对 n N 成立 B P n 对 n 4 且 n N 成立 C P n 对 n 4 且 n N 成立 D P n 对 n 4 且 n N 不成立 解析 由题意可知 P n 对 n 3 不成立 否则 n 4 也成立 同理可推得 P n 对 7 n 2 n 1 也不成立 答案 D 4 用数学归纳法证明 1 n n N 时 由 n k k 1 不等式 1 2 1 3 1 2n 1n 1 成立 推证 n k 1 时 左边应增加的项数是 A 2k 1 B 2k 1 C 2k D 2k 1 解析 左边的特点 分母逐渐增加 1 末项为 1 2n 1 由 n k 末项为 而 n k 1 1 2k 1 末项为 故应增加的项数为 2k 答案 C 1 2k 1 1 1 2k 1 2k 5 若把正整数按下图所示的规律排序 则从 2002 到 2004 的箭头方向依次为 答案 D 二 填空题 6 用数学归纳法证明 1 3 5 n nn 当 n 1 时 左边应为 1 2n 1 1 答案 1 7 已知 a1 an 1 则 a2 a3 a4 a5的值分别为 由此猜想 1 2 3an an 3 an 解析 a2 同理 3a1 a1 3 3 1 2 1 2 3 3 7 3 2 5 a3 a4 a5 3a2 a2 3 3 8 3 3 5 3 9 3 4 5 3 10 3 5 5 猜想 an 答案 3 n 5 3 7 3 8 3 9 3 10 3 n 5